2021-2022年初中数学九年级下册27.2.2相似三角形的性质课堂练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022年初中数学九年级下册27.2.2相似三角形的性质课堂练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 492.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-03 20:06:47 | ||
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文档简介
2021-2022年初中数学九年级下册同步（人教版）
27.2.2相似三角形的性质-课堂练习
一、单选题
1．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
2．两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．27：8
3．两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为 ( )
A．1：3 B．1：9 C． D．2：3
4．如图，在△ABC中，以AB为直径作， 交AC于点E ，BC于点D ，CD＝BD ，则（ ）
A．AC＝BC B． C．AB＝DE D．BC BD＝AB CE
5．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM＝x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．在中，，，于点D，那么与的面积之比为________．
8．如图，，， AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为__________．
9．如果两个相似三角形的对应高之比为2：3，已知其中小三角形的一条角平分线长，则大三角形对应角的平分线长____．
10．如图，在中，若，，，则的长为______.
11．如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_______．
12．如图，在的正方形方格中，有格点（我们把顶点在正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形），则与相似但不全等的格点三角形共有________个．
三、解答题
13．如图，与相似，求x，y的值．
14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
15．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF AB=BC DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF EG=AF DG．
16．如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空： ， ；
（2）判断与是否相似，并证明你的结论．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
18．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
试卷第4页，共5页
试卷第5页，共5页
参考答案
1．A
【解析】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵，
∴，，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故选：A．
2．C
【解析】解：因为两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是9：4；
故选C．
3．C
【解析】相似比是1：，所以周长比是1：，选C.
4．D
【解析】解：如图，连接AD、DE，
∵直径AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵ CD＝BD，
∴AC=AB，
故选项A错误；
∴∠CAD=∠BAD，
∴DE=BD， ，
∴，
∴，且得不到，
故选项B、C错误；
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠CDE=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ，
∴BC·DE=AB·CE，
∵DE=BD，
∴BC·BD=AB·CE.
故选：D
5．B
【解析】∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，设CF=x，则CD=4x，∴DF=3x，BE=EC=2x，∴ AB：EC=BE：CF=2：1．∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．∵BE=CE，∴AB：AE=BE：EF，
∵∠FEC+∠EFC=90°，∠AEB=∠EFC，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEF=∠B=90°，∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF，∴②③正确．
故选B．
6．D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，
①当BM≤4时，
∵点P′与点P关于BD对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴，即，
∴PP′=，
∵OM=4-x，
∴△OPP′的面积y=PP′ OM=×；
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）；
综上所述：y与x之间的函数图象大致为
．
故选D．
7．
【解析】解：如图，
故答案为：
8．8.4或2或12
【解析】若，
∴，
设 ，
，
，
解得；
若，
∴，
设，
，
，
解得 ，
综上所述，BP的长度为8.4或2或12，
故答案为：8.4或2或12．
9．9
【解析】解：设大三角形对应角的角平分线长是xcm，
由题意得，， 解得x=9．
故答案为：9．
10．8
【解析】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
即
∴BC=8（cm）
故答案是：8
11．（2，0）或（，0）
【解析】解：∵A（4，0）和B点（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵C是AB的中点，
∴AC=2.5，
设P（x，0），
由题意可知点P在点A的左侧，
∴AP=4﹣x，
∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，
∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况，
当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2，
∴P（2，0）；
当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=，
∴P（，0）；
综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）．
故答案为：（2，0）或（，0）．
12．20.
【解析】解：∵△ABC的三边长：AB=1，BC=，AC=，
又∵在的正方形方格中，最大的线段长为，
∴可将三角形扩大倍，这样的三角形有16个；扩大2倍，这样的三角形有4个；
所以符合题意的三角形共有20个.
故答案为20.
13．，或x= ，y=．
【解析】解：∵△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，
∴∠B=∠E，
∴当，即时，△ABC∽△DEF，
解得：x=6，y= ；
当，即时，△ABC∽△FED，
解得：x= ，y=，
∴x=6，y=或x= ，y=．
14．（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，正方形的边长为4，
∴，，
∴．
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）∵BC2=BF BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴DF：BC=DG：BA，
∴DF AB=BC DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
为的中位线，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴，
∴，
∴，
即2DF EG=AF DG．
16．（1），；（2）相似，理由见解析
【解析】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，
∴∠GBC=45°，
∵∠ABG=90°，
∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；
∵在Rt△BHC中，BH=2，CH=2，
∴；
故答案为：，；
（2）解：相似．理由如下：
∵，，
∴，
∴
又∵
∴．
17．（1）4秒；（2）或秒
【解析】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的，
则有MC=2x，NC=8-x，
∴×2x（8-x）＝×8×10×，
解得x1=x2=4，
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似，
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①，
即，
解得t=；
②，即，
解得t＝．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．
18．（1）证明见解析；（2）；（3）线段AD、AB、CD之间数量关系：AD=AB+CD；理由见解析.
