第二章 圆锥曲线与方程 单元测试（含解析）

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高二数学下册 圆锥曲线检测
一、单选题（12题，共60分）
1．方程表示的曲线经过的一点是（ ）
A． B． C． D．
2．表示的曲线为（ ）
A．两个半圆 B．一个圆 C．半个圆 D．两个圆
3．到定点F（2，0）的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是（ ）
A． B．或 C． D．
4．已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．21
5．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为（ ）
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
6．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（ ）
A．14 B．9 C．4 D．2
7．已知，为椭圆的左 右焦点，P为椭圆上一点，若，则P点的横坐标为（ ）
A． B． C．4 D．9
8．设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
11．已知双曲线C的离心率为是C的两个焦点，P为C上一点，，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知椭圆的右焦点为，若存在过原点的直线与的交点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4题，20分）
13．若双曲线的一个焦点为，则______．
14．过椭圆上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为___________.
15．已知椭圆，左、右焦点分别为、，若过的直线与圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且垂直于x轴，则椭圆的离心率为______．
16．关于曲线的下列说法，其中正确的序号是___________.
①关于原点对称；
②是封闭图形，面积大于；
③不是封闭图形，与圆无公共点；
④与曲线的四个交点恰为正方形的四个顶点.
三、解答题
17．一条圆锥曲线过点，切直线于点，切直线于点，求它的方程.
若椭圆与抛物线有四个公共点，试探讨a、b、m应满足的关系.
19．第一象限内的点在双曲线上，双曲线的左 右焦点分别记为，已知为坐标原点.
（1）求证：；
（2）若的面积为2，求点的坐标.
20．己知圆．
（1）若直线与圆C相交于A、B两点,当弦长最短时,求直线l的方程;
（2）若与圆C相外切且与y轴相切的圆的圆心记为D,求D点的轨迹方程．
21．已知椭圆过点，且离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O是坐标原点，求的面积S的最大值.
22．已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得x轴平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由，
答案与解析
一、单选题
1．方程表示的曲线经过的一点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
当时可得，可得答案.
【详解】
当时可得
所以方程表示的曲线经过的一点是，
且其它点都不满足方程，
故选：C
2．表示的曲线为（ ）
A．两个半圆 B．一个圆
C．半个圆 D．两个圆
【答案】A
【分析】
去方程中的绝对值符号，平方整理，再分类讨论方程表示的曲线即可得解.
【详解】
依题意，，则有或，
当时，，
此时方程表示以点O2(-1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x=-1及左侧的半圆，
当时，，
此时方程表示以点O1(1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x=1及右侧的半圆，
如图，
表示的曲线为两个半圆.
故选：A
3．到定点F（2，0）的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】
设出动点的坐标，根据已知条件列方程，化简求得动点的轨迹方程.
【详解】
设动点坐标为，依题意，
两边平方并化简得，
当时，，
当时，.
故选：B
4．已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．21
【答案】A
【分析】
由直接可得.
【详解】
由题知，
所以，因为，所以.
故选：A
5．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为（ ）
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
【答案】D
【分析】
圆的圆心为M(1，0)，半径为1，设P(x，y)，根据PA是圆的切线，且|PA|＝1，可得|PM|＝，从而可求点P的轨迹方程.
【详解】
如图，设P(x，y)，
圆心为M(1，0).连接MA，PM，
则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又因为|PA|＝1，
所以|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.
故选：D.
6．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（ ）
A．14 B．9 C．4 D．2
【答案】C
【分析】
根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答.
【详解】
设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点，
则在双曲线中，，即有，解得，
所以.
故选：C
7．已知，为椭圆的左 右焦点，P为椭圆上一点，若，则P点的横坐标为（ ）
A． B． C．4 D．9
【答案】B
【分析】
设，，根据向量的数量积得到，与椭圆方程联立，即可得到答案；
【详解】
设，，
，
与椭圆联立，解得：，
故选：B
8．设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.
【详解】
根据P为椭圆C：上一点，
则有，
又，所以，
故选：B.
9．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意求得直线l的方程，设，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得出答案.
【详解】
由椭圆知，，所以，
所以右焦点坐标为，则直线的方程为，
设，
联立，消y得，，
则，
所以.
即弦AB长为.
故选：C.
10．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】
根据椭圆的焦半径公式和椭圆中的的范围可求得取最大值时，点在椭圆的短轴上.
【详解】
设点的坐标为，根据椭圆的焦半径公式可得：
则有：
根据椭圆的特点，可知：
可得：当时，取最大值
此时，点在椭圆的短轴上，则有：
故选：B
11．已知双曲线C的离心率为是C的两个焦点，P为C上一点，，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据双曲线的定义，在中，运用余弦定理，并结合和的面积建立方程，解出方程即可
【详解】
根据双曲线的定义，可得：
又：
解得：，
双曲线C的离心率为，则有：
在中，由余弦定理，可得：
则有：
的面积为，可得：
解得：
故双曲线C的实轴长为：2
故选：B
12．已知椭圆的右焦点为，若存在过原点的直线与的交点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意可得出以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，从而可得到，然后结合及椭圆的离心率即可求出答案.
【详解】
因为存在过原点的直线与的交点，满足，
故以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，所以，即，
又因为，所以，即，
所以，即.
故选：D.
二、填空题
13．若双曲线的一个焦点为，则______．
【答案】3
【分析】
利用给定方程结合直接计算作答.
【详解】
因双曲线的一个焦点为，则有，解得，
所以.
故答案为：3
14．过椭圆上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为___________.
【答案】
【分析】
相关点法求解轨迹方程.
