2021-2022学年黑龙江省哈尔滨工大附中八年级（上） 期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨工大附中八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列计算正确的是
A. B. C. D.
点关于轴对称的点的坐标为
A. B. C. D.
如图，下列图形中，轴对称图形的个数是
A. B. C. D.
下列各式：，，，，，，中，分式有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
等腰三角形的顶角为，则它的底角是
A. B. C. D.
如果把中的和都扩大倍，那么分式的值
A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 扩大倍
如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
赵强同学借了一本书，共页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读页，则下面所列方程中，正确的是
A. B.
C. D.
有下列说法：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角互余；等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴；等腰三角形两腰上的中线相等．其中正确的说法有个．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
将用科学记数法表示为______．
在中，的取值范围为______．
当时分式无意义，则______．
分解因式：______．
计算：______．
若，，则 ______ ．
等腰，，底角为，点在边上，将分成两个三角形，当这两个三角形有一个是以为腰的等腰三角形时，则的度数是______．
若是整数，则正整数的最小值是______．
如图，已知等边三角形纸片，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则 ______ ．
如图，为等边三角形，点在的延长线上，点在上，连接，，于点，且，若，则的长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）
计算：
；
．
先化简，再求值：，其中．
如图，在直角坐标系中按要求作图，所画图形的顶点必须与每个小正方形的顶点重合．
画出一个面积等于的等腰直角三角形，使的三个顶点在坐标轴上，且关于轴对称，其中点的坐标为；点在点的左侧
将向下平移个单位，再向右平移个单位得到点、、的对应点分别为点、、，画出，并直接写出的长．
如图，等边中，点在上，，，连接、．
如图，求证：；
如图，延长交于点，连接、，在不添加任何辅助线和其它字母的情况下，请直接写出等于的角．
六一前夕，某幼儿园园长到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比品牌服装每套进价多元，用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．
求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？
该服装品牌每套售价为元，品牌每套售价为元，服装店老板决定，购进品牌服装的数量比购进品牌服装的数量的倍还多套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过元，则最少购进品牌的服装多少套？
如图，四边形中，，，于点．
如图，求证：；
如图，延长交的延长线于点，点在上，连接，且，求证：；
如图，在的条件下，点在的延长线上，连接，交于点，连接，且，当，时，求的长．
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点在轴的负半轴上，点，连接、，且．
求的度数；
点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，同时，点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，连接、，设的面积为，点运动的时间为，求用表示的代数式直接写出的取值范围；
在的条件下，当点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上时，连接、、，，且四边形的面积为，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，故本选项符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则进行计算，再得出选项即可．
本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则等知识点，能熟记幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项法则是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故选：．
根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3.【答案】
【解析】解：第个图形，第个图形是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的定义，可得答案．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】
【解析】解：，，，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
：，分母中含有字母，因此是分式．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
5.【答案】
【解析】解：等腰三角形的一个顶角为
底角．
故选：．
根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．
考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查分式的基本性质把分式中的和都扩大倍，根据分式的基本性质化简即可．
【解答】
解：，
故把分式中的和都扩大倍，那么分式的值扩大倍．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，
故选：．
等边三角形的三个角都为，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为，和三角形的外角的性质．
8.【答案】
【解析】解：如图，延长至，使，连接、，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形，
，
为直角三角形，
故选：．
延长至，使，连接、，证明四边形是矩形，根据矩形的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质、矩形的判定和性质，掌握矩形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：读前一半用的时间为：，
读后一半用的时间为：．
由题意得，，
故选：．
设读前一半时，平均每天读页，关键描述语为：“在两周借期内读完”；等量关系为：读前一半用的时间读后一半用的时间，据此列方程即可．
本题考查了由实际问题列分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程．
10.【答案】
【解析】解：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确；
等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角不一定互余，原说法错误；
