高中数学人教A版必修第一册第二册综合拔高试卷3word版含答案

高中数学人教A版必修第一册第二册综合拔高试卷3
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方．设，（），记，，分别考查的所有运算结果，则
A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值
2．如图所示，平面平面，二面角，已知，，直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，若，则的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
3．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点是线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是（ ）
A． B． C． D．不能求
5．已知函数 ，若函数的图象与轴的交点个数不少于2个，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
6．已知正六棱锥，是侧棱上一点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
7．以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：
A．设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”
B．函数的充要条件是有最大值和最小值
C．若函数，的定义域相同，且，，则
D．若函数有最大值，则
8．定义“正对数”：，若，，则下列结论中正确的是.
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．在中，，，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，则________．
10．已知，则的最大值为__________．
11．如图，已知边长为4的菱形中，，将沿对角线翻折至所在的位置，若二面角的大小为，则过，，，四点的外接球的表面积为___________.
12．三棱锥中，为边长为3的等边三角形，，，且面面，则三棱锥的外接球的体积为___________.
四、解答题
13．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数（）的值域为，求b的值；
（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；
（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
14．已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．
15．已知函数对任意的实数m，n都有，且当时，有恒成立．
（1）求的值；
（2）求证在R上为增函数；
（3）若，，对任意的，则关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
16．已知在区间，上的值域，.
（1）求的值；
（2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数有三个零点，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
设，用表示出，根据的取值范围，利用三角函数恒等变换化简，进而求得最值的情况.
【详解】
依题意，所以.设，则，所以，，所以，当时，取得最大值为.
，所以，所以，当时，有最小值为.故选B.
【点睛】
本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
2．B
【分析】
由题意知，作辅助线找到，及二面角，四边形为正方形进而得到为等腰三角形，利用所得直角三角形用边表示、，即有它们的等量关系，利用结合二面角，即可求的最大值；
【详解】
直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，而，，又，可知： ，
若令二面角为，作于，于；过作，过作与交于点；
∴面，又，，故面，面，即；
过作，过作与交于点；
∴面，又，，故面，面，即；
作于，于，连接、，即有，且；
∵，即，作有四边形为正方形，即，
∴，有，故为等腰三角形且，
令，，则，有，而，
∴，，又，
∴当时等号成立
故选：B
【点睛】
本题考查了应用辅助线，根据已知条件以及线面角、线线角、面面角的性质，得到它们的三角函数间等量关系，并化简目标三角函数式，结合二面角的范围求目标式的最值；
3．C
【分析】
是实系数一元二次方程的两个根，是共轭虚数,是实数,结合共轭复数的运算性质,可得是1的立方虚根,再由1的立方虚根的特性,可得答案.
【详解】
是实系数一元二次方程的两个虚数根,
,是实数,
,
,即或，而
.
故选:C
【点睛】
本题考查实系数一元二次方程虚数根的关系,以及共轭复数的运算关系.对特殊复数的性质
的灵活应用是解题的关键,属于难题.
4．A
【分析】
由点是由线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，作的平行线，把中、所满足的不等式表示出来，然后作出不等式组所表示的可行域，并计算出可行域在直线的右下侧部分的面积即可.
【详解】
如下图，过作，交的延长线于，交的延长线于，
设，，，，
则，
所以，得，所以.
作出不等式组对应的可行域，如下图中阴影部分所示，
故所求面积为，故选：A.
【点睛】
本题考查二元一次不等式组与平面区域的关系，考查转化思想，是难题.解决本题的关键是建立、的不等式组，将问题转化为线性规划问题求解.
5．C
【详解】
分析：根据的图象与轴的交点个数不少于2个，可得函数的图象与的交点个数不少于2个，在同一坐标系中画出两个函数图象，结合图象即可得到m的取值范围.
详解：的图象与轴的交点个数不少于2个，
函数的图象与函数的图象的交点个数不少于2个，
函数，
时，函数为指数函数，过点，
时，函数，为对称轴，开口向下的二次函数.
，
为过定点的一条直线.
在同一坐标系中，画出两函数图象，如图所示.
（1）当时，
①当过点时，两函数图象有两个交点，
将点代入直线方程，解得.
②当与相切时，两函数图象有两个交点.
联立，整理得
则，解得，（舍）
如图当，两函数图象的交点个数不少于2个.
（2）当时，易得直线与函数必有一个交点
如图当直线与相切时有另一个交点
设切点为，
，
切线的斜率， 切线方程为
切线与直线重合，即点在切线上.
，解得
由图可知，当,两函数图象的交点个数不少于2个.
综上，实数的取值范围是
故选C.
点睛：本题考查函数零点问题，考查数形结合思想、转化思想及分类讨论的思想，具有一定的难度.
