2021-2022学年湖南省张家界市慈利县九年级（上）期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年湖南省张家界市慈利县九年级（上）期末数学试卷
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
对于反比例函数，下列说法不正确的是
A. 图象分布在第二、四象限
B. 当时，随的增大而增大
C. 图象经过点
D. 若点，都在图象上，且，则
一元二次方程配方后可变形为
A. B. C. D.
设一元二次方程的两根为、，则的值为
A. B. C. D.
如图，中，，于点，若，则
A.
B.
C.
D.
如图所示，中，，甲、乙、丙、丁四名同学分别在内画出一个阴影三角形与相似，其中画的错误的是
A. B.
C. D.
在中，若，则的度数是
A. B. C. D.
如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆，已知观测点到旗杆的距离，测得旗杆的顶部的仰角，旗杆底部的俯角，那么旗杆的高度是
A.
B.
C.
D.
如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，若的面积为，则的值为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
若关于的方程有一个根是，则______．
关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为______．
若，则______．
如图，线段、分别表示甲、乙两座楼房的高，，，两建筑物间距离米，若甲建筑物高米，在点测得点的仰角，则乙建筑物高______米．
在上午的某一时刻身高米的小刚在地面上的投影长为米，小明测得校园中旗杆在地面上的影子长米，还有米影子落在墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为______米．
等腰三角形的腰长为，底边长为，则它的底角的正切值为______．
在中，，如果，，那么______．
如图，在中，，点是边上的一动点不与，重合，交于点，且，有以下的结论：∽；当时，与全等；为直角三角形时，为或；，其中正确的结论是______填入正确结论的序号．
三、解答题（本大题共8小题，共60.0分）
计算：
已知关于的方程有两个不相等的实数根，
求的取值范围；
若，求的值．
某学校为了解学生疫情期间一天在线学习时长，进行了一次随机问卷调查每人只能选择其中一项，并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
求参与问卷调查的总人数．
补全条形统计图，并求出一天在线学习“个小时”的扇形圆心角度数．
若该校共有学生名，试估计全校一天在线学习“小时以上”的学生人数．
某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价元时，平均每天可多卖出件．
若商场要求该服装部每天盈利元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？
试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
如图，小明和小强攀登一无名山峰，他俩在山脚处测得主峰的仰角为，然后从山脚沿一段倾角为的斜坡走了到达山腰，此时测得主峰的仰角为，于是小明对小强说：“我知道主峰多高了．”你能根据他们的数据算出主峰的高度吗？
已知、两点是一次函数和反比例函数图像的两个交点．
求一次函数和反比例函数的解析式．
求的面积
观察图像，直接写出不等式的解集．
已知：如图，是等边三角形，点、分别在，且，、相交于点，求证：
∽；
．
如图，矩形中，，；点是对角线上一动点，连接，作交边于点，以和为邻边作矩形，作其对角线相交于点．
如图，当点与点重合时，______，______；
如图，当点是中点时，______，______；
在图，连接，当矩形随着点的运动而变化时，猜想的形状？并加以证明；
在图，的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由；
在图，设的长为，矩形的面积为，试求关于的函数关系式，并直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，随的增大而增大．根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：，它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B.，当时，随的增大而增大，故本选项正确；
C.，点在它的图象上，故本选项正确；
D.点、、都在反比例函数的图象上，若或，则；如果则，故本选项错误．
故选D．

2.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
3.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两根为、，
．
故选：．
由于一元二次方程的两根为、，直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
此题主要考查了根与系数的关系，比较简单，直接利用根与系数的关系即可解决问题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，又，
∽，
，
故选：．
证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解
A.满足两组角分别相等，则阴影三角形与相似；
B.满足两组角分别相等，则阴影三角形与相似；
C.满足两组边成比例且夹角相等，则阴影三角形与相似；
D.不满足相似三角形的判定方法．
故选：．
通过相似三角形的判定方法对，，，进行判断．
本题考查了相似三角形的判定方法，关键是灵活运用这些判定解决问题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出、的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：由题意得，，，
即，，
解得，，，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：在中，有，
在中，有，
则米．
故选D．
在中利用的正切值可求得；在中利用的正切值可求得，根据即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
8.【答案】
【解析】解：设：、点的坐标分别是、，
则：的面积，
则．
故选：．
的面积，先设、两点坐标其坐标相同，然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设、两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．把代入方程得出，求出方程的解即可．
【解答】
解：关于的方程有一个根是，
把代入方程得：，
解得：，
故答案为．
10.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
即，
，
故答案为：．
已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出的值．
此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．
11.【答案】
【解析】解：，
设，，
则．
故答案为：．
根据比例设，，然后代入比例式计算即可得解．
本题考查了比例的性质，利用“设法”求解更简便．
