高中数学北师大版（2019）必修第一册第七章概率综合强化1word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第七章概率综合强化1
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是
A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”与“”互为对立事件
C．事件“”与“”互为互斥事件 D．事件“”的概率为
2．已知，，为中不同数字的种类，如，求所有的个的排列所得的的平均值为
A． B． C． D．
3．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（）
A． B． C． D．
4．一个正四面体的四个面上分别标有数字.掷这个四面体四次，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（ ）
A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件 B．有可能出现恰有三支球队并列第一名
C．恰有两支球队并列第一名的概率为 D．只有一支球队名列第一名的概率为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
8．将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是________.
9．从个男生和个女生（）中任选个人当班长，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同，如果的概率和的概率相同，则可能为__________.
10．某人有两盒火柴,每盒都有根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根,求他发现用完一盒时另一盒还有根()的概率_____.
11．对于函数，其定义域为D，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数定义域为，值域为，则函数是“不严格单调增函数”的概率是_____________
四、解答题
12．某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中.
（1）求这300名玩家测评分数的平均数；
（2）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为，且每款游戏之间改进与否相互独立.
（i）对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；
（ii）每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明.
13．
将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.
14．已知集合A＝｛1，2，3，4｝和集合B＝｛1，2，3，…，n｝，其中n≥5，．从集合A中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T表示．记X＝T－S.
(1）当n＝5时，求随机变量X的概率分布和数学期望；
(2）求．
15．某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验次；
方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.
(1)假设，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；
(2)现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.
若采用方案一.需检验的总次数为,若采用方案二.需检验的总次数为.
(i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式;
(ii)若,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值.
参考数据：
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【详解】
对于A,,则概率为,选项错误;
对于B, “是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;
对于C,事件“”包含在“”中,不为互斥事件,选项错误;
对于D, 事件“”的点数有: ,共9种,故概率为,选项正确;
综上可得,选D.
点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.
2．D
【分析】
本题首先可以确定的所有可能取值分别为，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出的平均值．
【详解】
由题意可知：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，所有的个的排列所得的的平均值为：
，故选D．
【点睛】
本题考查了平均值的计算，能否通过题意得出的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题．
3．A
【分析】
先求出概率，再求最大值，借助于均值不等式求解．
【详解】
解：设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”，
事件B：检测6个人确定为“感染高危户”.
∴，.
即.
设，则
，
∴
，
当且仅当即时取等号，
即.
故选：A.
【点睛】
本题考查概率，以及求函数最值，属于中档题．
4．B
【解析】
分析：先求k=i时的概率，再求p的值，最后求的值.
详解：当k=1时，概率为
当k=2时，4=1+3=2+2=3+1，概率为.
当k=3时，4=1+1+2=1+2+1=2+1+1,概率为.
当k=4时，4=1+1+1+1，概率为.
所以p=
所以
所以=3-4=-1.
故答案为B
点睛：（1）本题主要考查概率的求法和对数的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是读懂已知条件，由于已知中的字母比较多，比较抽象，难以读懂，可以给字母取值，把问题具体化，帮助自己读懂已知.
5．C
【分析】
5个快递送到5个地方有种方法，
全送错的方法：第一步A送错有4种可能，然后第二步是关键，考虑A送错的地方对应的快递，如送到丙地，第二步考虑快递，而送错位置分两类，一类是送到甲，一类是送其他三个地方，再对剩下的3个快递分别考虑即可完成．
【详解】
5个快递送到5个地方有种方法，
全送错的方法数：
先分步：第一步快递送错有4种方法，第二步考虑所送位置对应的快递，假设送到丙地，第二步考虑快递，对分类，第一类送到甲地，则剩下要均送错有2种可能（丁戊乙，戊乙丁），第二类送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴总的方法数为，所求概率为．
故选：C．
【点睛】
本题考查古典概型，快递送错位置与信装错信封（信封上已写地址）是同一回事，属于典型的计数问题，注意其求解方法，分类还是分步要确定好．
6．D
【分析】
“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可.
【详解】
由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，
基本事件总数为：种
事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：
烟、糖、糖、糖：种
糖、烟、糖、糖： 种
糖、糖、烟、糖：种
包含的基本事件个数为：54，
所以，其概率为
故选：D
【点睛】
此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用.
7．ABD
【分析】
4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；
选项B，举特例说明即可；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；
选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.
【详解】
4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；
选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；
选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.
