高中数学人教A版必修第一册第二册综合拔高试卷9word版含答案

高中数学人教A版必修第一册第二册综合拔高试卷9
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知函数，则方程的根的个数为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
3．已知函数，若方程恰有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设集合，若是的子集，把中的所有数的和称为的“容量”（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，命题①：的奇子集与偶子集个数相等；命题②：当时，的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，则下列说法正确的是（ ）
A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立
5．定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为
A． B． C． D．
6．设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（ ）
A． B．16 C． D．17
二、多选题
7．如图，在菱形中，,，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．
B．的长不为定值
C．与的夹角为
D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
8．以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：
A．设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”
B．函数的充要条件是有最大值和最小值
C．若函数，的定义域相同，且，，则
D．若函数有最大值，则
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知（其中，为自然对数的底数），若在上有三个不同的零点，则的取值范围是________.
10．已知长方体的棱，，点，分别为棱，上的动点.若四面体的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）
①存在点，使得；
②不存在点，使得；
③当点为中点时，满足条件的点有3个；
④当点为中点时，满足条件的点有3个；
⑤四面体四个面所在平面，有4对相互垂直.
11．已知，，若有两零点、，且，则的取值范围是___________.
12．已知集合M=，对它的非空子集A，可将A中每个元素K都乘以再求和（如A=，可求得和为），则对M的所有非空子集，这些和的总和是__________________．
四、解答题
13．整数，集合，A，B，C是集合P的3个非空子集，记，为所有满足，的有序集合对的个数．
（1）求；
（2）求．
14．设，函数．
（1）若，求证：函数为奇函数；
（2）若，判断并证明函数的单调性；
（3）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围．
15．已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的周期为的级类周期函数．
（1）已知是上的周期为1的级类周期函数，且是上的严格增函数，当时，，求实数的取值范围；
（2）设函数是上的周期为1的2级类周期图数，且当时，．若对任意，都有，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．
16．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B．现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为．记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）．
（1）若，求QN的长度；
（2）求新路总长度的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．
【详解】
因为是内一点，且
所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时
所以，即
当M与C重合时，最大，此时
所以，即
因为在内且不含边界
所以取开区间，即
所以选B
【点睛】
本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题．
2．A
【分析】
令，先求出方程的三个根，，，然后分别作出直线，，与函数的图象，得出交点的总数即为所求结果.
【详解】
令，先解方程.
（1）当时，则，得；
（2）当时，则，即，解得，.
如下图所示：
直线，，与函数的交点个数为、、，
所以，方程的根的个数为，故选A.
【点睛】
本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题．
3．D
【分析】
利用基本不等式计算得出，由题意可知，关于的方程有两个不等的实根、，且、，然后作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
，，
设.
当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立.
所以，.
当时，.
作出函数的图象如下图所示：
由于方程恰有个实根，则关于的方程有两个实根、，设.
若，则，此时关于的方程的另一实根，
直线与函数的图象只有一个交点，
直线与函数的 图象有两个交点，
此时，关于的方程恰有个实根，不合乎题意；
若，则，则关于的方程的另一实根，
直线与函数的图象有且只有一个交点，
直线与函数的 图象有两个交点，
此时，关于的方程恰有个实根，不合乎题意；
所以，关于的方程有两个不等的实根、，且、，
由图象可知，或.
故选：D.
【点睛】
思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数与外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）然后确定直线与内层函数的交点个数，最后得到原函数的零点个数为.
4．A
【分析】
设为的奇子集，构造集合，得到奇子集与偶子集个数相等，①正确；
计算奇子集容量之和是，等于偶子集的容量之和，得到②正确，判断得到答案.
【详解】
设为的奇子集，令，则是偶子集
是奇子集到偶子集的一一对应，且每个偶子集，均恰有一个奇子集，
与之对应，故的奇子集与偶子集个数相等，所以①正确；
对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知，在时，这个子集中有一半是奇子集，在时，由于，将上边的1换成3，同样可得其中有一半是奇子集，于是计算奇子集容量之和是，根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，所以当时，的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，即命题②正确，
故应选.
【点睛】
本题考查了集合的新定义问题，构造集合是解题的关键.
5．C
【分析】
先结合题中条件得出函数为减函数且为奇函数，由，可得出，化简后得出，结合可求出，再由结合不等式的性质得出的取值范围.
【详解】
由知此函数为减函数.
由函数是关于的“中心捺函数”，知曲线关于点对称，故曲线关于原点对称，故函数为奇函数，且函数在上递减，
于是得，.
，.
则当时，令m=x，y=n则：
问题等价于点（x，y）满足区域，如图阴影部分，
由线性规划知识可知为（x，y）与（0，0）连线的斜率，
由图可得，
，故选C.