【解析】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠BAE，
∴△ABE∽△ECD；
（2）解：Rt△ABE中，∵AB=4，AE=5，
∴BE=3，
∵BC=5，
∴EC=5﹣3=2，
由（1）得：△ABE∽△ECD，
∴ ，
∴，
∴CD=；
（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD=AB+CD；
理由是：过E作EF⊥AD于F，
∵△AED∽△ECD，
∴∠EAD=∠DEC，
∵∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠EDC，
∵DC⊥BC，
∴EF=EC，
∵DE=DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴DF=DC，
同理可得：△ABE≌△AFE，
∴AF=AB，
∴AD=AF+DF=AB+CD．
答案第10页，共1页
答案第9页，共9页
27.2.2相似三角形的性质-课堂练习
一、单选题
1．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
2．两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．27：8
3．两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为 ( )
A．1：3 B．1：9 C． D．2：3
4．如图，在△ABC中，以AB为直径作， 交AC于点E ，BC于点D ，CD＝BD ，则（ ）
A．AC＝BC B． C．AB＝DE D．BC BD＝AB CE
5．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM＝x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．在中，，，于点D，那么与的面积之比为________．
8．如图，，， AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为__________．
9．如果两个相似三角形的对应高之比为2：3，已知其中小三角形的一条角平分线长，则大三角形对应角的平分线长____．
10．如图，在中，若，，，则的长为______.
11．如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_______．
12．如图，在的正方形方格中，有格点（我们把顶点在正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形），则与相似但不全等的格点三角形共有________个．
三、解答题
13．如图，与相似，求x，y的值．
14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
15．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF AB=BC DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF EG=AF DG．
16．如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空： ， ；
（2）判断与是否相似，并证明你的结论．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
18．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
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试卷第5页，共5页
参考答案
1．A
【解析】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵，
∴，，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故选：A．
2．C
【解析】解：因为两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是9：4；
故选C．
3．C
【解析】相似比是1：，所以周长比是1：，选C.
4．D
【解析】解：如图，连接AD、DE，
∵直径AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵ CD＝BD，
∴AC=AB，
故选项A错误；
∴∠CAD=∠BAD，
∴DE=BD， ，
∴，
∴，且得不到，
故选项B、C错误；
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠CDE=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ，
∴BC·DE=AB·CE，
∵DE=BD，
∴BC·BD=AB·CE.
故选：D
5．B
【解析】∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，设CF=x，则CD=4x，∴DF=3x，BE=EC=2x，∴ AB：EC=BE：CF=2：1．∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．∵BE=CE，∴AB：AE=BE：EF，
∵∠FEC+∠EFC=90°，∠AEB=∠EFC，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEF=∠B=90°，∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF，∴②③正确．
故选B．
6．D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，
①当BM≤4时，
∵点P′与点P关于BD对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴，即，
∴PP′=，
∵OM=4-x，
∴△OPP′的面积y=PP′ OM=×；
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）；
综上所述：y与x之间的函数图象大致为
．
故选D．
7．
【解析】解：如图，
故答案为：
8．8.4或2或12
【解析】若，
∴，
设 ，
，
，
解得；
若，
∴，
设，
，
，
解得 ，
综上所述，BP的长度为8.4或2或12，
故答案为：8.4或2或12．
9．9
【解析】解：设大三角形对应角的角平分线长是xcm，
由题意得，， 解得x=9．
故答案为：9．
10．8
【解析】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
即
∴BC=8（cm）
故答案是：8
11．（2，0）或（，0）
【解析】解：∵A（4，0）和B点（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵C是AB的中点，
∴AC=2.5，
设P（x，0），
由题意可知点P在点A的左侧，
∴AP=4﹣x，
∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，
∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况，
当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2，
∴P（2，0）；
当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=，
∴P（，0）；
综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）．
故答案为：（2，0）或（，0）．
12．20.
【解析】解：∵△ABC的三边长：AB=1，BC=，AC=，
又∵在的正方形方格中，最大的线段长为，
∴可将三角形扩大倍，这样的三角形有16个；扩大2倍，这样的三角形有4个；
所以符合题意的三角形共有20个.
故答案为20.
13．，或x= ，y=．
【解析】解：∵△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，
∴∠B=∠E，
∴当，即时，△ABC∽△DEF，
解得：x=6，y= ；
当，即时，△ABC∽△FED，
解得：x= ，y=，
∴x=6，y=或x= ，y=．
14．（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，正方形的边长为4，
∴，，
∴．
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）∵BC2=BF BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴DF：BC=DG：BA，
∴DF AB=BC DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
为的中位线，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴，
∴，
∴，
即2DF EG=AF DG．
16．（1），；（2）相似，理由见解析
【解析】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，
∴∠GBC=45°，
∵∠ABG=90°，
∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；
∵在Rt△BHC中，BH=2，CH=2，
∴；
故答案为：，；
（2）解：相似．理由如下：
∵，，
∴，
∴
又∵
∴．
17．（1）4秒；（2）或秒
【解析】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的，
则有MC=2x，NC=8-x，
∴×2x（8-x）＝×8×10×，
解得x1=x2=4，
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似，
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①，
即，
解得t=；
②，即，
解得t＝．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．
18．（1）证明见解析；（2）；（3）线段AD、AB、CD之间数量关系：AD=AB+CD；理由见解析.
【解析】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠BAE，
∴△ABE∽△ECD；
（2）解：Rt△ABE中，∵AB=4，AE=5，
∴BE=3，
∵BC=5，
∴EC=5﹣3=2，
由（1）得：△ABE∽△ECD，
∴ ，
∴，
∴CD=；
（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD=AB+CD；
理由是：过E作EF⊥AD于F，
∵△AED∽△ECD，
∴∠EAD=∠DEC，
∵∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠EDC，
∵DC⊥BC，
∴EF=EC，
∵DE=DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴DF=DC，
同理可得：△ABE≌△AFE，
∴AF=AB，
∴AD=AF+DF=AB+CD．
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