8．
【分析】
通过分析最大数在第行的概率，得到规律，从而可求得结果
【详解】
解：设是从上往下数第行的最大数，设的概率为，最大数在第行的概率为，
在任意排好第行后余下的个数排在前行符合要求的排列的概率为，
所以，以此类推，
，
所以当时，，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：此题考查古典概型的概率的求法，考查推理能力和计算能力，解题的关键是求出最大数要第行的概率为，通过分析得到，以此类推，，从而可求得结果，属于较难题
9．
【分析】
此题基本事件总数一定，两个事件的概率相同，则其包含的基本事件个数相同，分别求出，列出方程，根据分析即可得解.
【详解】
从个男生和个女生（）中任选个人当班长，共种，
假设事件表示选出的个人性别相同，包含基本事件个数为，
事件表示选出的个人性别不同，包含基本事件个数为
如果的概率和的概率相同，则，
即，，
化简得：，是完全平方数，（）
，所以=16，，
所以可能为.
故答案为：
【点睛】
此题以古典概型为背景实际考查计数原理相关知识，涉及整数的相关处理办法，综合性强，对解题能力要求较高．
10．
【分析】
根据题意，记两个火柴盒分别为A，B，一共抽了根，不妨令这么多次抽取动作中，有次都是操作在A盒上,次操作在B盒上，则最后一次一定操作在A盒，所有的抽法共有种，用完一盒时另一盒还有根的抽法有种，由古典概型的概率公式，即可求出概率.
【详解】
解:根据题意，记两个火柴盒分别为A，B，一共抽了根，
不妨令这么多次抽取动作中，有次都是操作在A盒上，次操作在B盒上，
则最后一次一定操作在A盒，
因此所有的抽法共有种，
用完一盒时另一盒还有根的抽法有种，
由古典概型的概率公式得，
他发现用完一盒时另一盒还有根()的概率为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.
11．
【分析】
考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到答案.
【详解】
当有4个函数值相同时：共有，满足条件的有种；
当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有，满足条件的有种；
当各有2个函数值相同时，共有，满足条件的有1种.
故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.
12．（1）76；（2）（i）；（ii）所需的最高费用将超过预算.计算见解析
【分析】
(1)利用矩形面积和等于1列式可得,结合,可解得 的值,再用各区间的中点值与该矩形的面积相乘后再相加,即得平均值.
(2)(i)利用互斥事件的概率的加法公式可得;
(ii)利用期望公式求出这600款游戏所需的最高费用的平均值后,再利用导数求出最大值即可.
【详解】
（1）依题意，，
故；
而，
联立两式解得，；
所求平均数为；
（2）（i）因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为，
一款游戏二测被认定需要改进的概率为，
所以某款游戏被认定需要改进的概率为：
；
（ii）设每款游戏的评测费用为元，则的可能取值为900，1500；
，
，
故 ；
令 ，
.
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以的最大值为
所以实施此方案，最高费用为
故所需的最高费用将超过预算.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图,互斥事件的概率,随机变量的期望的应用，考查了利用导数解决最值问题的方法,属难题.
13．（1）（2）（3）
【详解】
试题分析：（1）解概率应用题，关键要正确理解事件. 当时，这个数中有9个一位数，90个二位数，一个三位数，总共有192个数字，其中数字0的个数为9+2=11，所以恰好取到0的概率为（2）按（1）的思路，可分类写出的表达式：，（3）同（1）的思路，分一位数，二位数，三位数进行讨论即可，当当当即同理有
由可知，当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为
试题解析：（1）解：当时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为（2）（3）当当当即同理有
由可知所以当时，,当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为
考点：古典概型概率
14．（1）概率分布见解析，（2）
【分析】
（1）当时，分别考虑的取值情况，再分析的概率分布；
（2）考虑的可能组成情况，对每一种情况进行概率计算然后概率结果相加得到.
【详解】
解：（1）当n=5时，B={1，2，3，4，5}
由题意可知，A=1或2，T=3或4或5
则X=T-S=1或2或3或4.
则随机变量X的概率分布为
随机变量X的数学期望.
(2）因为X=T-S=n-3，所以S=1，T=n-2或S=2，T=n-1
所以.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的概率分布以及排列组合中的概率计算，难度较大.分析随机变量的分布列，一定要考虑到所有的情况，针对每种情况进行概率计算；组合事件的概率计算，可先考虑事件可拆分成哪些基本事件，先分析基本事件的概率，然后求和即可.
15．（1）（2）（ⅰ）（ii）8
【分析】
（1）对可能的情况分类：<1>前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，<2>前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i)根据，找到与的函数关系；(ii)根据得到关于的不等式式，构造函数解决问题.
【详解】
解：（1）记所求事件为，“第三次含有细菌且前2次中有一次含有细菌”为事件，“前三次均不含有细菌”为事件，
则，且互斥，
所以
（2），
的取值为，
，
所以，
由得，
所以；
（ii）,所以，
所以，所以
设，
，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减
又，
所以的最大值为8
【点睛】
本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记..
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