高中数学人教A版必修第一册第二册综合拔高试卷4word版含答案

高中数学人教A版必修第一册第二册综合拔高试卷4
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知正三棱锥的底面是边长为6的正三角形，其外接球球的表面积为，且点到平面的距离小于球的半径，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
5．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，是以为直径的圆上的动点，且，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
7．定义“正对数”：，若，，则下列结论中正确的是.
A． B．
C． D．
8．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知（其中，为自然对数的底数），若在上有三个不同的零点，则的取值范围是________.
10．已知函数，则下列四组关于的函数关系：①；②；③；④，其中能使得函数取相同最大值的函数关系为______.
11．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是______.
12．定义函数，表示函数与较小的函数．设函数，，p为正实数，若关于x的方程恰有三个不同的解，则这三个解的和是________．
四、解答题
13．已知函数，其中a为实数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若在上为严格增函数，求实数a的取值范围；
（3）对于，若存在两个不相等的实数使得，求的取值范围．（结果用a表示）
14．已知二次函数．
（Ⅰ）若，且在上的最大值为，求函数的解析式；
（Ⅱ）若对任意的实数b，都存在实数，使得不等式成立，求实数c的取值范围．
15．已知关于的函数为上的偶函数，且在区间上的最大值为10.设.
（1）求函数的解析式.
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
（3）是否存在实数，使得关于的方程有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数的范围，如果不存在，说明理由.
16．对于集合.
.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质.
（1）已知集合，，写出，并求出此时的值；
（2）已知均有性质，且，求的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，2为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值.
【详解】
∵，而，
∴，又，即，
∴，，
如上图示，若，则，
∴在以为圆心，2为半径的圆上，若，则，
∴问题转化为求在圆上哪一点时，使最小，又，
∴当且仅当三点共线且时，最小为.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：由已知确定，， 构成等边三角形，即可将问题转化为圆上动点到射线的距离最短问题.
2．C
【分析】
先求解函数在区间的零点，将区间进行分区，在每一个区间内利用函数的图象研究函数的正负，从而得出结果。
【详解】
函数的定义域需要满足，
可以先考虑，
因为
所以当时，或；
当时，或或；
当时，或或或；
当时，或或或或；
这时区间自然就被分为六个区间，分别为，，，，，，然后对每一个区域分析函数的符号，
根据图象可得，当时，
，，，，
所以，故满足题意；
同理可得时，，故不满足题意；
时，，故满足题意；
时，，故满足题意；
时，，故不满足题意；
时，故满足题意.
故选：C
【点睛】
本题考查了对数函数的定义域问题，考查了分类讨论的思想方法，还考查了函数的图象的画法。
3．A
【分析】
利用外接球的表面积求出外接球半径为，再根据勾股定理求出点到平面的距离，找到异面直线与所成的角，然后在三角形中利用余弦定理进行分析求解，即可得到答案.
【详解】
因为外接球的表面积为，设外接球半径为，则，则，
设点到平面的距离为， 的中心为，则，由勾股定理得，解得：或（舍去）
取的中点，则由中位线性质知，，
所以异面直线与所成的角为或其补角，
在中，勾股定理知，即，
，又，，
，
故
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
4．B
【分析】
令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.
【详解】
由函数，
令，则
函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，
由，得，则，
即，，故③正确；
对于①，，，
当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期，由，则，，
又，所以的最小正周期可能是，故②正确；
对于④，，，又，
又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．
故正确结论的序号是：②③
故选：B
【点睛】
方法点睛：函数的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴，由求对称中心.
(4)由求增区间；由求减区间.
5．C
【分析】
是实系数一元二次方程的两个根，是共轭虚数,是实数,结合共轭复数的运算性质,可得是1的立方虚根,再由1的立方虚根的特性,可得答案.
【详解】
是实系数一元二次方程的两个虚数根,
,是实数,
,
,即或，而
.
