高中数学人教A版必修第一册第二册综合拔高试卷8word版含答案

高中数学人教A版必修第一册第二册综合拔高试卷8
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知，则下列关系中成立的是
A． B． C． D．
2．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数f（x）（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1），有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在（，）上单调递减；③当θ∈[，]时，有|f（x）|；④当θ∈[，]时，有|f'（x）|；其中所有真命题的编号是
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④
5．已知矩形为中点，沿直线将翻折成，直线与平面所成角最大时，线段长是
A． B． C． D．
6．已知四点均在半径为（为常数）的球的球面上运动，且，，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有4个零点，则实数k的取值范围为
B．关于x的方程有个不同的解
C．对于实数，不等式恒成立
D．当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为1
8．以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：
A．设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”
B．函数的充要条件是有最大值和最小值
C．若函数，的定义域相同，且，，则
D．若函数有最大值，则
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知平面向量，，则的最大值是_______，最小值是_______.
10．已知定义在上的偶函数满足．且当时，．若对于任意，都有，则实数的取值范围为___________．
11．已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为________.
12．已知函数，则下列四组关于的函数关系：①；②；③；④，其中能使得函数取相同最大值的函数关系为______.
四、解答题
13．已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有．
（1）判断函数的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式；
（3）若对所有恒成立，求实数的取值范围．
14．已知无穷集合A，B，且，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”.
（Ⅰ）已知集合，.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；
（Ⅱ）设集合，.
（ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；
（ⅱ）记和分别表示集合A，B中不大于n（）的元素个数，写出满足的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明）
15．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数（）的值域为，求b的值；
（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；
（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
16．定义凡尔赛函数已知，．
（1）求关于a的表达式，并求的最小值．
（2）当时，函数在上有唯一零点，求a的取值范围．
（3）已知存在a，使得对任意的恒成立，求b的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
利用对数式特殊值，解对数方程，再比较x,y,z的大小关系．
【详解】
由题意知，，，
解得．
同理可解得，
比较x和y：取，
比较x和z：取，
比较y和z：取，
综上所述：，故选C．
【点睛】
对数式特殊值有，结合对数式指数式互化，解决一些特殊的对数方程．再构造同指数幂比较大小．
2．C
【分析】
利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】
如图，因为，
所以，同理，，
所以为的垂心。
因为四边形的对角互补，所以，
．
同理，，
，
．
，
．
又
．
由奔驰定理得.
故选C．
【点睛】
本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.
3．A
【分析】
由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.
【详解】
由题意知：或
∴或
∴或
∵在上单调递减，∴
∴
①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知
此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.
4．D
【分析】
对①直接进行奇偶性的判断即可，对②③④可用换元法，转化成二次函数的图像与性质进行判断即可.
【详解】
①函数的定义域为R，
∵f（﹣x）=（cosθ+1）cos2（﹣x）+cosθ[cos（﹣x）+1]=（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1）=f（x），
∴f（x）是偶函数，即①正确；
②f（x）=2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1，
设t=cosx，则f（t）=2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1，
∵2（cosθ+1）0，∴二次函数的开口向上，
函数的对称轴为t，且t的正负与cosθ的取值有关，
∴f（x）在（，）上不一定单调递减，即②错误；
③当θ∈[，]时，cosθ∈[，]，
f（x）=2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1
设t=cosx，则t∈，
则f（t）=2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1，
∵2（cosθ+1）0，∴二次函数的开口向上，
函数的对称轴为t，
，
，
，
当， 故③错误.
④当θ∈[，]时，cosθ∈[，]
有
，故④成立.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数单调性、奇偶性的判断，也考查了求函数的最值，同时考查了转化思想和计算能力，属于难题.
5．C
【分析】
取的中点，连接交于的中点，，进而有平面，过点作于点，可证平面，连接，设直线与平面所成的角为，平面与平面所成的角为，根据条件可知，平面，，通过边长关系求出，，，以及利用余弦定理求出，从而得出，根据同角三角函数关系和换元法令，得出，再根据基本不等式时得出当时，取得最大值，从而可求出线段长
【详解】
解：取的中点，连接交于的中点，
在矩形中，为中点，
所以四边形为正方形，，
所以，
故平面，在平面内过点作于点，
则，所以平面，连接，
设直线与平面所成的角为，即
设平面与平面所成的角为，
，所以，
所以，
所以在中，，
则，
在中，，
则由余弦定理得出：，
则有
，
令，则，
即：，
当直线与平面所成角最大时，最大，
即取得最大值时，当且仅当，
此时，
所以，
，
即.
