明达中学高二下入学考试模拟试卷1（Word含答案）

明达中学·2022年下学期入学考试模拟试卷
数 学
（总分：150分 时量：120分钟）
一、单选题（共40分）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．1
2．已知i是虚数单位，若复数z满足，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．设，，且，则（ ）
A．有最小值为 B．有最小值为8
C．有最小值为 D．有最小值为7
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．设，为两个平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线
D．，垂直于同一平面
7．在区间上任取一个整数x，则满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题（共20分）
9．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，不能得出平面MNP的图形是（ ）
A． B． C． D．
10．某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，第一档电价的家庭约占10%，第二档电价的家庭约占40%，第三档电价的家庭约占30%，第四档电价的家庭约占20%．为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得下面的直方图．由此直方图可以做出的合理判断是（ ）
A．年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档
B．年均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档
C．年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档
D．该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数
11．已知函数，则关于x的方程的解可以为（ ）
A． B．0 C． D．
12．函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意x1，x2，当，恒有．则称函数为“理想函数”，下列三个函数中，是“理想函数”的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（共20分）
13．已知幂函数在单调递减，则n的值为______．
14．已知x0是函数的零点，且，则______．
15．已知，则______．
16．如图，在边长为2的正方体中，点E，F分别为AD，AB的中点，则直线EF与平面BCD1所成角的大小为______．
四、解答题（共70分）
17．已知平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．
（I）求的值；
（II）若，且，求的值．
18．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值，并求出此时对应的x的值．
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，求面积的最大值．
20．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）80~90这一组的频数 频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数 众数 中位数．
（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
21．如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
22．已知函数与互为反函数，且的图象过点．
（1）解不等式；
（2）若对于任意不等式恒成立，求实数m的取值范围．
长沙市明达中学·2021年下学期入学考试
数学答案
1-8．ABBCABAB
8．【分析】
由正弦定理和余弦定理化角为边后，利用余弦定理求得cosA，代入已知条件并应用基本不等式求得cosA的最小值，得sinA的最大值，即得三角形面积最大值．
【详解】
解：∵
∴，化简得，即，
由余弦定理知，，
∴，
∴，
的面积．
故选：B．
9．BC 10．ACD 11．AD 12．AC
13．1 14．3 15． 16．
17．（I）4；（II）．
【分析】
（I）建立坐标系，利用坐标求解数量积，或者利用数量积的定义求解；
（II）求出向量，的坐标，结合向量垂直的坐标表示可求的值，或者位置关系求解．
【详解】
法1：（I）
以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
，，，，，
，，
∴；
（II），
∵，∴，
∴．
法2：
（I）；
（II），∴
∵，，∴F与B重合，∴．
18．（1）；（2）当时，取得最大值．
【分析】
（1）利用正余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，再由正弦函数的周期公式即可求解；
（2）由x的范围求出的范围，结合正弦函数的性质即可求解．
【详解】
（1）
所以的最小正周期为
（2）因为，所以，
所以当即时， 取得最大值为，
此时，
所以当时，取得最大值．
19．（1）；（2）．
【分析】
（1）利用正弦定理将转化为，然后利用三角恒等变换公式化简可求出角A；
（2）由余弦定理结合基本不等式可求得面积的最大值．
【详解】
（1）由正弦定理得，
又∵，
∴，又∵，∴，∴，
故在中，；
（2）由余弦定理得：，
∴，
∴，当且仅当时取等号，
∴面积．当且仅当时取等号，
故面积的最大值为．
20．（1）4，0.1；（2）68.5，75，70；（3）．
【分析】
（1）根据频率分步直方图的意义，计算可得40～50、50～60、60～70、70～80、90～100这5组的频率，由频率的性质可得80～90这一组的频率，进而由频率、频数的关系，计算可得答案；
（2）根据频率分步直方图中计算平均数、众数、中位数的方法，计算可得答案；
（3）记“取出的2人在同一分数段”为事件E，计算可得80～90之间与90～100之间的人数，并设为a、b、c、d，和A、B，列举可得从中取出2人的情况，可得其情况数目与取出的2人在同一分数段的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
【详解】
（1）根据题意，40~50的这一组的频率为，
50~60的这一组的频率为，
60~70的这一组的频率为，
70~80的这一组的频率为，
90~100的这一组的频率为，
则80~90这一组的频率为，
其频数为；
（2）这次竞赛的平均数为，
70~80一组的频率最大，人数最多，则众数为75，
70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数为70；
（3）记“取出的2人在同一分数段”为事件E，
因为80~90之间的人数为，设为a、b、c、d，
90~100之间有人，设为A B，
从这6人中选出2人，有
、、、、、、、
、、、、、、、
，共15个基本事件，
其中事件E包括、、、、、、，共7个基本事件，
则．
21．（1）证明见解析；（2）4．
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可得，而平面平面BCD，则由面面垂直的性质定理可得面BCD，再由线面垂直的性质定理可得，
（2）过点E作交BD于N．过点N作交BC于点M，连接ME，则可得面BCD，由可得三角形BCD为直角三角形，从而可得为所求的二面角的平面角，所以由，可得，再结合平行关系和是边长为2的等边三角形，可求出三棱锥的体积．
【详解】
（1）∵，O为BD中点，∴，
Q 面ABD，面面BCD，且面面，
∴面BCD，∵面BCD，∴．
（2）过点E作交BD于N．过点N作交BC于点M，连接ME，因为且由（1）知面BCD，
所以面BCD， ∵面BCD，∴
在△BCD中，∵，∴，
Q ，∴，∴面MNE
∴
∴为所求的二面角的平面角
∴，∴
∵，，∴，
Q ，∴
∵，∴．∴，∴．
∴
∴．
22．（1）；（2）．
【分析】
利用已知条件得到a的值，进而得到的解析式，再利用函数的图象关于x轴对称，可得的解析式；
（1）先利用对数函数的单调性，列出不等式组求解即可；
（2）对于任意恒成立等价于，令，，利用二次函数求解即可．
【详解】
∵，∴，，∴
由已知得，即．
（1）∵在上单调递减，∴，解得，
\x的取值范围为．
（2）∵，
∴对于任意恒成立等价于，
∵，
令，，则，
∴，当，
即，即时，，．
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集