利用函数零点的情况，求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
6．B
【分析】
通过明确异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.
【详解】
解：如图，设点在底面上的射影为点，连接，,
作，则平面，所以与平面所成的角为，
即，
根据线面角最小定理知，作，则二面角的平面角为，即，根据，所以.
故选B.
【点睛】
本题考查立体几何中异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算，考查空间想象能力，数形结合思想，分析问题能力，属于难题.
7．ACD
【分析】
A选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；
B选项中举反例保证函数的值域为集合的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；C选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现，从而发现命题正确；D选项中从极限的角度证明，均不成立，所以，再求出函数的值域为，从而得到命题D正确.
【详解】
对A，“”即函数值域为，“，，”表示的是函数可以在中任意取值，故有：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”，命题A是真命题；
对B，若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．
．例如：函数满足，则有，此时，无最大值，无最小值．命题B“若函数，则有最大值和最小值．”是假命题；
对C，若函数，的定义域相同，且，，则值域为，，并且存在一个正数，使得，，则．命题C是真命题．
对D，函数有最大值，假设，当时，，，，则，与题意不符； 假设，当时，，，，则，与题意不符.，即函数，当时，，，即；当时，；当时，，，即．
，即，故命题D是真命题．
故选ACD.
【点睛】
本题以新定义概念为问题背景，考查函数值域的概念、基本不等式、充要条件、双勾函数等知识的综合，还考查了极限思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．
8．AD
【分析】
根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对进行分类讨论，判断出每个命题的真假.
【详解】
对A，当，时，有，从而，，
所以；
当，时，有，从而，，
所以．
所以当，时，，故A正确．
对B，当，时满足，，而，，所以，故B错误；
对C，令，，则，，显然，故C错误；
对D，由“正对数”的定义知，当时，有，
当，时，有，
从而，，
所以；
当，时，有，
从而，，
所以；
当，时，有，
从而，，
所以；
当，时，，，
因为，
所以，所以．
综上所述，当，时，，故D正确．
故选AD．
【点睛】
本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，考查分类讨论思想、转化与化归思想的灵活运用，考查运算求解能力，注意本题容易因为理解不清定义及忘记分类论论的方法使解题无法入手致错.
9．或
【分析】
由边角互化可得,所以，
即，联立解得，或.分两种情况将两边分别同乘以向量得方程组，解得结果.
【详解】
由正弦定理得，所以，即，
由条件得，联立解得，或.
当时，
由，得，
即，所以. ——————————————①
同理，由，得，
即，即，
所以. ——————————————②
联立①②解得. 故.
当时，同理可得——③，——④
解得.
故答案为：或.
【点睛】
（1）三角形中的边角关系为条件时，常用正余弦定理统一化边或化角；
（2）若为的外心，则有，；
（3）此题的关键是找出三边关系和将向量转化为边长，得的关系式.
10．
【分析】
利用向量的减法法则，把，，转化为，，，进行求解.
【详解】
设，
则
设，不妨设，，，，，即为的重心．
则，
点位于圆上或圆内，故当在射线与圆周交点时，最大，即最大时．
由得，．
当且仅当时，取到最大值．
故答案为：．
【点睛】
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
11．
【分析】
过正与正的中心E，F分别作平面，平面的垂线，两线交于点O得外接球球心，再求出OA长即可得解.
【详解】
由已知得与均为边长是4 的正三角形，取AC中点G，连，如图：
则有，于是得是二面角的平面角，，
显然有平面，即有平面平面，平面平面，
令正与正的中心分别为E，F，过E，F分别作平面，平面的垂线，则二垂线都在平面内，它们交于点O，
从而得点O是过，，，四点的外接球球心，连OA，则OA为该外接球半径，
由已知得，而，于是得，在中，，
而，在中，，
所以过，，，四点的外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.
12．
【分析】
根据面面垂直的性质定理得出DC⊥平面ABC，进而找到三角形ABC的外心O1与三角形BCD的外心O2，然后过O1作平面ABC的垂线，过O2作平面BCD的垂线，两条垂线的交点即为外接球心，最后解出答案.
【详解】
如图，因为平面ACD⊥平面ABC，且交于BC，而DC⊥BC，所以DC⊥平面ABC，
取正三角形ABC的外心（也为重心）O1，过O1引平面ABC的垂线，
取直角三角形BCD的外心O1，则O1为BD中点，过O2引平面BCD的垂线，设两条垂线交于O，则O为三棱锥的A-BCD的外接球心.
取BC中点D，连接AO1,OO2,O2D,O1D，因为分别为的中点，所以∥DC，且，所以平面ABC，因为平面ABC，所以∥.