故选:C
【点睛】
本题考查实系数一元二次方程虚数根的关系,以及共轭复数的运算关系.对特殊复数的性质
的灵活应用是解题的关键,属于难题.
6．A
【分析】
建系，把表示出来，结合辅助角公式及三角函数的有界性，即可求得最大值．
【详解】
解：如图，以圆心为原点，直径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
∴，
∴
，
设，则，
即的最大值是2.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量及辅助角公式的综合运用，旨在考查学生的数形结合思想．
7．AD
【分析】
根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对进行分类讨论，判断出每个命题的真假.
【详解】
对A，当，时，有，从而，，
所以；
当，时，有，从而，，
所以．
所以当，时，，故A正确．
对B，当，时满足，，而，，所以，故B错误；
对C，令，，则，，显然，故C错误；
对D，由“正对数”的定义知，当时，有，
当，时，有，
从而，，
所以；
当，时，有，
从而，，
所以；
当，时，有，
从而，，
所以；
当，时，，，
因为，
所以，所以．
综上所述，当，时，，故D正确．
故选AD．
【点睛】
本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，考查分类讨论思想、转化与化归思想的灵活运用，考查运算求解能力，注意本题容易因为理解不清定义及忘记分类论论的方法使解题无法入手致错.
8．ACD
【分析】
根据题意构造函数，进而通过导数方法判断函数的单调性，然后比较出大小.
【详解】
设函数，，因为
则，
所以在上单调递减，从而，
即，
则必有，，，.
又在上单调递减，所以x>0时，，
所以x>0时，，又，所以.
故选：ACD.
【点睛】
题目给出类似这样的式子，通常都要构造函数，进而求导通过函数的单调性来进行解决，平常注意归纳总结，以积和商的导数求法居多.
9．
【分析】
先按照和两种情况求出，再对和分别各按照两种情况讨论求出，最后令，求出函数的零点，恰好有三个.因此只要求出的三个零点满足各自的范围即可.
【详解】
解：当时，，
当时，由，可得，
当时，由，可得.
当时，，
当时，由，可得无解，
当时，由，可得.
因为在上有三个不同的零点，
所以，
解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的零点，分段函数，分类讨论的思想，属于难题.
10．①②④
【分析】
先求得取得最大值时的值，再将点的值代入题目所给四个函数关系，由此判断出正确的结论.
【详解】
依题意，令①，当取得最小值时，取得最大值.
（i）当时，.
（ii）当时：由①去分母并化简得
，此方程有解，故，整理得，此一元二次不等式有解，所以，整理得，即，解得.
综上所述，所以的最小值为.
由，化简得，即，所以.
即当时，取得最小值，取得最大值.
将点代入①②③④进行验证：
①，符合；
②，符合；
③，不符合；
④，符合.
所以点满足①②④，不满足③.
故答案为：①②④
【点睛】
本小题主要考查二元分式型函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
11．
【分析】
当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.
【详解】
当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥,如图，
由
可得,,
即为正三角形，
所以外接圆圆心为三角形中心，
设三棱锥外接球球心为，连接，则平面，连接,,在中作,垂足为，如图，
因为,,
所以是的中点，由矩形可知,
因为为三角形的中心，
所以
在中，,
所以,
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题.
12．
【分析】
根据新定义,将函数分类讨论确定解析式形式.对分类讨论,确定的取值范围.进而得符合题意的解析式.根据解析式判断函数的单调性,结合函数示意图,即可求得方程的三个根,进而求得三个零点的和.
【详解】
因为,
则 ,
所以,,
当时, ,所以此时
则
若,当时, ,所以此时,则;当时, ,所以此时,则
综上可知,
此时在R上只有两个根,与题意恰有三个不同的解矛盾,所以不成立
因而不成立,所以
若,当时, ,由可解得
所以此时
当时, ,此时,所以
因为,即
综上可知,此时
所以在上单调递减,此时
在上单调递增,此时
在上单调递减,此时
在上单调递增,此时
函数图像示意图如下图所示:
当时,即
解得
所以三个零点的和为
故答案为:
【点睛】
本题考查了函数在新定义中的应用,分类讨论确定函数解析式,函数零点的意义及求法,综合性强,属于难题.
