2021-2022年学年（人教A版必修5)第一章《解三角形》导学讲义系列（4）正余弦定理解决实际问题
文档属性
| 名称 | 2021-2022年学年（人教A版必修5)第一章《解三角形》导学讲义系列（4）正余弦定理解决实际问题 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 241.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-06 20:19:41 | ||
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文档简介
必修五 第一章《解三角形》导学讲义系列
§1－4《 正余弦定理求解实际问题》
【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
【学习重难点】1.解三角形的实际应用;2.正、余弦定理在平面几何中的应用
【学习过程导学案】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：相对于某一正方向与目标方向线所成的锐角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
三、利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题
【罗师导航】(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一
段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
例2、如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.
例3、如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．
【课堂能力达标检测】
【3-1】某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为( )
A．20海里 B．8 海里 C．23 海里 D．24海里
【3-2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m．
【3-3】当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为________．
【3-4】如图，在某港口A处获悉，其正东方向距离20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°距港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．
求接到救援命令时救援船距渔船的距离；
试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？
(已知cos49°＝)
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必修五 第一章《解三角形》导学讲义系列
§1－4《 正余弦定理求解实际问题》
【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
【学习重难点】1.解三角形的实际应用;2.正、余弦定理在平面几何中的应用
【学习过程导学案】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：相对于某一正方向与目标方向线所成的锐角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
三、利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题
【罗师导航】(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一
段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
【答案】 900；【解析】 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.
又PB为公共边，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
所以P，Q两点间的距离为900 m.
例2、如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.
【答案】30;【解析】在△BCD中，由正弦定理得BC＝·10＝10(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝30(m)．
例3、如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．
【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)．在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝＝(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝＝＝.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝(海里)，则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．
【课堂能力达标检测】
【3-1】某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为( )
A．20海里 B．8 海里 C．23 海里 D．24海里
【答案】 B【解析】 在△ABD中，因为灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，所以B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝，
可得AD＝＝＝24海里．
在△ACD中，AD＝24海里，AC＝8 海里，∠CAD＝30°，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝192.
所以CD＝8 海里．故选B.
【3-2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m．
【答案】;【解析】依题意，，，在中，
由，
所以，因为，由正弦定理可得，
即 m，在中，因为，，
所以，所以 m．
【3-3】如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为________．
【答案】 【解析】如图，连接BC，在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，
∴BC＝10， 再由正弦定理，得＝，∴sin θ＝.
【3-4】如图，在某港口A处获悉，其正东方向距离20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°距港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．
(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离；
(2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(已知cos49°＝)
【解析】 (1)由题意可知在三角形ABC中，AB＝20，AC＝10，∠CAB＝120°，∵CB2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝202＋102－2×20×10×cos120＝700.∴BC＝10，∴接到救援命令时救援船距离渔船的距离为10海里．
(2)三角形ABC中，AB＝20，BC＝10，∠CAB＝120°，由正弦定理得＝，即＝，∴sin∠ACB＝.∵cos49°＝sin41°＝，∴∠ACB＝41°，故救援船应沿北偏东71°的方向救援．
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§1－4《 正余弦定理求解实际问题》
【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
【学习重难点】1.解三角形的实际应用;2.正、余弦定理在平面几何中的应用
【学习过程导学案】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：相对于某一正方向与目标方向线所成的锐角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
三、利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题
【罗师导航】(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一
段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
例2、如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.
例3、如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．
【课堂能力达标检测】
【3-1】某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为( )
A．20海里 B．8 海里 C．23 海里 D．24海里
【3-2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m．
【3-3】当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为________．
【3-4】如图，在某港口A处获悉，其正东方向距离20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°距港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．
求接到救援命令时救援船距渔船的距离；
试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？
(已知cos49°＝)
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必修五 第一章《解三角形》导学讲义系列
§1－4《 正余弦定理求解实际问题》
【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
【学习重难点】1.解三角形的实际应用;2.正、余弦定理在平面几何中的应用
【学习过程导学案】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：相对于某一正方向与目标方向线所成的锐角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
三、利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题
【罗师导航】(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一
段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
【答案】 900；【解析】 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.
又PB为公共边，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
所以P，Q两点间的距离为900 m.
例2、如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.
【答案】30;【解析】在△BCD中，由正弦定理得BC＝·10＝10(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝30(m)．
例3、如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．
【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)．在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝＝(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝＝＝.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝(海里)，则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．
【课堂能力达标检测】
【3-1】某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为( )
A．20海里 B．8 海里 C．23 海里 D．24海里
【答案】 B【解析】 在△ABD中，因为灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，所以B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝，
可得AD＝＝＝24海里．
在△ACD中，AD＝24海里，AC＝8 海里，∠CAD＝30°，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝192.
所以CD＝8 海里．故选B.
【3-2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m．
【答案】;【解析】依题意，，，在中，
由，
所以，因为，由正弦定理可得，
即 m，在中，因为，，
所以，所以 m．
【3-3】如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为________．
【答案】 【解析】如图，连接BC，在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，
∴BC＝10， 再由正弦定理，得＝，∴sin θ＝.
【3-4】如图，在某港口A处获悉，其正东方向距离20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°距港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．
(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离；
(2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(已知cos49°＝)
【解析】 (1)由题意可知在三角形ABC中，AB＝20，AC＝10，∠CAB＝120°，∵CB2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝202＋102－2×20×10×cos120＝700.∴BC＝10，∴接到救援命令时救援船距离渔船的距离为10海里．
(2)三角形ABC中，AB＝20，BC＝10，∠CAB＝120°，由正弦定理得＝，即＝，∴sin∠ACB＝.∵cos49°＝sin41°＝，∴∠ACB＝41°，故救援船应沿北偏东71°的方向救援．
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