易知三点共线，且AD⊥BC，又因为平面ACD⊥平面ABC，且交于BC，所以AD⊥平面BCD，而OO2⊥平面BCD，所以O1D∥OO2，于是四边形是矩形，且.
连接，在正三角形ABC中，其边长为3，所以，
由勾股定理：外接球半径，所以外接球体积.
故答案为：.
【点睛】
多面体外接球心比较常见的一种找法是选取多面体的两个特殊面（通常为等边三角形、等腰三角形和直角三角形），然后找到两个面的外心，进而通过外心引各自所在面的垂线，垂线的交点即为球心，然后构造几何图形求出外接球半径即可，本题比较典型，可以作为范题进行总结.
13．（1）；（2）该函数在上是减函数，在区间上是增函数，理由见解析；（3）在区间上是减函数，在区间上是增函数，最大值，最小值．
【分析】
（1）结合的单调性求得函数的最小值，结合此时的值求得.
（2）结合函数的奇偶性以及函数单调性的定义，判断出函数的单调性.
（3）结合函数的奇偶性和单调性进行合情推理.结合的单调性求得在区间上的最大值和最小值.
【详解】
（1）依题意可知当时，函数（）取得最小值是，则，故．
（2）设，．
当时，，函数在上是增函数；
当时，，函数在区间上是减函数；
又是偶函数，故该函数在上是减函数，在区间上是增函数．
（3）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数，当n是奇数时，函数在在上是减函数，在区间上是增函数，在上是增函数，在区间上是减函数；
当n是偶数时，函数在区间上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在区间上是增函数．
．
因此在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以，当或时，取得最大值；当时，取得最小值．
【点睛】
能顺利解决本题的源头是函数和函数的图像与性质，因为各小题都是由函数引申出来的研究学习性问题，也就是说在学习各类函数的过程中，对最为原始、最为基本的函数的图像与性质必须掌握牢固、理解透彻，有助于解决各类函数难题．
14．（1）；（2）；（3），.
【分析】
（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；
（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；
（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.
【详解】
（1）由三角函数的周期公式可得，，
令，得，
由于直线为函数的一条对称轴，所以，，
得，由于，，则，
因此，；
（2），由三角形的内角和定理得，.
，且，，.
，
由，得，由锐角三角函数的定义得，，
由正弦定理得，，
，
，且，，，.
，因此，的取值范围是；
（3）将函数的图象向右平移个单位，
得到函数，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，
，
令，可得，
令，得，，
则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，
（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，
从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；
（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；
（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，
方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，
因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得.
综上所述：，.
【点睛】
本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.
15．（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）利用赋值法，令求；
（2）设是R上任意两个实数，且，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数；
（3）由原不等式可化为恒成立，利用函数的单调性可转化为，有恒成立，令，构造函数 ，即成立即可，利用二次函数的性质，即可求解．
【详解】
（1）由，令时，
则，解得
（2）证明：任取，且，
∵，∴，即
∴，所以在R上为增函数．
（3）令时，
关于x的不等式恒成立，
等价于恒成立，即恒成立
∵在R上为增函数，∴
又∵在单调递减
∴，有恒成立，
令，则，等价于，恒成立，
令，即
又对称轴为，函数在上单调递增，，
所以实数a的取值范围为．
【点睛】
方法点睛：本题考查抽象函数求值，抽象函数的单调性，及利用函数的单调性不等式，要设法把隐性转化为显性，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断的单调性，再根据函数的单调性将“”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别.
16．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）对配方，求出对称轴，讨论若时，若时，若，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求的值；
（2）由题意可得，化为，令，求出的范围，求得右边函数的最小值即可得到的范围；
（3）令，可化为有3个不同的实根，令，讨论的范围和单调性，有两个不同的实数解，，已知函数有3个零点等价为，或，，记，由二次函数图象可得不等式组，解不等式可得的范围.
【详解】
（1）在区间，上的值域，.
若时，的最小值为(a)，
由，可得舍去)，满足在区间，上的值域，；
若时，在，递减，的最小值为（3），
由（3），解得(舍去)；
若，则在，递增，的最小值为（1），
由（1），解得.
综上可得，；
（2）由即，
化为，令，由可得，
则，，
记，，由单调递减，可得的最小值为，
则的取值范围是；
（3）令，可化为有3个不同的实根.
令，则，由，当时，，，且递减，
当时，，且递增，
当时，.当时，，且递增，
有两个不同的实数解，，
已知函数有3个零点等价为，或，，
记，则或，
解得或无实数解，
综上可得，的取值范围是.
【点睛】
本题考查二次函数在闭区间上最值问题，注意对称轴和区间的关系，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数零点问题，注意转化思想运用，考查分类讨论思想方法运用，以及运算化简能力，属于难题.
答案第1页，共2页
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