2021-2022学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）(word解析版)

2021-2022学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）
副标题
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
在中，，，，则的值是
A. B. C. D.
如图，已知，：：，那么下列结论中，正确的是
A. ：：
B. ：：
C. ：：
D. ：：
无人机在空中点处观察地面上的小丽所在位置点处的俯角是，那么小丽在地面点处观察空中点处的仰角是
A. B. C. D.
已知点是线段的中点，下列结论中正确的是
A. B. C. D.
下列对二次函数的图象的描述中，不正确的是
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的对称轴是直线
C. 抛物线与轴的交点坐标是 D. 抛物线的顶点坐标是
如图，在中，，、分别是斜边上的高和中线，下列结论不一定成立的是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
计算：______．
冬日暖阳，下午点时分，小明在学恔操场晒太阳，身高米的他，在地面上的影长为米，则此时高度为米的旗杆在地面的影长为______米．
将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是______．
如果点，在二次函数图象上，那么______填、或．
如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______结果保留根号
如图，中，，，点、分别在边、上，已知，，则线段的长为______．
如图，是的角平分线，过点作交边于点如果，，则的长度为______．
二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为______．
小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，该扶梯移动了米，到达距离地面米高的二楼，则该自动扶梯的坡度______．
如图，已知点是的重心，记向量，，则向量______用向量的形式表示，其中，为实数
如图，已知点是抛物线图象上一点，将点向下平移个单位到点，再把点绕点顺时针旋转得到点，如果点也在该抛物线上，那么点的坐标是______．
如图，在中，，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
计算：．
二次函数的自变量的取值与函数的值列表如下：
根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；
请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线上，并写出平移后二次函数的解析式．
已知：如图，在梯形中，，，，对角线，相交于点，过点作，交对角线于点．
求的值；
设，，请用向量、表示向量．
图是一种自卸货车，图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡．
当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离；
点处的转轴与后车轮转轴点处的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为货厢对角线、的交点是货厢侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．
当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．精确到米，参考值：，，，
如图，已知中，，射线交于点，点是上一点，且，联结．
求证：∽；
如果平分，求证：．
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交该抛物线于点．
求直线的表达式，直接写出顶点的坐标；
当以，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标；
当时，求与的面积之比．
如图，在中，，，点为边上的一个动点，以点为顶点作，射线交边于点，过点作射线的垂线，垂足为点．
当点是边中点时，求的值；
求证：；
当：：时，求：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在中，，，，
则，
故选：．
根据锐角三角函数的正弦值的定义解答即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：因为从点看点的俯角与从点看点的仰角互为内错角，大小相等．
所以无人机在空中点处观察地面上的小丽所在位置点处的俯角是，
小丽在地面点处观察空中点处的仰角是．
故选：．
根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角与俯角的定义．
4.【答案】
【解析】解：点是线段的中点，
；；；，
，，C错误，D正确，
故选：．
根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、，
抛物线的开口向下，正确，不合题意；
B、对称轴为直线，故本小题正确，不合题意；
C、令，则，
所以抛物线与轴的交点坐标是，故不正确，符合题意；
D、抛物线的顶点坐标是，故本小题正确，不合题意；
故选：．
根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，掌握其性质是解决此题关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，，
，
故A成立；
是斜边上的中线，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
故B不成立；
，
，
∽，
，
，
故C成立；
∽，
，
，
是斜边上的中线，
，
，
故D正确，
故选：．
由，，得，故A成立；由，故B不一定成立；由∽，得，可知成立；由∽，得，可知成立．
本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：，
根据平面向量的加减运算法则求解即可．
本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设旗杆的高度为米，根据题意得：
，
解得：．
故答案为：．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通解方程求出树的高度，体现了方程的思想．
9.【答案】
【解析】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是，即，
故答案为：．
根据函数图象平移规律，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
10.【答案】
【解析】解：二次函数的图象的对称轴是直线，
在对称轴的右面随的增大而增大，
点、是二次函数的图象上两点，
，
．
故答案为：．
本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点、的横坐标的大小即可判断出与的大小关系．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：设裙子的腰节到脚尖的距离为，
以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为，
，
，
即裙子的腰节到脚尖的距离为，
