高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册圆锥曲线的方程对点专练5
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知，是椭圆：的两个焦点，左顶点为A，过点的直线交椭圆于，两点，若则（ ）
A． B． C． D．
2．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆与轴的交点分别为点是直线上的任意一点，椭圆以为焦点且过点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知О为坐标原点，双曲线的右焦点为，直线与双曲线C的渐近线交于A、B两点，其中M为线段OB的中点．O、A、F、M四点共圆，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
7．已知双曲线C：(a>0，b>0)与直线y=kx交于A，B两点，点P为C上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，C的左、右焦点分别为F1，F2．若kPA kPB=，且C的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（ ）
A．a=2
B．C的离心率为
C．若PF1⊥PF2，则PF1F2的面积为2
D．若PF1F2的面积为，则PF1F2为钝角三角形
8．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，直线与交于A，B两点，轴，垂足为，直线BE与的另一个交点为，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形为平行四边形 B．
C．直线BE的斜率为 D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知，分别是双曲线，的左、右焦点，双曲线上有一点，满足，且，则该双曲线离心率的取值范围是____
10．已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为_____.
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
12．已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.
四、解答题
13．已知定点，动点与连线的斜率之积.
（1）设动点的轨迹为，求的方程；
（2）若是上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.
14．已知椭圆的右焦点到左顶点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于，两点(，不在轴上)，若，延长交椭圆于点，求四边形的面积的最大值.
15．抛物线，点是抛物线上一点，为此抛物线的焦点，为坐标原点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）抛物线的两条互相垂直的弦和交于点和分别是和的中点，求到直线的最大距离.
16．已知O为坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设C的左 右焦点分别为，，过作直线l交C于P，Q两点，若的面积为，求直线l的斜率.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．A
【分析】
由题可知直线的斜率不为0，可设直线方程为，联立椭圆方程利用韦达定理及条件可求出点，即得.
【详解】
由题可知，根据题意可知直线的斜率不为0，可设直线方程为，，不妨设，如图，
由得，，
∴，
由可得，∴
∴解得
∴
∴，即，
∴.
故选：A.
2．B
【分析】
分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.
【详解】
若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，
∴，设切线为，切线为，
∴，整理得，由知：
，整理得，
同理，，可得，
∴，即，故.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.
3．A
【分析】
由题意易得椭圆的半焦距，然后求得点关于直线的对称点为，由，此时椭圆的离心率取得最大值求解.
【详解】
圆与轴的交点分别为，，不妨令点，，
椭圆的半焦距．
设点关于直线的对称点为，
，解得，
．
如图所示：
连接交直线于点，此时有最小值，此时的最小值为，
当长轴长最小时，椭圆的离心率取得最大值，
即．
又，
椭圆的离心率的取值范围为，
故选：A
4．B
【分析】
数形结合，设，，，依据双曲线定义可知，利用直线的倾斜角与大小相等，简单计算即可
【详解】
设圆与的三边的切点分别为，如图，
令，，，
根据双曲线的定义可得，化简得，
由此可知，在中，轴于，同理轴于，
轴过圆心作的垂线，垂足为，易知直线的倾斜角与大小相等，不妨设圆的半径，设圆的半径，则，，所以根据勾股定理，，所以，；
故选：B
【点睛】
关键点睛：得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等便于计算
5．A
【分析】
由得，由此求得的坐标，将的坐标代入双曲线方程，化简求得，从而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
依题意，
所以，
，设直线的倾斜角为，则为钝角，，
结合解得，
设，则，
，
将点坐标代入双曲线方程得，而，
所以，
化简得，
，
，
，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A
【点睛】
本题主要解题的两个关键点，一个是根据向量的数量积为零判断出，另一个是将坐标代入双曲线方程后的运算.
6．A
【分析】
根据题意得到，，，，再根据O、A、F、M四点共圆，可知四边形为等腰梯形，利用，求得a，b关系即可.
【详解】
由题意得：，，，
因为M为线段OB的中点，
又为AB的中点，，即四边形为梯形，
又O、A、F、M四点共圆，即四边形为圆内接四边形，
而圆内接四边形的对角互补，可知四边形为等腰梯形，
，即，整理得，
所以，
故选：A
7．AD
【分析】
设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，
通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；
设P在双曲线的右支上，记 则 ，利用，转化求解三角形的面积，判断C；
设P(x0，y0)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三 角形的形状，判断D.
【详解】
设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)
则，且，两式相减得，
所以，因为，所以，
故双曲线C的渐近线方程
因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，
所以，，所以，，离心率为，故A正确，B错误．
对于C，不妨设P在右支上, 记 则
因为 , 所以
解得 或 (舍去）, 所以 的面积为
，故C不正确；
对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，
将带入C：，得，即
由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，
因为
所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确
故选：AD.
