2021-2022学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）(word解析版)

2021-2022学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
已知，那么锐角的度数是
A. B. C. D.
已知在中，，，，那么下列结论一定成立的是
A. B. C. D.
已知二次函数的图象如图所示，那么下列判断正确的是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，．
已知，那么下列判断错误的是
A. B. C. D.
如图，已知点是的重心，那么：等于
A. ： B. ： C. ： D. ：
下列四个命题中，真命题的个数是
底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；
底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；
底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；
腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
已知，那么______．
把抛物线向右平移个单位，所得新抛物线的表达式是______．
已知两个相似三角形面积的比是：，那么这两个三角形周长的比是______．
已知，，是黄金分割点，，则的长为______．
在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，那么直线与轴夹角的正切值是______．
如果一个二次函数图象的对称轴是直线，且沿着轴正方向看，图象在对称轴左侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式______．
一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为米关于水平距离米的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______米．
如图，码头在码头的正东方向，它们之间的距离为海里．一货船由码头出发，沿北偏东方向航行到达小岛处，此时测得码头在南偏西方向，那么码头与小岛的距离是______海里结果保留根号．
如图，已知在梯形中，，，设，，那么可以用，表示为______．
如图，某时刻阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下米宽的“亮区”，光线与地面所成的角如的正切值是，那么窗口的高等于______米．
我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形中，，，，、分别是边、上的点，且，如果四边与四边形相似，那么的值是______．
如图，已知矩形中，，，是边上一点，将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点落在上，如果的延长线恰好经过点，那么的长度等于______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
已知一个二次函数图象的顶点为，与轴的交点为．
求这个二次函数的解析式；
在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．
如图，已知平行四边形中，是延长线上一点，联结，分别交、于点、，且：：．
如果，求的长；
求的值．
如图，已知中，，，，交于点．
求的长；
求的正弦值．
某货站沿斜坡将货物传送到平台一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点时的平面示意图如图所示．已知斜坡的坡度为：，点到地面的距离米，正方体木箱的棱长米，求点到地面的距离．
已知：如图，梯形中，，，过点作的平行线交于点．
如果，求证：；
如果，求证：．
如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
求这条抛物线的表达式；
直线与该抛物线交于点，与线段交于点点与点、不重合，与轴交于点，联结、．
当时，求的值；
当平分时，求的面积．
如图，已知中，，，，是边上一点与点、不重合，平分，交边于点，，垂足为点．
当时，求的长；
当与相似时，求的正切值；
如果的面积是面积的倍，求这时的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据解答．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：在中，，，，
则，
，
故选：．
根据余弦的定义解答即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴右侧，
，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
．
故选：．
通过函数图象开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置可确定，，的符号，进而求解．
本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．
4.【答案】
【解析】解：、由知，，符合题意；
B、由知，，不符合题意；
C、由知，，不符合题意；
D、由知，，不符合题意．
故选：．
根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案．
本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．
5.【答案】
【解析】解：连接延长交于点，
是的重心，
是的中点，
，，
，
，
，
，
：：，
故选：．
连接延长交于点，由是重心可得是的中点，所以，，又由重心定理可，则，进而得到，即可求解．
本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：两个等腰三角形的底角不一定相等，
底边和腰对应成比例的两个等腰三角形不一定相似，本小题说法是假命题；
如图，和是等腰三角形，，，
则，，
，
，
，
∽，
，
∽，
底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是真命题；
同理，底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是真命题；
腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是真命题；
故选：．
根据等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据比例的性质求出，再把代入，即可求出答案．
本题考查了比例的性质，能根据比例的性质求出是解此题的关键，注意：如果，那么，反之亦然．
8.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的表达式为，即．
故答案为：．
根据平移规律得到新抛物线顶点坐标，即可得的新抛物线的表达式．
本题主要考查的是二次函数图象的平移，掌握平移规律：“左加右减，上加下减”是解决问题的关键．
9.【答案】：
【解析】解：两个相似三角形面积的比是：，
两个相似三角形相似比是：，
这两个三角形周长的比是：，
故答案为：：．
根据相似三角形的性质求出相似比，再求出周长比．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方．
10.【答案】
【解析】解：由于为线段的黄金分割点，