等腰三角形的顶角平分线在它的对称轴上，原来的说法是错误的，原说法错误；
等腰三角形两腰上的中线相等，正确；
所以其中正确的说法有个．
故选：．
根据轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质判断即可．
本题考查了轴对称的性质及轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的对称轴至少有一条．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据分式有意义的条件是分母不等于，二次根式的被开方数是非负数，故，解不等式即可求得的范围．
本题考查了二次根式有意义的条件．要使得本题式子有意义，必须满足分母不等于．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得是方程的解，
，
解得：，
故答案为：．
根据分式无意义的条件分母为零列方程，然后将的值代入方程求解．
本题考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于零时分式有意义，而当分母等于零时分式无意义是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．
15.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
16.【答案】
【解析】解：，，
则．
故答案为：．
首先配方得出进而得出答案．
此题主要考查了配方法的应用，正确配方得出是解题关键．
17.【答案】或
【解析】解：如图：
，底角为，
，，
分两种情况：时，
，
；
时，
，
；
综上，的度数是或．
故答案为：或．
分两种情况：；，根据等腰三角形的性质即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的性质，注意分类思想的利用．同时考查了三角形的内角和定理．
18.【答案】
【解析】解：，且是整数，
是整数，即是完全平方数；
的最小正整数值为．
故答案为：．
因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为．
主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查是翻折的性质，等边三角形与三角形外角的性质关键是根据等边三角形的性质和翻折的性质解答．
由翻折的性质可知结合等边三角形的性质和垂直关系，求得的大小，再由三角形外角的性质求解即可．
【解答】
解：由翻折的性质可知；．
为等边三角形，
，．
，
，
，
．
故答案为．
20.【答案】
【解析】解：在上取，使，连接，如图：
是等边三角形，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
故答案为：．
在上取，使，连接，根据是等边三角形，得≌，即有，，，而，可得，，又，可得，在中，知，故BE．
本题考查等边三角形中的全等三角形，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
21.【答案】解：
；
．
【解析】分别对式子中的每项进行化简，然后再运算即可；
根据，对式子进行化简运算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的化简，零指数幂，负整数指数幂的运算是解题的关键．
22.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、二次根式的除法，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
23.【答案】解：如图，即为所求；
如图，点即为所求，．
【解析】根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质作出图形即可；
利用平移变换的性质作出图形即可．
本题考查作图轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】证明：为等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：≌，
，
，
，
过点作于点，于点，
在和中，
，
≌，
，
又，，
平分，
，
．
【解析】由等边三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出；
过点作于点，于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，则可得出答案．
本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，证明≌是解题的关键．
25.【答案】解：设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：、两种品牌服装每套进价分别为元、元；
设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，由题意得：
，
解得：，
答：至少购进品牌服装的数量是套．
【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出、两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
首先设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，根据关键语句“用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．”列出方程，解方程即可，注意检验；
首先设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，根据“可使总的获利超过元”可得不等式，再解不等式即可．
26.【答案】证明：过点作于，
，
，
，
又，，
≌，
，
，，，
四边形是矩形，
，
；
证明：在上截取，连接，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
；
如图，过点作于，在上截取，连接，，，
由可知：，，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
又，
≌，
，
，
，
，，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
．
【解析】由“”可证≌，可得，可得结论；
在上截取，连接，由线段垂直平分线的性质可得，由外角的性质可得，可得结论；
如图，过点作于，在上截取，连接，，，通过证明≌，可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27.【答案】解：，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
由题意得，，，
如图，当点在线段上，即时，，
；
如图，当点在线段的延长线上，即时，，
；
．
，，，
，
解得：或舍，
，，
，即，
如图，在线段上截取，则，
，
，
，
又，
，
∽，
，
，，
，，，
设，则，
，
解得：舍或，
，
，
，
，
，
．
【解析】先求得和的值，然后得到点和点的坐标，再得到，从而得到的度数；
先用含有的式子表示的长，再用含有的式子表示的长，最后用表示的代数式，要注意分点在轴正半轴上和在轴负半轴上；
先利用四边形的面积为求得的值，然后利用点和点求得的长，在上截取，连接，则，进而得到的长、，从而得证∽，然后利用相似三角形的性质求得的长，从而得到点的坐标，最后求得的长．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是会用含有的式子表示与点和点有关的线段长．
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