2022年人教版八年级下册第18章《平行四边形》单元测试卷（Word版含答案）

人教版八年级下册第18章《平行四边形》单元测试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
如图，四边形是平行四边形，将延长至点，若，则等于
A.
B.
C.
D.
如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，定能判定四边形是平行四边形的是
A. B. C. D.
如图，中，为中点，在上，且若，，则的长度是
A.
B.
C.
D.
如图，在 中，，，平分，交于点，则的长度是
A. B. C. D.
平行四边形中，对角线和相交于点，若，，那么的取值范围是
A. B. C. D.
矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，，则图中阴影部分的面积是
A.
B.
C.
D.
如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，点是上一点，连接，若，则的长是
A.
B.
C.
D.
如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点，，，连接下列结论：；平分；；垂直平分其中正确的个数有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边，的长分别为和，若，那么点到对角线的长是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
在 中，如果，那么等于______ ．
一个三角形的周长是，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长为______．
如图，在长方形中，对角线，交于点，若，，，则的长为______．
如图，中，，点为斜边的中点，，则的长为______．
如图，在平面直角坐标系中，已知，，菱形的顶点在轴的正半轴上，则对角线的长为______．
如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为，与轴交于点，顶点，将一条长为个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点处，从点出发将细绳紧绕在正方形的边上，则细绳的另一端到达的位置点的坐标为______ ．
三、解答题（每小题8分，共64分）
如图，平行四边形，、是直线上两点，且求证：四边形是平行四边形．
在平行四边形中，对角线、交于点，过点作直线分别交边、于点、求证：．
正方形的边长为，、分别是、边上的点，且．
求证：；
当时，求的长．
如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
______ 填、、；
求证：四边形是矩形；
若，，求和的长．
在 中，为边上一点，为对角线上一点，连接、，若与的平分线、交于上一点，连接．
如图，点、、在同一直线上，若，，，求的长；
如图，若，，求证：．
如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．
当点恰好落在边上时，线段的长为______；
点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，求点相应运动的路径长度．
当点与点距离最短时，求的长．
如图，在四边形中，，，延长到，使，连接，由直角三角形的性质可知动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．
当时，______；
当______时，点运动到的角平分线上；
请用含的代数式表示的面积；
当时，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值．
如图，四边形为矩形，其中为原点，、两点分别在轴和轴上，点的坐标是，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点处，折痕分别交，于点、，且点坐标是．
求点的坐标；
如图，点在第二象限，且≌，求点的坐标；
若点为轴上一动点，点为直线上一动点，为以为底边的等腰直角三角形，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：平行四边形中，，
，
．
故选：．
根据平行四边形的对角相等求出的度数，再根据平角等于列式计算即可得解．
本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：如图所示：，
，
当时，则，
故AD，
则四边形是平行四边形．
故选：．
利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可．
此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行四边形的判定，得出是解题关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．根据直角三角形斜边上的中线求出长，根据勾股定理求出即可．
【解答】
解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：．
根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出，可得，即可求得的长度
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及角平分线定义等知识，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出．
5.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
在中，，
即，
．
即．
故选：．
根据平行四边形的性质，在中，可根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行求解．
本题主要考查平行四边形的性质和三角形三边关系的运用，属于基础题，注意掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
6.【答案】
【解析】解：过作于，交于，如图所示：
则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．
7.【答案】
【解析】解：菱形的对角线、相交于点，
，，，
由勾股定理得，，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
是的中位线，
，
故选：．
根据菱形的对角线互相垂直平分求出，，，再利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，即，
，故正确；
，，
，
平分，故正确；
中，，
，故错误；
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
垂直平分故正确．
故选：．
证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求得，即，即可得到；依据，，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；由三角形的中位线定理可得出，则可得出，则可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式以及三角形的中位线定理的综合运用，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：作轴于．
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
．
故选：．
作轴于只要证明≌，推出，，由，，推出，可得．
本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
10.【答案】
【解析】解：连接，作，于点，，
矩形的两条边、的长分别为和，
，，，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
．
故选：．
首先连接，由矩形的两条边、的长分别为和，可求得，的面积，然后由求得答案．