13．
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）分与两种情况，求出最小值；（2）写成分段函数，对分，，与四种情况分类讨论，求出参数的取值范围；（3）研究函数的单调区间及图象特征，分类讨论求出的关系，消去一个变量，再求出取值范围.
（1）
当时，，当时，，当时，取得最小值，，当时，在上单调递减，则，综上：的最小值为
（2）
，当时，当时，，不是严格增函数，不合题意，舍去；
当时，此时对称轴，且分段函数在处函数值相同，故满足在上为严格增函数，符合题意；
当时，此时对称轴且，故在区间上单调递减，不合题意，舍去；
当时，且，此时在上为严格增函数，符合要求.
综上：实数a的取值范围为.
（3）
当时，，即在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，且端点处函数值相等，令，解得：，，故要想存在两个不相等的实数使得，则，，且当时，，，此时，当时，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值， 为，故取值范围为，当时，在单调递增，在上单调递减，故在取得最大值，为，故取值范围是，
当时，，此时，即，从而，其中，当时，，综上：的取值范围为.
【点睛】
函数含参值域问题，需要结合题干条件及图象特征，对参数进行分类讨论，在不同取值下的值域求解，用到的工具有基本不等式，对勾函数，导函数等.
14．（Ⅰ）（Ⅱ）或
【分析】
（Ⅰ）由，则，由在上的最大值为，可得，可得的值，可得函数的解析式；
（Ⅱ）只需当时， .设，，则只需 对任意的实数都成立，分的取值范围进行讨论可得答案.
【详解】
（Ⅰ）若，则，
当时
故 解得 ，故.
（Ⅱ）由题意得：只需当时， .
设，，则只需 对任意的实数都成立.
（1）当=0时，，此时 不成立.
（2）当时，在递增，故恒成立，故.
（3）当时，在递增，故恒成立，故，舍去.
（4）当时，在上递减，在上递增，
若，则恒成立，故，舍去.
若，则恒成立，故，舍去.
（5）当时，在上递减，故恒成立.
综上：或.
【点睛】
关键点点睛:不等式可转化为，设，转化为，只需 对任意的实数都成立，转化为求，利用分类讨论及函数的单调性分析，属于难题，注意分类讨论思想的运用.
15．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据偶函数及闭区间上的最值求出、，写出的解析式.
（2）由不等式恒成立，应用参变分离得，即在上即可求k的范围.
（3）若存在四个不相等的实数根，令则在上有两个不同的实根，即可求的范围.
【详解】
由题意知：，即，有，
又在上的最大值为10，即，故，
∴.
（1）由知：.
（2）由（1）知：在上恒成立，
∴在上恒成立，令，即在上恒成立，
∴因为，所以.
（3），
令，则在上有两个不同的实根，即可使原方程有四个不同的实根，
∴，解得.
【点睛】
关键点点睛：
（1）利用偶函数及闭区间最值求参数，写出函数解析式.
（2）应用参变分离法，在区间内恒成立，只需求参数范围.
（3）由方程根的个数，结合指数函数的性质以及二次函数根的分布求参数范围.
16．（1），，，
所以；（2）.
【分析】
（1）根据的定义求得，根据的定义求得.
（2）集合具有性质，等价于任意两个元素之和均不相同，则任意两个不同元素之差的绝对值均不相同，由此构造并求得.求得的表达式，结合绝对值的性质求得的最小值.
【详解】
（1）由题意知，，，
所以.
（2）由题意，集合具有性质，等价于任意两个元素之和均不相同.
如，对于任意的，有，
等价于，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.
令，
由具有性质.
因为集合均有性质，且，
所以，当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
【点睛】
本小题主要考查新定义集合的理解和应用，属于难题.
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