【点睛】
本题一个结论，双曲线焦点到渐近线的距离为双曲线的虚半轴长.
8．ABC
【分析】
由对称性可证，即可判断四边形是否为平行四边形；△中应用余弦定理，结合直线斜率的存在性即可判断是否正确；由对称性设，则，，即知直线BE的斜率；联立直线与椭圆方程，即可求得点坐标，进而有直线的斜率即可判断.
【详解】
A选项：根据对称性，如上图有，所以，即，则，，所以四边形为平行四边形；A正确.
B选项：由余弦定理，，，由直线中存在故，
∴，令，则，所以，， ，即；B正确.
C选项：若，则，，所以直线BE的斜率为；C正确.
D选项：由上可设，联立椭圆方程，整理得：，若，则，即，，所以直线的斜率为，故，即，故D错误.
故选：ABC．
【点睛】
本题考查了椭圆方程，根据直线与椭圆的位置关系，判断交点与焦点构成图形的形状，动点与焦点所成角的范围、两直线的位置关系等，属于难题.
9．.
【分析】
根据题意，通过双曲线的定义和余弦定理求出的关系，进而根据离心率的定义求得答案.
【详解】
如示意图，
设，由双曲线的定义可得：，而，由余弦定理：，于是.
记，而，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，则函数在上单调递增，所以，，即.
故答案为：.
10．8
【分析】
根据题目意思将面积用和面积表示得到，结合即可求解.
【详解】
解：不妨设直线的斜率，过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，
过作于，
由，得，，
，
，
由，
又，
所以，
.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．
（1）若题目已给出抛物线的方程(含有未知数)，那么只需求出即可；
（2）若题目未给出抛物线的方程：
a.对于焦点在轴上的抛物线的标准方程可统一设为的正负由题设来定；
b.焦点在轴上的抛物线的标准方程可设为，这样就减少了不必要的讨论．
11．
【分析】
由题意知：在、之间，若过作直线l垂直于B，交于A，可令求、坐标，进而可得、，应用向量共线的坐标表示，列方程得到a、c的齐次方程，即可求的范围.
【详解】
由题意，双曲线C的渐近线为，若过作直线l垂直于B，交于A，.
∵且，
∴在、之间，如上图示，令，
∴，，则，，
∴， 即，
∴，故，得，又，
∴.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：首先判断、、的位置关系，再设直线方程并求、坐标，利用向量共线的坐标表示列方程，结合已知求参数范围即可.
12．
【分析】
由抛物线定义可知的轨迹方程，直线过定点，结合圆的性质，可知点的轨迹为圆，再结合抛物线与圆的性质即可得到最小值．
【详解】
由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点到定点的距离等于动点到直线的距离，故动点的轨迹为，
由可得，
解得D，即直线过定点D，
又过作直线的垂线，垂足为，
所以点在以为直径的圆上，直径式方程为，
化为标准方程为：，圆心,半径
过做垂直准线，垂足为，过做垂直准线，垂足为
则
故答案为：
13．
（1）；
（2）以为直径的圆过定点，定点坐标为和.
【分析】
(1)设动点的坐标，利用斜率坐标公式结合已知列式即可作答.
(2)设上任意一点，求出点M，N的坐标，再求出以为直径的圆的方程即可分析作答.
（1）
设点，则直线PA，PB的斜率分别为：，，
依题意，，化简整理得：，
所以的方程是：.
（2）
由(1)知，令是上任意一点，则点，
直线：，则点，直线：，则点，
以MN为直径的圆上任意一点，当点Q与M，N都不重合时，，有，
当点Q与M，N之一重合时，也成立，
因此，以MN为直径的圆的方程为：，
化简整理得：，而，即，
则以MN为直径的圆的方程化为：，显然当时，恒有，
即圆恒过两个定点和，
所以以为直径的圆过定点，定点坐标为和.
【点睛】
知识点睛：以点为直径的两个端点的圆的方程是：.
14．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
（2）结合根与系数关系、弦长公式求得，利用换元法、基本不等式求得的最大值.
（1）
由已知得b2＝3，a＋c＝3，a2＝b2＋c2，
解得.
所以椭圆C的方程为.
（2）
因为过F(1,0)的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不在x轴上)，
所以设l：x＝ty＋1，
由消去并化简得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，
设，则，
因为，所以是平行四边形，
所以
令，，.
由函数的单调性知，即时，.
15．
（1）
（2）2
【分析】
(1)由抛物线定义及点在曲线上，可以列出方程组；
(2)由题意可以设AB，CD的方程，求出点M，N的坐标，再求直线MN的方程；点到直线的距离结合基本不等式；通过平移顶点，设MN的直线方程，再通过消未知数，得到一元二次方程，利用韦达定理，结合斜率关系，得到直线过定点.
