2021-2022学年湖南省邵阳市新邵县九年级（上）期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年湖南省邵阳市新邵县九年级（上）期末数学试卷
副标题
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
方程的根是
A. B.
C. ， D. ，
三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是
A.
B.
C.
D.
已知反比例函数，下列结论中不正确的是
A. 其图象经过点 B. 其图象分别位于第一、第三象限
C. 当时， D. 当时，随的增大而增大
王大伯前几年承包了甲、乙两片荒山，各栽种了棵杨梅树，成活，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了四棵杨梅树上的杨梅，每棵的产量如图所示，由统计图提供的信息可知，杨梅产量较稳定的是
A. 甲山 B. 乙山 C. 一样 D. 无法确定
下列说法中正确的是
A.
B. 若为锐角，则
C. 对于锐角，必有
D. 若为锐角，则
若是方程的一个根，则方程的另一个根是
A. B. C. D.
在小孔成像问题中，如图所示，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了，则平均每次降价的百分率为
A. B. C. D.
如图，一次函数、为常数，且和反比例函数的图象交于、两点，利用函数图象可知不等式的解集是
A. B.
C. D. 或
如图，在直角坐标系中，的顶点为，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
已知，则______．
如图，河坝的横断面的坡比是：，坝高米，则坡面的长度是______米．
已知点是线段的黄金分割点，，，则______．
已知关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则的值是______．
某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的名同学中任选出名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理成表：
节水量
人数
请你估计这名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是______．
如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，且，则的面积为______．
如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且的面积为，则等于______．
古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为尺，则可列方程为______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
．
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若为正整数，求此时方程的根．
边长为的正方形，在边上取一动点，连接，作，交边于点．
求证：∽；
若的长为，求的长．
为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的深远影响，某中学团委对部分学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作了以下两个不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
本次调查共抽取了多少名学生？
请你通过计算，将条形统计图补充完整．
若该中学共有名学生，请你估计其中选择“生命”词汇的学生约有多少名？
风筝起源于春秋战国时期，至今已有两千多年．星期日，小明与小丽两人来到广阔的草原，一前一后在水平地面上放风筝，结果风筝在空中处纠缠在一起，如图所示，测得，，且小丽、小明之间的距离，求此时风筝处距离地面的高度．温馨提示：，，，，结果保留一位小数
某校园艺社计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．
如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、．
求关于的函数表达式；
当时，求的取值范围；
洋洋说篱笆的长可以为你认为洋洋的说法对吗？若对，请求出矩形园子的长与宽；若不对，请说明理由．
如图，在矩形中，，，是上的一个动点，不与、重合，过点的反比例函数的图象与边交于点．
当为的中点时，求该函数的解析式及的面积；
当的面积为时，求点的坐标．
如图，、分别是内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
求证：；
如图，如果，且：：，求的值；
如果是锐角，且与相似，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
，
解得：，．
故选：．
直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案．
此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：如图所示：，，
，
．
故选：．
根据锐角三角函数的定义得出进而求出即可．
此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、，
图象必经过点，故本选项不符合题意；
B、，
函数图象的两个分支分布在第一、三象限，故本选项不符合题意；
C、时，且随的增大而增大，
时，，故本选项不符合题意；
D、函数图象的两个分支分布在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，故本选项符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：千克，千克，
，
，
．
乙山上的杨梅产量较稳定，
故选：．
根据平均数的求法求出平均数，根据方差的定义求出两组数据的方差，再比较即可解答．
本题考查了折线统计图、平均数与方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5.【答案】
【解析】解：，故A不符合题意；
B.若为锐角，则，故B符合题意；
C.对于锐角，当时，，，此时，故C不符合题意；
D.若为锐角，当时，，故D不符合题意；
故选：．
根据特殊角的三角函数值判断即可．
本题考查了锐角三角函数的增减性，解直角三角形，对于错误的说法，只要能举一个反例是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：设另外一根为，
由根与系数的关系可知：，
，
故选：．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
7.【答案】
【解析】解：由题意知，∽，
，
物体的长是像长的倍，
故选：．
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故选：．
设平均每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由图象可知：，，，
不等式的解集是或，
故选：．
先根据图形得出、的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点的应用，能读懂图象是解此题的关键，数形结合思想的应用．
10.【答案】
【解析】解：以点为位似中心，位似比为，
而 ，
点的对应点的坐标为．
故选：．