故答案为：．
设裙子的腰节到脚尖的距离为，根据黄金分割的定义得，再计算即可．
本题考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，，
∽，
，
，
，
故答案为：
由∽，得出比例式求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：平分，
．
，
，
．
，
，
∽，
，
，，
，
，
故答案为：．
由平分交于点，，可证得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，证得，于是得到结论．
此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，注意掌握数形结合思想的应用．
14.【答案】
【解析】解：设，
由题意得：
，
解得：，
二次函数的解析式为：，
故答案为：．
根据题目的已知并结合图形，设二次函数的解析式为，然后根据点，点坐标，以及对称轴列出三元一次方程组即可解答．
本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，根据题目的已知并结合图形列出三元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】：
【解析】解：由勾股定理得：小明移动的水平距离为：米，
则该自动扶梯的坡度：，
故答案为：：．
根据勾股定理求出小明移动的水平距离，根据坡度的概念计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
16.【答案】．
【解析】解：如图，延长到，使得，连接，．
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
是重心，
，
，
，
．
故答案为：．
如图，延长到，使得，连接，求出，证明即可解决问题．
本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴于，作于，
，
，
，
，
，，
设，则，
点也在该抛物线上，
，
解得，
，
故答案为：
过点作轴于，作于，解直角三角形求得，，设，则，代入得到关于的方程，解方程求得的值，即可求得的坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，表示出的坐标是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：过点作于点，
将沿直线翻折，
，，
，
，
，
设，，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
设，则，
，
．
故答案为：．
过点作于点，由折叠的性质得出，，证出，由平行线的性质得出，，设，则，求出，由锐角三角函数的定义可得出答案．
本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，平分线分线段成比例定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20.【答案】解：把，，分别代入中，得．
解得．
则该二次函数的解析式为：，
，
顶点的坐标为；
二次函数的顶点坐标；
二次函数图象向右平移个单位后抛物线的顶点为或向下平移个单位后抛物线的顶点为落在直线上，则此时抛物线的解析式为：或．
【解析】利用待定系数法求得解析式，然后化成顶点式即可求得顶点坐标；
根据“左加右减，上加下减”得出抛物线的解析式为或，即可得出答案．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数图象与几何变换，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键．
21.【答案】解：，
∽，
，
，
，
设，则，，
，
，，，
，∽，
，，
，
，
，
，
．
【解析】由∽，得，由，得，从而解决问题；
求出与的关系，以及与的关系，通过即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平面向量的加减运算法则，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
则四边形为矩形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
答：车厢最高点离地面的距离是米；
不会发生安全事故，
理由是：过点作，垂足为，过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
则四边形为矩形，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
不会发生安全事故．
【解析】要求车厢最高点离地面的距离，所以过点作，垂足为，再过点作，垂足为，过点作，垂足为，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可；
要求、两点的水平距离，所以过点作，垂足为，再过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23.【答案】证明：，，
∽，
，
又，
∽；
∽，
，
∽，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据已知条件先证明∽，可得，因为，即可得证；
结合证明是等腰直角三角形，进而可得结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到是等腰直角三角形．
24.【答案】解：令，则，
或，
，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
；
，，
是直角三角形，
设，
如图，当，时，，
，
，
舍或，
；
如图，当时，
过点作轴交于点，
，，
，
∽，
，即，
，
，
，
舍或，
；
综上所述：点的坐标为或；
如图，作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，，，，，
，
，
，
，
．
【解析】求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可；
由题意可知是直角三角形，设，分两种情况讨论当，时，，此时，由此可求；当时，过点作轴交于点，可证明∽，则，可求，再由点在抛物线上，则可求，进而求点坐标；
作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，则有，在中，，求出，，则，设，则，，则有，求出，即可求．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的性质与判定，分类讨论，数形结合是解题的关键．
25.【答案】解：如图，过点作于，
在中，
，
设，，
，
，
是的中点，
，
，
，
在中，
，
，
在中，；
证明：，，
∽，
，
，，
∽，
，
，
；
解：，
设，，
，
，
，
在 中，，
，
在中，
，
在中，
，
由可知，∽，
，
，
，
，
，
即：：．
【解析】过点作于，设，，由勾股定理得的长，在中，利用面积法可表示出的长，再利用勾股定理得出的长，从而解决问题；
首先利用两个角相等可证明∽，得，再证明∽，得，从而证明结论；
设，，得，由，可表示出的长，再利用勾股定理得出、的长，由可知，∽，得，可表示出的长，从而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，三角形的面积等知识，利用代数方法解决几何问题是解题的关键．
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