故选：C.
【点睛】
本题考查线面角和二面角的定义，还运用余弦定理和利用基本不等式求最值，还涉及同角三角函数关系和换元法，考查转化思想和化简运算能力.
6．C
【分析】
由题意要使四面体的体积最大，则在底面的投影恰好为底面三角形外接圆的圆心，则外接球的球心在上，求出三棱锥的体积，由均值不等式可得的值，进而求出外接球的表面积．
【详解】
因为，作于，
则为的中点，且，
若四面体的体积的最大值时，则面，则外接球的球心在上，设为，
设外接球的半径为，连接，则，
当且仅当，即时取等号，
因为三棱锥的最大体积为，
所以，可得，
所以外接球的表面积为，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是几何体的体积和表面积公式及利用基本不等式求最值，属于较难题.
7．AC
【分析】
根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.
【详解】
当时，；当 时，；
当，则， ；
当，则， ；
当，则， ；
当，则，；
依次类推，作出函数的图像：
对于A，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率应该在直线m, n之间，又，，，故A正确；
对于B，当时，有3个交点，与不符合，故B错误；
对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C正确；
对于D， 取，，此时函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故D错误；
故选：AC
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
8．ACD
【分析】
A选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；
B选项中举反例保证函数的值域为集合的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；C选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现，从而发现命题正确；D选项中从极限的角度证明，均不成立，所以，再求出函数的值域为，从而得到命题D正确.
【详解】
对A，“”即函数值域为，“，，”表示的是函数可以在中任意取值，故有：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”，命题A是真命题；
对B，若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．
．例如：函数满足，则有，此时，无最大值，无最小值．命题B“若函数，则有最大值和最小值．”是假命题；
对C，若函数，的定义域相同，且，，则值域为，，并且存在一个正数，使得，，则．命题C是真命题．
对D，函数有最大值，假设，当时，，，，则，与题意不符； 假设，当时，，，，则，与题意不符.，即函数，当时，，，即；当时，；当时，，，即．
，即，故命题D是真命题．
故选ACD.
【点睛】
本题以新定义概念为问题背景，考查函数值域的概念、基本不等式、充要条件、双勾函数等知识的综合，还考查了极限思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．
9．
【分析】
设， 易得，则，进而表示，作图分析只讨论；利用分类讨论与的投影的正负，以与垂直，与垂直作为分界线，从而分三类讨论单调性，求得分别的最值，即可求得答案.
【详解】
因为，可设， 易得，则
所以或 ，其外有绝对值，结果一样故后面只讨论前者，将其整理为；
从图象中可看出对顶角部分（无论阴影部分还是非阴影部分）是对称的，所以只讨论
①当与的投影均非负时，显然以与垂直是第一个分界线，则
则
因为，所以
由，即，则，所以最小值为11，最大值为16；
②当与的投影为负，与的投影为正时，显然以与垂直是第二个分界线，则
则
显然在第四象限，因，所以，即，故，
所以在区间上应单调递减，
故；
③当与的投影均为负时，则
所以
由①中，即
所以在区间上应单调递减
故；
综上所述，的最大值为16，最小值为.
故答案为：(1).；(2).
【点睛】
本题考查在平面向量的背景下转化为三角函数求最值，涉及向量数量积的坐标运算与表示，还考查了分类讨论思想的使用，属于难题.
10．
【分析】
先求得的值，由此求得的值.证得是周期为的周期函数，将转化为，根据的周期性和对称性，将转化为，结合求得的取值范围.
【详解】
由，令，得.由于当时，，所以.故当时，.，由于为偶函数，所以.由，得，所以是周期为的周期函数.当时，，所以.所以当，.得，故.所以当时，，所以.结合是周期为的周期函数，画出的图像如下图所示.由得（），对于任意成立.时，，解得，所以，即对于任意成立.当时，由得，由于在递减，所以；由得，由于在在递增，所以.综上所述，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性，考查函数解析式的求法，考查不等式恒成立问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
11．
【分析】
由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.
【详解】
原问题等价于，
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
综上，满足条件的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.
12．①②④
【分析】
先求得取得最大值时的值，再将点的值代入题目所给四个函数关系，由此判断出正确的结论.
【详解】
依题意，令①，当取得最小值时，取得最大值.
（i）当时，.
（ii）当时：由①去分母并化简得
，此方程有解，故，整理得，此一元二次不等式有解，所以，整理得，即，解得.
