2021-2022学年河南省驻马店二中九年级（上）期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年河南省驻马店二中九年级（上）期末数学试卷
副标题
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是
A.
B.
C.
D.
一元二次方程的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
如图，以点为位似中心，把中放大到原来的倍得到以下说法中错误的是
A. ∽
B. 点，，三点在同一条直线上
C. ：：
D.
已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是
A. B. C. D.
在同一直角坐标系中，当时，与的图象大致是
A. B. C. D.
将抛物线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后所得到的抛物线为．
A. B.
C. D.
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高为
A. B. C. D.
如图，二次函数的图象与轴交于点，点是点关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数的图象经过该二次函数图象上点及点则满足的的取值范围是
A. 或
B.
C. 或
D.
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点．过点作轴，垂足为，轴，垂足为，：：，若双曲线经过点，则的值为
A. B. C. D.
已知函数的图象如图所示，点是轴负半轴上一动点，过点作轴的垂线交图象于，两点，连接、下列结论：
若点，在图象上，且，则；
当点坐标为时，是等腰三角形；
无论点在什么位置，始终有，；
当点移动到使时，点的坐标为
其中正确的结论个数为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
请写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式：______．
从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
已知是的高，，，则 ______ ．
如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在第一象限，点在轴正半轴上，，若将菱形绕点顺时针旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标为______．
如图，点在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
完成下列各题．
计算：；
解方程：
；
．
我市去年成功举办郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”我市有，，，，五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游只选一个景区的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是______人，______，并补全条形统计图；
若该小区有居民人，试估计去地旅游的居民约有多少人？
小军同学已去过地旅游，暑假期间计划与父母从，，，四个景区中，任选两个去旅游，求选到，两个景区的概率．要求画树状图或列表求概率
如图，在由边长为的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及及；
若点、的坐标分别为、，请画出平面直角坐标系并指出点的坐标；
画出关于轴对称再向上平移个单位后的图形；
以图中的点为位似中心，将作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到．
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的数学的发现一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形的和两边上分别取一点和，使得如图解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在上作出一点，使得，连接第二步，在上取一点，作，交于点，并在上取一点，使第三步，过点作，交于点第四步，过点作，交于点，再过点作，交于点．
则有．
下面是该结论的部分证明：
证明：，，
又．
．
同理可得．
，．
任务：请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形的形状，并加以证明；
请再仔细阅读上面的操作步骤，在的基础上完成的证明过程；
上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形放大得到四边形，从而确定了点，的位置，这里运用了下面一种图形的变化是______．
A.平移 旋转 轴对称 位似
某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元不含套餐成本若每份套餐售价不超过元，每天可销售份；若每份套餐售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价元取整数，用元表示该店每天的纯收入．
若每份套餐售价不超过元．
试写出与的函数关系式；
若要使该店每天的纯收入不少于元，则每份套餐的售价应不低于多少元？
该店把每份套餐的售价提高到元以上，每天的纯收入能否达到元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证纯收入又能吸引顾客？
如图，，为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点，从建筑物的顶点测得点的俯角为，从建筑物的顶点测得点的俯角为，测得建筑物的顶点的俯角为若已知建筑物的高度为米，求两建筑物顶点、之间的距离结果精确到，参考数据：，．
已知抛物线．
当时，请判断点是否在该抛物线上；
该抛物线的顶点随着的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标．
类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图，在平行四边形中，点是的中点，点是线段上一点，的延长线交射线于点若，求的值．
尝试探究
在图中，过点作交于点，则和的数量关系是______ ，和的数量关系是______ ，的值是______ ．
类比延伸
如图，在原题的条件下，若，则的值是______ 用含有的代数式表示，试写出解答过程．
拓展迁移
如图，梯形中，，点是的延长线上的一点，和相交于点若，，，则的值是______ 用含、的代数式表示．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
此题主要考查了由三视图判断几何体．主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
先化成一般式后，再求根的判别式．
【解答】
解：原方程可化为：，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：点为位似中心，把中放大到原来的倍得到，
∽，：：，，经过点．
故选：．
根据位似的性质对各选项进行判断．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
4.【答案】
【解析】解：反比例函数，当时随的增大而增大，
，
．
故选：．
先根据反比例函数，当时随的增大而增大判断出的符号，求出的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出的符号是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，或，，
当，时，函数的图象开口向上，顶点在原点，函数的图象经过第一、三、四象限，故选项A、B错误，不符合题意；
当，时，函数的图象开口向下，顶点在原点，函数的图象经过第二、三、四象限，故选项C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意；
故选：．
根据，可以得到，或，，然后分类讨论与的图象所在的象限，本题得以解决．
本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
6.【答案】
【解析】解：将，先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，
平移前抛物线的解析式是：．
故选：．
直接利用二次函数平移规律进而将，先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：
∽
，，，，
由勾股定理求得，
米，
米，
故选：．
利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
8.【答案】
【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
点和点关于直线对称，
点横坐标为，
点横坐标为，
时，，
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线，从而可得点横坐标，进而求解．