【详解】
设，则，则，即，因为，
代入可得，即的轨迹方程为.
故答案为：
15．已知椭圆，左、右焦点分别为、，若过的直线与圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且垂直于x轴，则椭圆的离心率为______．
【答案】##
【分析】
由题意可得，再由垂直于x轴，可得，，再结合椭圆的定义可求出椭圆的离心率
【详解】
如图，设过的直线与圆相切于点，则，
由于，所以，
因为垂直于x轴，
所以，所以，则，
因为，
所以，化简得，
所以离心率，
故答案为：
16．关于曲线的下列说法，其中正确的序号是___________.
①关于原点对称；
②是封闭图形，面积大于；
③不是封闭图形，与圆无公共点；
④与曲线的四个交点恰为正方形的四个顶点.
【答案】①③④
【分析】
将方程中的换成，换成，可判断①；由方程得，，故曲线不是封闭图形，可判断②；曲线的方程与圆联立，解方程组即可判断③；当，时，联立曲线与，只有一解，根据对称性，共有4个交点，这4点构成正方形，可判断④．
【详解】
解：对于①，将方程中的换成，换成方程，即，方程不变，故①正确；
对于②，因为，所以，所以，所以，，故曲线不是封闭图形，故②错；
对于③，曲线与圆联立即，即，即方程无解，故曲线与圆无公共点，故③正确；
对于④，当，时，联立曲线与，即，解得，即交点坐标为，根据对称性，可得与曲线共有4个交点，这4点构成正方形，故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题
17．一条圆锥曲线过点，切直线于点，切直线于点，求它的方程.
【答案】
【分析】
先得到过点，的直线方程，再根据，都是切点，设所求方程为：，再将点代入求解.
【详解】
过点，的直线方程为，①
因为，都是切点，直线①可以看作是两条重合的直线（退化了的曲线），
所以设所求方程为：
.
再由曲线过点，代入上式解得.
故所求方程为.
18．若椭圆与抛物线有四个公共点，试探讨a、b、m应满足的关系.
【答案】
【分析】
作出椭圆和抛物线的图像，数形结合，当抛物线顶点在椭圆下方（）且抛物线穿过椭圆内部时，两条曲线必有四个交点，这是一个充分条件；但是当时在x轴下方，抛物线与椭圆仍有交点，有四个交点的一个极端情形应该是两条曲线相切，综合分析即得解
【详解】
作出椭圆和抛物线的图像如图所示.
观察图像可得，当抛物线顶点在椭圆下方（）且抛物线穿过椭圆内部（）时，
即时两条曲线有四个交点，这是一个充分条件。
但考虑的情形却没有考虑当时,在x轴下方，抛物线与椭圆仍有交点，如：的解为，或，或，或，
所以有四个交点的一个极端情形应该是两条曲线相切.
由，得，
于是两曲线有四个交点的条件是.
19．第一象限内的点在双曲线上，双曲线的左 右焦点分别记为，已知为坐标原点.
（1）求证：；
（2）若的面积为2，求点的坐标.
【答案】
（1）证明见解析.
（2）.
【分析】
(1)根据给定条件结合双曲线定义及a，b，c的关系即可计算作答.
(2)利用(1)的结论求出双曲线的方程，求出长，由此列出方程组求解即得.
（1）
因是双曲线第一象限内的点，于是得，而，则，，
令双曲线的半焦距为c，则，因，因此，，
即，化简得，又，则有，，
所以.
（2）
因为线段的中点，则，由(1)知，于是有，则，
因此，双曲线方程为，设点，则有，
又是斜边的中点，则，即，
联立解得，而，则有，
所以点的坐标是.
20．己知圆．
（1）若直线与圆C相交于A、B两点,当弦长最短时,求直线l的方程;
（2）若与圆C相外切且与y轴相切的圆的圆心记为D,求D点的轨迹方程．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)先求出直线过的定点,再根据弦长|AB|最短时,求解.
(2)用直译法求解
（1）
直线即,所以直线过定点.
当弦长|AB|最短时,
因为直线PC的斜率
所以此时直线的斜率
所以当弦长|AB|最短时,求直线的方程为,即
（2）
设,易知圆心D在轴上方,圆D半径为
因为圆与圆外切,所以
即
整理得点的轨迹方程为
21．已知椭圆过点，且离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O是坐标原点，求的面积S的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由题意得，解方程组可求出，从而可得椭圆C的方程，
（2）设直线且交椭圆C于点、，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，而，再前面得到的式子代入化简可求得答案
（1）
由题意知，，
解得，，所以椭圆C的方程为：.
（2）
设直线且交椭圆C于点、，
联立，得，整理得，
∵，
∴，，
∴.
令，，则，
，
令，则，
所以在上单调递增，
所以
所以当时，，
故的面积S的最大值为.
22．已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得x轴平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由，
【答案】
（1）
（2）存在，
【分析】
（1）由题给条件列出关于的方程组，解得即可求得椭圆C的方程；
（2）把题给条件“在x轴上存在一点，使得x轴平分”，转化成“在x轴上存在一点，使成立”，是本题关键.
（1）
由题意得
解得：，.所以椭圆C的方程为.
（2）
由题意可知.
若直线l斜率存在，设直线l的方程为，，
联立得，整理得.
由题意可知恒成立，所以，
假设在x轴上存在一点，使得x轴平分，则，
所以，整理得，
即，
整理得，，
则，
即，解之得.
若直线l斜率不存在时，则M，N两点关于x轴对称，当点P坐标为时，x轴平分.
综上所述，在x轴上存在一点，使得x轴平分.
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