2021-2022学年北师大版数学九年级上册第四章图形的相似检测试卷（Word版，附答案）

第四章 图形的相似 检测
一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)
1. 如果4a＝5b(ab≠0)，那么下列比例式变形正确的是( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
2. 如图S4－1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.若AD＝2 cm，DB＝1 cm，AE＝1.8 cm，则EC＝( )
图S4－1
A. 0.9 cm B. 1 cm
C. 3.6 cm D. 0.2 cm
3. 下列各组图形，不一定相似的是( )
A. 两个等边三角形 B. 各有一个角是100°的两个等腰三角形
C. 两个正方形 D. 各有一个角是45°的两个等腰三角形
4. 已知线段a，b，c，求作线段x，使ax＝bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是( )
5. 如图S4－2，点P为 ABCD的边AD上的一点，点E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2.若S＝3，则S1＋S2的值为( )
A. 24 B. 12 C. 6 D. 3
图S4－2
6. 如图S4－3，在同一时刻，小明测得他的影长为1 m，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5 m.已知小明的身高为1.5 m，则这棵槟榔树的高是( )
A.3 m B.4.5 m C.5 m D.7.5 m
　　　图S4－3
7. △ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2.已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
8. 有同一个四边形地块的甲、乙两张地图，比例尺分别为1∶200与1∶500，则甲地图与乙地图的相似比等于( )
A.2∶5 B.5∶2 C.∶ D.25∶4
9. 下面四组线段不是成比例线段的是( )
A. 3,6,2,4 B. 4,6,5,10
C. 1，，， D. 2，，2，4
10. 如图S4－4，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的图象是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )
A. －a B. －(a＋1) C. －(a－1) D. －(a＋3)
图S4－4
二、填空题(本大题7小题，每小题4分，共28分)
11. 如图S4－5，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，交BA的延长线于点F. 若AD＝4，DC＝3，AF＝2，则AE的长是　 　.
图S4－5
12. 已知＝，那么＝　 　.
13. 如果线段AB＝10，点C是AB上靠近点B的黄金分割点，那么AC的值是　 　.
14. 如图S4－6，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，DE＝2，则BC的长是　 　.
图S4－6
15. 如图S4－7，路灯距离地面8 m，身高1.6 m的小明站在距离路灯的底部(点O)20 m的点A处，则小明的影子AM的长为　 　m.
图S4－7
16. 如图S4－8，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为(1,1)，点C的坐标为(4,2)，则这两个正方形位似中心的坐标是　 　.
图S4－8
17. 如图S4－9，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(27,9)，阴影部分三角形的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则第4个正方形的边长是　 　，S3的值为　 　.
图S4－9
三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)
18. 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a＋b＋c＝12，请你探索△ABC的形状.
19. 如图S4－10，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC.
图S4－10
20. 如图S4－11，已知△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12，△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5，求AD，AE的长.
图S4－11
四、解答题 (二)(本大题3小题，每小题8分，共24分)
21. 如图S4－12，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3.若∠B＋∠B′＝90°，求△ABC与△A′B′C′的面积比.
图S4－12
22. 如图S4－13，AC∥BD，AD和BC相交于点E，EF∥AC交AB于点F，且AC＝p，BD＝q，EF＝r.
(1)求证：＋＝；
(2)若AC＝20，BD＝80，试求EF的值.
图S4－13
23. 小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子.如图S4－14，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在点D处，人在点G处正好看到树尖A. 已知小明的眼睛距离地面1.7 m，量得CD＝12 m，CF＝1.8 m，DH＝3.8 m. 请你求出松树的高.
图S4－14
五、解答题 (三)(本大题2小题，每小题10分，共20分)
24. 如图S4－15，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2,1).
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新三角形与原三角形的相似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出点M的对应点M′的坐标.
图S4－15
25. 如图S4－16①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC于点O，点F是线段AO上的点(与A，O不重合)，∠EAF＝90°，AE＝AF，连接FE，FC，BE，BF.
(1)求证：BE＝BF；
(2)如图S4－16②，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K.求证：△AGC∽△KGB.
图S4－16
答案
1. A　2. A　3. D　4. A　5. B　6. D　7. D　8. B　9. B　10. D　
11. 　12.　13. 5　－5　14. 6　15. 5
16. (－2,0)或　17. 　
18. 解：设＝＝＝k，
可得a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8.
代入a＋b＋c＝12，得9k－15＝12.
解得k＝3.∴a＝5，b＝3，c＝4.
∵a2＝b2＋c2，
∴△ABC为直角三角形.
19. 证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∵点E为AC的中点，∴ED＝EC.
∴∠EDC＝∠C.
∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C.
∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AEF.
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC.
20. 解：∵△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴＝.∴＝.
∴AD＝.
∵＝，∴＝.
∴AE＝.
21. 解：分别作AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′，如答图S4－1，
则∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.
答图S4－1
∴∠B＋∠BAD＝90°.
又∵∠B＋∠B′＝90°，
∴∠BAD＝∠B′.∴△ABD∽△B′A′D′.
∴S△ABD∶S△B′A′D′＝
()2＝25∶9.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴S△ABC＝2S△ABD.
同理可得S△A′B′C′＝2S△B′A′D′.
∴S△ABC∶S△A′B′C′＝25∶9.
22. (1)证明：∵AC∥BD，EF∥AC，
∴EF∥BD.
∴△BEF∽△BCA，△AFE∽△ABD.
∴ ＝，＝.
∴ ＋＝＋＝1.
∴＋＝1.
∴＋＝.
(2)解：由(1)知，＋＝，
∵AC＝20，BD＝80，∴EF＝16.
23. 解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH.
∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，
∴∠ABC＝∠EFC，∠ABD＝∠GHD.
∴△BAC∽△FEC，△ADB∽△GDH.
设AB＝x m，BC＝y m，
则
即
解得
答：这棵松树的高为10.2 m.
24. 解：(1)如答图S4－2，△OB′C′即为所求.
答图S4－2
(2)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍，则是对应点的坐标放大两倍，并将符号进行相应的改变，因为B(3，－1)，则B′(－6,2)；因为C(2,1)，则C′(－4，－2).
(3)因为点M(x，y)在△OBC内部，则它的对应点M′的坐标是点M的坐标乘2，并改变符号，即M′(－2x，－2y).
25. 证明： (1)∵∠BAC＝90°，AO⊥BC且AB＝AC，
∴∠OAC＝∠OAB＝45°.
∴∠EAB＝∠EAF－∠BAF＝45°.
∴∠EAB＝∠BAF.
∵AE＝AF，且AB＝AB.
∴△EAB≌△FAB(SAS).
∴BE＝BF.
(2)∵∠BAC＝90°，∠EAF＝90°，
∴∠EAB＋∠BAF＝∠BAF＋∠FAC＝90°.
∴∠EAB＝∠FAC.
∵AE＝AF，且AB＝AC.
∴△AEB≌△AFC(SAS).
∴∠EBA＝∠FCA.
又∵∠KGB＝∠AGC，
∴△AGC∽△KGB.