【点睛】
本题考查代数式的取值范围的求解，解题的关键就是分析出函数的单调性与奇偶性，利用函数的奇偶性与单调性将题中的不等关系进行转化，应用到线性规划的知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
6．B
【分析】
作出函数的大致图象，可知，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解.
【详解】
作出函数的大致图象，如图所示：
当时，对称轴为，所以，
若关于的方程有四个实根，，，，则，
由，得或，则，
又，所以，
所以，所以，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
7．AC
【分析】
对于A根据已知条件证明平面即可；对于B根据已知条件求出的长即可；对于C转化为求与的夹角即可；对于D根据三棱锥的体积最大时的特征放入长方体中求解即可.
【详解】
对于A，如图1所示，因为在菱形中，,，所以易证是等边三角形，又因为为的中点，所以，由翻折性质知.又因为平面,,所以平面,因为平面,所以.故A正确.
对于B，如图1所示，取中点，由三角形中位线定理知,在菱形中易证，因为和的两边方向相同，则由等角定理易证，在中由余弦定理得，得，所以的长为定值，故B错误.
对于C，如图1所示，由已证知，所以与的夹角即为与的夹角，在中，由余弦定理得,因为，所以，由于空间中两直线夹角范围为，所以与的夹角为，即与的夹角为，故C正确.
对于D，由题意可知当平面平面时三棱锥的体积最大.由A项已证知此时平面，因为，所以.如图2所示,要求三棱锥外接球表面积即求如图长方体外接球的表面积，由已知得长方体的长宽高分别为，则长方体外接球半径，则表面积为，故D错误.
故选:AC
【点睛】
一.求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
二.几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系
8．ACD
【分析】
A选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；
B选项中举反例保证函数的值域为集合的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；C选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现，从而发现命题正确；D选项中从极限的角度证明，均不成立，所以，再求出函数的值域为，从而得到命题D正确.
【详解】
对A，“”即函数值域为，“，，”表示的是函数可以在中任意取值，故有：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”，命题A是真命题；
对B，若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．
．例如：函数满足，则有，此时，无最大值，无最小值．命题B“若函数，则有最大值和最小值．”是假命题；
对C，若函数，的定义域相同，且，，则值域为，，并且存在一个正数，使得，，则．命题C是真命题．
对D，函数有最大值，假设，当时，，，，则，与题意不符； 假设，当时，，，，则，与题意不符.，即函数，当时，，，即；当时，；当时，，，即．
，即，故命题D是真命题．
故选ACD.
【点睛】
本题以新定义概念为问题背景，考查函数值域的概念、基本不等式、充要条件、双勾函数等知识的综合，还考查了极限思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．
9．
【分析】
先按照和两种情况求出，再对和分别各按照两种情况讨论求出，最后令，求出函数的零点，恰好有三个.因此只要求出的三个零点满足各自的范围即可.
【详解】
解：当时，，
当时，由，可得，
当时，由，可得.
当时，，
当时，由，可得无解，
当时，由，可得.
因为在上有三个不同的零点，
所以，
解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的零点，分段函数，分类讨论的思想，属于难题.
10．①②④
【分析】
在长方体中，根据线面位置关系，逐个分析即可得解.
【详解】
因为四面体的四个面都是直角三角形，所以为直角或为直角，
（若为直角，则为直角必为锐角三角形）
若为直角时，因为平面，则推得平面
因此平面平面，平面平面，平面平面，即仅有三对平面相互垂直，
同理，为直角时亦然，故⑤错误，
对①，在四面体中，有平面 ，
所以根据三垂线定理及其逆定理得，故存在，①正确；
对②，若，又因为，
则有平面，就有，
此时分别和重合，
则不是直角三角形，不符题意，故不存在，②正确；
对③，为中点时，若为直角，则满足条件的F只有一个，
若为直角，因为，即满足条件的F不存在，即③错；
对④，根据题意，若为直角， 因为,即满足条件的有2个，
若当为直角时有一解，故有1个，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查了空间线面的关系，考查了线线、线面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理能力，需要较强的空间感，属于难题.
11．
【分析】
由可得出，令，可知函数与函数图象的两个交点的横坐标、满足，对实数的取值进行分类讨论数形结合可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围，即为所求.
【详解】
由可得，等式两边同除以，可得.
令，可得，即，设，
①当时，作出函数与函数的图象如下图所示，
若使得两个函数的图象有两个交点，则，解得，且，
由，解得，由，解得，
，不合乎题意；
②当时，作出函数与函数的图象如下图所示，
，此时两个函数图象没有交点，不合乎题意；
③当时，则，
两个函数图象没有交点，不合乎题意；
④当时，作出函数与函数的图象如下图所示，
此时，两个函数的图象有两个交点，且，
（i）若，即时，
由，解得，由，解得，
，合乎题意；
（ii）若时，则，则，不合乎题意；
（iii）当，即时，
由，可得，由，可得，
此时，不合乎题意.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
12．96
【分析】
根据题意，将M中所有非空子集按元素个数分类考虑，先将所有非空子集中含有1的子集总数确定，同理确定含有2，3，4，5，6的总个数，再按给定的定义求解.