本题考查二次函数与不等式，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
9.【答案】
【解析】解：直线与轴、轴分别交于点和点，
，，即：，；
：：，又∽，
，
设，，则，，
有，，解得，，
，解得，，
，
故选：．
根据直线可求出与轴、轴交点和点的坐标，即求出、的长，再根据相似三角形可得对应边的比为：，设未知数，表示出长方形的面积，即求出的值．
本题考查反比例函数、一次函数的图象上点的坐标特征，求出点的坐标和线段的长是正确求解的关键．
10.【答案】
【解析】解：错误．，函数随是增大而减小，
，故错误．
正确．，
，，
，，
，
是等腰三角形，故正确．
正确．设，则，，
，，
，
，故正确．
正确．设，则，，
，，，
，，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，故正确．
正确，
故选C．
错误．因为，函数随是增大而减小，所以；
正确．求出、两点坐标即可解决问题；
正确．设，则，，可得，，推出，；
正确．设，则，，推出，，，由∽，可得，列出方程即可解决问题；
本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】
【解析】解：开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式为，
故答案为：答案不唯一．
根据二次函数的性质，所写出的函数解析式是正数，即可．
本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
12.【答案】
【解析】解：画树状图得：
则共有种等可能的结果，
反比例函数中，图象在二、四象限，
，
有种符合条件的结果，
图象在二、四象限，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了反比例函数的图象与性质．
13.【答案】或
【解析】解：如图所示：
，，
，，
；
，，
，，
．
故或．
高的位置分两种情形．根据三角函数的定义先求出、的度数，再相加或相减即可求出的度数．
本题考查了三角函数的知识和分类讨论的思想．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了坐标与图形变化旋转，菱形的性质，等腰直角三角形，作轴于点，连结，，根据菱形的性质得到，再根据旋转的性质得，，则，所以为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得，然后根据第四象限内点的坐标特征写出点的坐标．
【解答】
解：作轴于点，连结，，如图，
四边形为菱形，
，平分，
，
菱形绕原点顺时针旋转至第四象限的位置，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
点的坐标为
故答案为：
15.【答案】
【解析】解：连接，
在正方形、中，
，
，
设，，
，，
，
故答案为：．
根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
16.【答案】解：原式
；
方程，
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
方程，
整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
【解析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
方程利用因式分解法求出解即可；
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，实数的运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
17.【答案】解：；；
估计去地旅游的居民约有人；
画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中选到，两个景区的有种结果，
所以选到，两个景区的概率为．
【解析】
【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
先由景区人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念和各景区人数之和等于总人数求解可得；
利用样本估计总体思想求解可得；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到选到，两个景区的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】
解：该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是人，
则，即，
景区人数为人，
补全条形图如下：
故答案为，；
见答案；
见答案．
18.【答案】解：如图所示，；
如图所示：即为所求；
如图所示：即为所求．
【解析】根据，点坐标作出直角坐标系，进而求出点坐标；
根据轴对称的性质结合平移的性质得出答案；
利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了位似变换、轴对称变换和平移变换，根据题意建立正确的坐标系是解题关键．
19.【答案】四边形是菱形．
证明：，，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是菱形．
证明：，
．
，
．
．
．
四边形是菱形，
．
．
或位似
【解析】
解：见答案．
见答案．
通过作平行线把四边形放大得到四边形，从而确定了点，的位置，此时四边形∽四边形，所以该变换形式是位似变换．
故答案是：或位似．
【分析】
四边形是菱形．首先由“两组对边相互平行的四边形是平行四边形”推知四边形是平行四边形，再由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得结论；
利用菱形的四条边相等推知根据等量代换得到．
根据位似变换的定义填空．
考查了相似综合题型，掌握菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，位似变换，位似图形的两个图形必须是相似形．
20.【答案】解：，
依题意得：，
解得：，
，且每份套餐的售价元取整数，
每份套餐的售价应不低于元．
依题意可知：每份套餐售价提高到元以上时，
，
当时，
，
解得：，，
为了保证净收入又能吸引顾客，应取，即不符合题意．
故该套餐售价应定为元．
【解析】利用每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元不含套餐成本，以及每份套餐售价不超过元，每天可销售份得出等式求出即可；
由题意得，解出的取值范围即可．
由题意可得与的函数关系式，再求出当时的值即可．
本题考查的是一次函数的实际应用和一元二次方程的应用以及分段函数的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系．
21.【答案】解：，，
，
，
，
在中，，
作于，
由题意得，，
，
在中，，
，
，
在中，，，，
，
米，
答：两建筑物顶点、之间的距离约为米．
【解析】在中，根据等腰直角三角形的性质求得，在中，根据正弦函数求得，在中，根据正弦函数求得．
本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键．
22.【答案】解：当时，抛物线为，
将代入得，
点不在抛物线上；
抛物线的顶点为，
化简得，
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而，
时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，
此时顶点坐标为：．
【解析】当时，抛物线为，将代入得，故点不在抛物线上；
抛物线的顶点为，而，
即得时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是熟知二次函数的性质以及顶点公式．
23.【答案】；；；；
【解析】解：依题意，过点作交于点，如右图所示．
则有∽，
，
．
，，
，
又为中点，
为的中位线，
．
．
故答案为：；；．
如右图所示，作交于点，则∽．
，
．
，
．
，
∽．
，
．
．
故答案为：．
如右图所示，过点作交的延长线于点，则有．
，
∽，
，
．
又，
．
，
∽，
，
故答案为：．
本问体现“特殊”的情形，是一个确定的数值．如答图，过点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用来表示，最后求得比值；
本问体现“一般”的情形，不再是一个确定的数值，但问中的解题方法依然适用，如答图所示．
本问体现“类比”与“转化”的情形，将问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图所示．
本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊的例子出发第问，推广到平行四边形中的一般情形第问，最后再通过类比、转化到梯形中去第问各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．
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