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把点的横纵坐标都乘以即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
11.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
根据结合，即可得出的值．
本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练运用比例的性质解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢记比例的基本性质是关键．
12.【答案】
【解析】解：河坝的横断面的坡比是：，
，
米，
米，
由勾股定理得：米，
故答案为：．
根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是坡度的概念、勾股定理，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：点是线段的黄金分割点，，
．
故答案为．
根据黄金分割的定义得到，然后把代入计算即可．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
14.【答案】
【解析】解：根据根与系数的关系得：，
，
，
解得：或，
当时，方程为，此时方程有解；
当时，方程为，此时，此时方程无解；
故答案为：．
根据根与系数的关系得出，得出方程，求出的值，再根据根的判别式判断即可．
本题考查了根与系数的关系和根的判别式，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
答：估计这名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是．
故答案为：．
先计算这名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数即可解答．
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
16.【答案】
【解析】解：和是以点为位似中心的位似三角形，
，
∽，
，
和的面积比为：，
，
，
故答案为：．
根据位似变换的概念得到，进而证明∽，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据题意求出和的面积比是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，
，
．
又反比例函数在第二象限有图象，
，
解得：．
故答案为：．
由反比例函数系数的几何意义结合的面积为即可得出，再根据反比例函数在第二象限有图象即可得出，此题得解．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握“在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值”是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：设竿长为尺，
由题意得，．
故答案为：．
设竿长为尺，根据题意可得，则房门的宽为，高为，对角线长为，然后根据勾股定理列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据题意表示出各个边的长度以及勾股定理的应用．
19.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
20.【答案】解：原方程有两个不相等的实数根，
，
．
为正整数，又，
．
当时，原方程为，
，即，
解得，，．
因此，原方程的根为，．
【解析】根据题意得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
根据的范围可知，代入原方程后利用配方法解方程即可求出答案．
本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：由根的情况得出关于的一元一次不等式；确定的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式或不等式组是关键．
21.【答案】证明：，
，
四边形是正方形，
，
，
，
∽；
解：∽，
，
，
解得．
【解析】结合图形由，推出，根据正方形的性质得到，从而推出∽，进而根据相似三角形的性质和线段之间的和差关系求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质及正方形的性质，应从图形入手，寻找判定相似三角形的条件，再根据相似三角形的性质进行求解，注意运用数形结合的思想方法．
22.【答案】解：本次抽样调查的学生总人数为：名；
选择“生命”词汇所占比例为：，
故选择“感恩”的学生人数为：名，
补全的条形统计图如图所示：
选择“生命”词汇的学生约有：名．
【解析】根据“奉献”的人数和所占的百分比，即可得到此次抽样调查的学生总人数，
根据选择“生命”词汇所占比例，进而得出选择“感恩”所占比例和及其人数，再将条形统计图补充完整即可；
用乘选择“生命”词汇所占比例可得结果．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】解：过点作，垂足为，
设为，
在中，，
在中，，
，
，
解得：，
，
答：风筝处距离地面的高度为米．
【解析】要求风筝处距离地面的高度，所以过点作，垂足为，设为，然后放在和中，分别表示出和，最后利用，进行解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24.【答案】解：围成矩形园子的面积为，
，
．
又，
，
关于的函数表达式为
，即，
．
又，
．
洋洋的说法对，理由如下：
设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
洋洋的说法对，此时矩形园子的长为，宽为．
【解析】利用矩形的面积计算公式，找出关于的函数表达式，结合墙长为，即可得出的取值范围；
代入，可求出，结合，即可求出的取值范围；
洋洋的说法对，设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据矩形园子的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙长，即可得出：洋洋的说法对，此时矩形园子的长为，宽为．
本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出关于的函数表达式；利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出的取值范围；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25.【答案】解：在矩形中，，，
在矩形中，，，
，
为的中点，
，
点在反比例函数的图象上，
，
该函数的解析式为；
，
，
．
设点，则，
点的纵坐标为，
，
，
，
解得：，，
，．
【解析】当为的中点时，点的坐标为，由此代入求得函数解析式即可；将代入求出点的坐标，从而求出的面积；；
先求点的坐标，再求点，表示出的面积，最后求出点的坐标．
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26.【答案】证明：如图中，
，
，，
平分，
，同理，
，，
，
．
解：延长交于点．
，
，
平分，
，
，
，
，，
：：，，
．
与相似，，
中必有一个内角为
是锐角，
．
当时，
，
，
，
．
当时，，
，
与相似，
．
综上所述，或．
【解析】由题意：，证明即可解决问题．
延长交于点证明，可得，，由：：，可得．
因为与相似，，所以中必有一个内角为，因为是锐角，推出则可得出答案．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
第2页，共2页
第1页，共1页