且，
则．
故答案为：．
根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可．
理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．
11.【答案】
【解析】解：由坐标知，直线与轴夹角的正切值，
故答案为：．
由坐标知，直线与轴夹角的正切值．
本题主要考查三角函数的定义，根据坐标值求夹角正切值是解题的关键．
12.【答案】，答案不唯一
【解析】解：二次函数的图象在对称轴的左侧部分是上升的，
这个二次函数的二次项系数为负数，
符合条件的函数有，答案不唯一．
答案为：，答案不唯一．
由于二次函数的图象在对称轴的左侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为负数，由此可以确定函数解析式不唯一．
此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得：
，
故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：．
故答案为：．
直接利用配方法求出二次函数最值即可．
此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：过作于，如图：
则，
由题意得：，，
是等腰直角三角形，
，，
设海里，则海里，
在中，，
海里，
，
，
解得：，
，
即海里，
故答案为：
过作于，证是等腰直角三角形，得，，设海里，则海里，再由锐角三角函数定义得海里，然后由得，解得：，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，
．
，，
∽，
，
，
．
故答案为：．
由，即可证得∽，又由，即可求得与的关系，利用三角形法则，求得，即可求得．
此题考查向量的知识与相似三角形的判定与性质．解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意向量是有方向的．
16.【答案】
【解析】解：由题意知，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
由题意知，，进而得到，由得到∽，根据相似三角形的性质得到，化简即可求出．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
17.【答案】
【解析】解：四边与四边形相似，
，
，，
，
解得：，
四边与四边形相似，
，
故答案为：．
根据相似多边形的性质得出，把和代入求出，再根据相似多边形的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了梯形和相似多边形的性质，能根据相似多边形的性质得出比例式是解此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
矩形中，，，
，
由旋转知，≌，
，，
的延长线恰好经过点，
，
在中，，
，
，
在中，，
故答案为：．
如图，连接、，根据矩形的性质和旋转变换的性质可得：，，利用勾股定理可得，再运用面积法可得：，求出，再运用勾股定理即可求得答案．
本题考查了矩形的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积等，解题关键是运用面积法求得．
19.【答案】解：设抛物线解析式为，
将代入得，
．
如图，
【解析】设抛物线解析式为，将代入解析式求解．
根据二次函数解析式作图．
本题考查求二次函数解析式及二次函数图象的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数图象与系数的关系．
20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，，
∽，
，
又，
，
；
四边形是平行四边形，
，即，
，，
∽，
，
又∽，
，
，
．
【解析】由平行四边形的性质证明∽，再根据：：求出，从而得出结论；
利用∽和∽得出和，从而得出结论．
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21.【答案】解：过点作于，
在中，，，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
；
过点作于，
在中，，，
，
，
，
．
【解析】通过作底边上的高，在直角三角形和直角三角形中分别求出、，由等腰三角形的性质求出，进而求出的长；
作高构造直角三角形，求出、后，由锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查解直角三角形，等腰三角形，掌握直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．
22.【答案】解：过点作于，延长交于，
则四边形为矩形，
米，，
，
，
：：，
由勾股定理得：，即，
解得：，
米，
米，
答：点到地面的距离为米．
【解析】过点作于，延长交于，根据坡度的概念、勾股定理求出，进而求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
；
，，
∽，
，
∽，
，，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
．
【解析】通过证明∽，可得，可得结论；
通过证明∽，可得，由相似三角形的性质可得，可得，通过证明∽，可得，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定是解题的关键．
24.【答案】解：由可得：
当时，；当时，，
，，
把、的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
如图，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
点的纵坐标为，
，
或，
，
；
如图，设，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】先求出点，点坐标，利用待定系数法可求解析式；
证明∽，由相似三角形的性质得出，证出，得出点的纵坐标为，则可求出答案；
设，过点作于点，得出，则，解方程求出的值，则可求出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】解：在中，，，，
，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
，
，
与相似，
∽或∽，
当∽时，
则，
，
，
，
，
平分，
，
；
当∽时，
则，
，
平分，
，
，
，
，
，
综上所述，的正切值为或；
如图，过点作于点，
平分，，，
，
，
≌，
，
的面积是面积的倍，
，
，
，
，
设，则，，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，，
，
故这时的长为．
【解析】证明≌，可得，根据，即可求得答案；
分两种情况：当∽时，可证得，再根据平分，可得，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；当∽时，则，得出，再由平分，可得，推出，利用三角函数定义即可求得答案；
如图，过点作于点，根据角平分线性质可得出，推出，再由的面积是面积的倍，可得出，进而推出，设，则，，，，，，根据∽，得出，建立方程求解即可．
本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．
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