综上所述，所以的最小值为.
由，化简得，即，所以.
即当时，取得最小值，取得最大值.
将点代入①②③④进行验证：
①，符合；
②，符合；
③，不符合；
④，符合.
所以点满足①②④，不满足③.
故答案为：①②④
【点睛】
本小题主要考查二元分式型函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
13．
（1）增函数，证明见解析
（2）
（3），或，或
【分析】
（1）将已知变形得到，设，再利用函数的奇偶性和已知的条件，结合单调性定义即可证得结论；
（2）利用函数的单调性解不等式即可得解；
（3）将已知变形为恒成立，设,对恒成立，即 ,解不等式组求得的取值范围.
（1）
已知，
变形得到， ，，
任取，且
则
,
由已知，
在上是增函数
（2）
因为 在上为增函数，
所以
所以不等式的解集为；
（3）
由 在上为增函数，，
所以对所有恒成立，
等价于对任意恒成立
设，对，恒成立,
，或，或
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，函数的单调性的判断和证明，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，根据函数的恒成立问题求的取值范围是解题的难点.
14．（Ⅰ），；见解析（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由a为奇数，b为偶数，可得为奇数，即可判断2019和2020是否属于集合；
（Ⅱ）（ⅰ）对于任意自然数p可表示为唯一一数组（，，，…，，…，），其中，1；，1，…，k，，使得，，1；，1，…，k，，考虑自然数p的个数即可得证；再证
，其中，1；，1；，1，…，k，，则.由反证法即可得证；
（ⅱ）考虑集合中元素为奇数，可为.
【详解】
（Ⅰ）由，得是奇数，
当，时，，
所以，；
（Ⅱ）（ⅰ）首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组（，，，…，，…，），
其中，1；，1，…，k，，
使得，，1；，1，…，k，，
由于，
这种形式的自然数p至多有个，且最大数不超过.
由，1；，1，…，k，，每个都有两种可能，
所以这种形式的自然数p共有个结果.
下证
，
其中，1；，1；，1，…，k，，则.
假设存在中，取i最大数为j，
则
，
所以不可能.
综上，任意正整数p可唯一表示为
显然，，
满足，所以集合A，B互为“完美加法补集”.
（ⅱ）.
【点睛】
本题考查集合的新定义，以及其性质的探索，关键在于理解集合的新定义，运用整数集上的性质得证，属于难度题.
15．（1）；（2）该函数在上是减函数，在区间上是增函数，理由见解析；（3）在区间上是减函数，在区间上是增函数，最大值，最小值．
【分析】
（1）结合的单调性求得函数的最小值，结合此时的值求得.
（2）结合函数的奇偶性以及函数单调性的定义，判断出函数的单调性.
（3）结合函数的奇偶性和单调性进行合情推理.结合的单调性求得在区间上的最大值和最小值.
【详解】
（1）依题意可知当时，函数（）取得最小值是，则，故．
（2）设，．
当时，，函数在上是增函数；
当时，，函数在区间上是减函数；
又是偶函数，故该函数在上是减函数，在区间上是增函数．
（3）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数，当n是奇数时，函数在在上是减函数，在区间上是增函数，在上是增函数，在区间上是减函数；
当n是偶数时，函数在区间上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在区间上是增函数．
．
因此在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以，当或时，取得最大值；当时，取得最小值．
【点睛】
能顺利解决本题的源头是函数和函数的图像与性质，因为各小题都是由函数引申出来的研究学习性问题，也就是说在学习各类函数的过程中，对最为原始、最为基本的函数的图像与性质必须掌握牢固、理解透彻，有助于解决各类函数难题．
16．（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题意，表示出，分析其单调性即可.（2）由得：，即，令，
在同一坐标系中分别画出两个函数在上的图象，数形结合即可；（3）将题目转化为对任意的恒成立，分类讨论即可.
【详解】
（1）因为，
所以，
所以
因为在时减函数，在时是增函数，
所以当时，的最小值为.
（2）当时，函数
当时，，
由得：，即，令，
在同一坐标系中分别画出两个函数在上的图象，如图所示：
由图可知，当，两个函数有且仅有一个交点，即在上有唯一零点.
（3）当时，，由，得，
所以且对任意的恒成立，
即对任意的恒成立
因为在上单调递增，所以当时，取最大值.
而在上的最小值为
①
②
③，
综上所述，.
【点睛】
本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，分类讨论思想，难度较大.
答案第1页，共2页
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