此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
11.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，可得：，又由，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，画出图形如图示，
点、、分别是、、的中点，
、、都是的中位线，
，，，
的周长是，
，
．
故答案是：．
先画出图形，由三角形的中位线定理可知：，，，则以三角形三边中点为顶点的三角形的周长是原三角形周长的一半．
本题主要考查了三角形的中位线定理以及三角形周长，解决问题的关键是熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13.【答案】
【解析】解：在矩形中，对角线，交于点，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
故答案为：．
依据矩形的性质可知是等边三角形，所以，则．
本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线相等且互相平分，则其分成的四条线段都相等．
14.【答案】
【解析】解：在中，，是的中点，
线段是斜边上的中线；
又，
．
故答案是：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
，，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
由勾股定理可求，的长，由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解决问题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：正方形的边长为，
，
，，
，，，
，，
绕正方形一周的细线长度为，
，
细线另一端在绕正方形第圈的第个单位长度的位置，
即在边或在边上，
点的坐标为或．
故答案为：或．
根据题意求出各点的坐标和正方形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标和正方形一周的长度，从而确定个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
17.【答案】证明：连接交于，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形．
【解析】连接交于，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由四边形是平行四边形，可得，，继而可利用，判定≌，继而证得．
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定，应熟练掌握．
19.【答案】解：证明：延长至，使，连接，如图，
四边形是正方形，
，．
≌．
，．
，，
．
．
即．
．
在和中，
．
≌．
．
，
．
设，则．
正方形的边长为，
．
，
，．
．
．
在中，
，
．
解得：．
．
【解析】延长至，使，连接，可得≌，则，；由于，所以，可得，这样≌，可得，结论得证；
设，由的结论可知，，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，勾股定理．证明一条线段等于两条线段的和的题目一般采用补短法或截长法，通过构造三角形的全等来解决．
20.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，
是的中点，
，
故答案为：；
证明：四边形是菱形，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，
，
是的中点，
；
由知，四边形是矩形，
，
，，
，
．
由菱形的性质得，再由直角三角形的性质即可得出答案；
先证是三角形的中位线，得到推出，再证四边形是平行四边形，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
先由菱形的性质得到，，得到；再由菱形的性质得，然后由勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：，平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，
在中，；
如图，在上截取，连接，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
．
【解析】由角平分线的性质和平行线的性质可证是等腰直角三角形，可求，在中，利用勾股定理可求的长；
在上截取，连接，由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得，可得结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：如图中，
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知：，，
，
，
，
．
故答案为：；
如图中，点恰好落在边上时，．
如图中，当点与重合时，，设，
在中，则有，解得，
，
如图中，当点运动到时，的值最大，，
如图中，当点运动到点落在时，即，
点的运动轨迹，运动路径．
如图中，连接，当点落在上时，的值最小，此时平分．
过点作于点，于点．
在中，，
，
．
运用矩形性质和翻折性质得出：，再利用勾股定理即可求得答案；
探究点的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
如图中，连接，当点落在上时，的值最小，此时平分利用面积法求出：，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】
【解析】解：，
故答案为：；
作的角平分线交于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，解得．
当时，点运动到的角平分线上；
故答案为：；
根据题意分种情况讨论：
当点在上运动时，
；；
当点在上运动时，
；；
当点在上运动时，
；；
当时，点在、边上运动，
根据题意分情况讨论：
当点在上，点到四边形相邻两边距离相等，
点到边的距离为，
点到边的距离也为，
即，
，解得；
当点在上，点到边的距离为，
点到边的距离也为，
，
，
，解得；
当点在上，如图，过点作于点，
点到、边的距离相等，
即，
，
，
，
解得．
综上所述：或或时，点到四边形相邻两边距离相等．
根据题意可得，进而可得结果；
根据，可得四边形是矩形，根据角平分线定义可得，得，进而可得的值；
根据题意分种情况讨论：当点在上运动时，当点在上运动时，当点在上运动时，分别用含的代数式表示的面积即可；
当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论：当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，当点在上，点到边的距离为，但点到、边的距离都小于，进而可得当或时，点到四边形相邻两边距离相等．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
24.【答案】解：点坐标是，点的坐标是，四边形为矩形，
，，，，
将矩形沿直线折叠，
，
，
，
点．
如图中，连接交于．
当四边形是矩形时，≌≌，
，，
直线的解析式为，
垂直平分线段，
直线的解析式为，
，，
，
，
，
．
如图中，连接，以为对角线构造正方形，连接交于．
设，则，，，
当点落在轴上时，，解得，
当点落在轴上时，，解得，
满足条件的点的坐标为或．
【解析】由折叠的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解；
如图中，连接交于当四边形是矩形时，≌≌，构建一次函数求出点，点坐标，求出点的坐标即可解决问题．
如图中，连接，以为对角线构造正方形，连接交于用的代数式表示出点，的坐标，根据点，在轴上时，纵坐标为构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
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