【详解】
因为集合M=，
所以M的所有非空子集中含1的共有6类：
单元素集合，只有{1}，即1出现了 次，
双元素集合，有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，即1出现了 次，
三元素集合，有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，6}
{1，3，4}，{1，3，5}，{1，3，6}，
{1，4，5}，{1，4，6}
{1，5，6}，即1出现了 次，
…
依此推，
含有6个元素的有{1，2，3，4，5，6}，即1出现了 次，
所以1共出现次.
同理2，3，4，5，6各出现 次，
所以M的所有非空子集，这些和的总和是 .
故答案为：96
【点睛】
本题主要考查了集合新定义问题，还考查了分类讨论，理解辨析的能力，属于难题.
13．（1）；（2）．
【分析】
（1）由题意得，，，，或，，，，，即可得到的值；
（2）当B中的元素个数为时，集合A的种数为，集合C的种数为；当B中的元素个数为n时，集合A的种数为，集合C的种数为，即可得到的值；
【详解】
（1）当时，集合，非空子集为，，，
因为，，
所以当时，，则，，；
当时，，则，，．
综上，．
（2）当B中的元素个数为时，集合A的种数为，集合C的种数为；当B中的元素个数为n时，集合A的种数为，集合C的种数为．
所以
．
【点睛】
本题考查集合的新定义、二项式定理的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力，难度较大.
14．（1）证明见详解；（2）定义域上单调递增，证明见详解；（3）-1；
【分析】
（1）代入解析式，根据函数式知定义域为且，即为奇函数；
（2）利用单调性定义令，有，即可知大小关系.
（3）有题设知，而，讨论、，结合函数在相应区间的单调性，应用一元二次方程、不等式组求的范围．
【详解】
（1）时，有且定义域为，
∴，
综上有：的定义域关于原点对称且，即为奇函数；
（2）时，有，即定义域为R，结论为：在R上单调递增.
设对任意两个实数：，则
，而，，
∴，即得证.
（3）由知：，由知：，所以，
∵，所以或，
∴当时，由（2）知在R上单调递增，结合题意有，
，得，即是的两个不同的实根，
∴令，则在上有两个不同实根，
故，可得，
当时，在上都递减，
若，有，则与矛盾，舍去；
若，有，即有
，即，所以，两式相减得
，又，即有，则，显然与、矛盾.
∴综上有.
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据函数单调性、奇偶性定义证明函数的单调性、奇偶性；
（2）由给定区间及其值域，结合函数的单调性，构造方程将问题转化为二次函数根的分布及有解问题求范围.
15．（1）；（2）；（3）答案见解析；
【分析】
（1）根据函数定义有，易得时，根据已知条件有且即可求的范围；
（2）由函数定义有时，再结合题设函数不等式恒成立、二次函数的性质，求的范围；
（3）由题意恒成立，讨论、分别求对应值.
【详解】
（1）由级类周期函数定义知：，即
∴当时，，…，当时，，
∵是上的严格增函数，且上单调递增，
∴且，解得，
∴.
（2）由题设：，而时，
∴当，即时，
当，即时，
∴，使，解得或
对任意都有，则.
（3）若存在，则，即恒成立，
∴当时，；
当时，，则，
若，，可得，
若，，可得，
∴综上，时；时.
【点睛】
关键点点睛：利用级类周期函数的定义确定相应区间上的函数解析式，根据函数的单调性、函数不等式恒成立、存在性问题求参数.
16．（1）1千米；（2）．
【分析】
（1）连接CB，CN，CM，可得，OM，ON，PM，QN均与圆C相切，通过圆心角为可求出∠QCB＝，从而得到四边形BCQN是正方形，进而可得QN＝CQ＝1，
（2）因为∠PCA＝，所以∠MCP＝，∠NCQ＝，利用弧长公式可求得MP＝，，NQ＝，由于，所以（，），设新路长为，则，然后结合基本不等式进行计算即可得解
【详解】
（1）连接CB，CN，CM，
因为OM⊥ON，所以OM，ON，PM，QN均与圆C相切
所以CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，
所以CB⊥CA
因为∠PCA＝，∠PCQ＝，
所以∠QCB＝，
此时四边形BCQN是正方形，所以QN＝CQ＝1，
答：QN的长度为1千米；
（2）∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ＝，
则MP＝，，NQ＝
设新路长为，其中（，），即
∴，
，当时取“＝”，
答：新路总长度的最小值为．
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角函数在实际生活中的应用，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页