12.【答案】
【解析】解：过点作于点．
根据题意，得，．
米．
故答案为：．
首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形、，应借助得到方程求解．
本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
米．
米．
故应填．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．利用相似比和投影知识解题，身高米的小刚在地面上的投影长为米，所以实际高度和影长之比为比，因此墙上的米投射到地面上为米，即旗杆影长一共为米，根据实际高度和影长之比为比，得出旗杆为米．
利用相似比和投影知识解题，在某一时刻，实际高度和影长之比是一定的，此题就用到了这一知识点．
14.【答案】
【解析】解：设，，
过点作，垂足为，如图所示：
则，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案为：．
作等腰三角形底边上的高，将问题转化到直角三角形中，求底角的正切值即可．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：在中，，且，
，
故答案为：．
由知，代入计算可得．
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
16.【答案】
【解析】解：，
，
又，
，
，
，
∽；
故正确；
作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，，
，
在与中，
，
≌．
故正确；
当时，由可知：∽，
，
，
，
即，
，
，
，
，，
，
．
当时，∽，
，
，
且，，
，
．
，
，
即当为直角三角形时，或．
故正确；
易证得∽，由可知，
设，，
，
，
整理得：，
即，
，
．
故错误．
故正确的结论为：．
故答案为：．
根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
由，则，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；
分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；
依据相似三角形对应边成比例即可求得．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，不等式的性质．进行分类讨论是解决的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】根据乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值进行计算即可．
本题考查了实数的运算，掌握乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值是解题的关键．
18.【答案】解：已知关于的一元二次方程，
且，
且恒成立，
且．
的取值范围是且．
、是方程的两个根，
，，
，
即．
解得舍去，，
经检验，是原方程的解．
故的值是．
【解析】要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使恒成立；
欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
19.【答案】解：参与问卷调查的总人数：人；
人，
一天在线学习“个小时”的扇形圆心角度数：；
人，
答：估计全校一天在线学习“小时以上”的学生人数为人．
【解析】利用类的人数除以所占百分比即可；
利用总人数乘以类所占百分比可得类人数，再减去可得类男生人数，再补图即可．利用乘以类人数所占比例可得一天在线学习“个小时”的扇形圆心角度数；
利用样本估计总体的方法计算即可．
本题考查扇形统计图以及条形图．关键是能从统计图中获取正确信息．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比．
20.【答案】解：设每件衬衫应降价元，由题意得：
，
解得：，，
因为尽量减少库存，舍去．
答：每件衬衫应降价元．
设每天盈利为元，则
，
当时，最大为．
答：每件衬衫降价元时，商场服装部每天盈利最多．
【解析】利用每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，即可得出每件衬衣降价元，每天可以多销售件，进而得出与的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利每件的利润卖出的件数降低的价格增加的件数，把相关数值代入即可求解；
利用商场降价后每天盈利每件的利润卖出的件数降低的价格增加的件数，利用二次函数最值求法得出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降价后增加的销售量．
21.【答案】解：作于，
由题意得，，，，
，
，
在中，，
在中，，
，
答：主峰的高度为．
【解析】作于，根据仰角俯角的概念分别求出、，得到，根据正弦的定义计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：把代入，得，
所以反比例函数解析式为，
把代入，得，
解得，
把和代入，得
，
解得，
所以一次函数的解析式为；
中，令，则，
即直线与轴交于点，
；
由图可得，不等式的解集为：或．
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
先把点的坐标代入反比例函数解析式，即可得到，再把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
先求出直线与轴交点的坐标，然后利用进行计算；
观察函数图象得到当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
23.【答案】证明：是等边三角形，
，．
在和中，，
≌，
，
．
又，
∽．
∽，
，
．
又，，
∽，
．
【解析】根据等边三角形的性质可得出、，结合即可证出≌，根据全等三角形的性质可得出，通过角的计算可得出，再结合即可证出∽；
根据相似三角形的性质可得出，由对顶角相等可得出，再结合、，即可证出∽，根据相似三角形的性质可证出．
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，解题的关键是：利用全等三角形的性质找出；根据对应角相等证出∽．
24.【答案】；；；
结论：是直角三角形．
理由：如图中，连接．
在中，，
，
四边形是矩形，
，
，
是直角三角形．
如图中，，
、、、、五点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
．
由可知：，
矩形∽矩形，
，
，，
矩形的面积
【解析】
解：如图中，
在中，，
，
．
如图中，过点作交于，交于．
，
，
∽，
，
，
故答案为，，，．
见答案
【分析】
利用面积法求出，再利用勾股定理求出即可；利用直角三角形斜边中线定理求出，再利用相似三角形的性质求出即可；
根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；
只要证明∽，即可解决问题；
利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；
本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
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