（1）
设，由题得：
，解得
方程为；
（2）
由题，斜率均存在且不为0
设，与联立得
则，同理
（法一）当时，
所以，直线方程是：即，
所以直线恒过定点
当时，直线方程是：，也过
到直线的最大距离为
（法二）当时，直线方程是：
到直线的距离为
仅当时取等号
当时，直线方程是：到直线的距离为2
到直线的最大距离为
（法三）和都在上且
设，设
，则直线恒过点
到直线的最大距离为.
16．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据已知条件分别列出关于 的等式，解方程组可求得答案；
（2）设直线方程和椭圆方程联立，整理得根于系数的关系式，再根据的面积，将根与系数的关系代入，即可解得答案.
（1）
易知，.
因为的面积为，所以.，
又直线AB的方程为，即，
点O到直线AB的距离为，所以，
联立方程组，
解得，
所以椭圆C的方程为；
（2）
显然直线l的斜率不为0，由（1）知，
设l：，，，
联立方程组消去x，得，
由韦达定理可得，.
所以.
由，化简得，
解得，
所以直线l的斜率为.
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答案第1页，共2页高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册圆锥曲线的方程对点专练4
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为A，，过点A的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为B，若，且，则的离心率为( )
A．2 B． C． D．
2．已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
3．已知О为坐标原点，双曲线的右焦点为，直线与双曲线C的渐近线交于A、B两点，其中M为线段OB的中点．O、A、F、M四点共圆，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知是离心率为的椭圆外一点，经过点的光线被轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
6．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．若点，则的最小值为
C．无论过点的直线在什么位置，总有
D．若点在抛物线准线上的射影为，则、、三点共线
8．如图，已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则下列条件中能使得椭圆的离心率为的有（ ）
A．
B．
C．轴，且
D．四边形的内切圆过焦点，
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且同时满足：
①是等腰三角形；
②是钝角三角形；
③线段为的腰；
④椭圆上恰好有4个不同的点．
则椭圆的离心率的取值范围是______．
10．已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______．
11．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为__________．
12．已知实数满足，则的取值范围是___________.
四、解答题
13．已知O为坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设C的左 右焦点分别为，，过作直线l交C于P，Q两点，若的面积为，求直线l的斜率.
14．已知椭圆的长轴长是，以其短轴为直径的圆过椭圆的左右焦点，.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段MN的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是，求面积的取值范围.
15．抛物线E的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线交E于P，Q两点，且.
（1）求E的方程；
（2）直线与E相交于A，B两点，点C在E上，直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求内切圆D的方程.
16．设椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，，分别是左右焦点，N是C上一点且与x轴垂直，直线的斜率为.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若抛物线的焦点恰好是点B，设直线l：与椭圆C交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第一象限，若（S表示面积），求k的值
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参考答案
1．C
【分析】
由向量数量积等式推出l⊥x轴，求出点Q坐标，进而得点B坐标，再代入双曲线方程求解即得.
【详解】
由已知得，设，
由，得，
所以轴，即，
不妨设点在第一象限，则.
设，由，得，
，
，即，
点在双曲线上，
，
整理得，，
解得，或(负值舍去).故选C.
故选：C
【点睛】
求解双曲线离心率的问题，根据条件建立关于a，b，c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a，c的齐次式，再转化为关于e的方程，解之即可得e.
2．D
【分析】
由题意，知抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，设关于直线的对称点，，利用两点之间线段最短，可知的最小值等于，再利用两点之间的距离即可求解.
【详解】
由题意，知抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，
点在抛物线上，点为直线上的动点，
设关于直线的对称点，作图如下，
利用对称性质知：，则
即点在位置时，的值最小，等于，
利用两点之间距离知，则的最小值为
故选：D.
【点睛】
思路点睛：本题考查利用对称求最短距离，“两点之间线段最短”，是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，常常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，解决这类问题，可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段转化为两点之间的距离问题.
3．A
【分析】
根据题意得到，，，，再根据O、A、F、M四点共圆，可知四边形为等腰梯形，利用，求得a，b关系即可.
【详解】
由题意得：，，，
因为M为线段OB的中点，
又为AB的中点，，即四边形为梯形，
又O、A、F、M四点共圆，即四边形为圆内接四边形，
而圆内接四边形的对角互补，可知四边形为等腰梯形，
，即，整理得，
所以，
故选：A
4．D
【分析】
由题意知，设过点的直线方程为：，反射后的切线方程为：，联立切线方程与椭圆的方程，利用求解即可.
【详解】
由题意可知，又，故，
设过点的直线斜率为，则直线方程为：，即
则反射后的切线方程为：
由得，
因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，
，
化简得：，即，解得
故选：D.
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，及关于直线对称的直线方程，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
5．A
【分析】
设，据双曲线的定义可用表示，作，构造直角三角形可计算得，并用勾股定理列出了，进而可求.
【详解】
设，则，
从而，进而.
过作，则.如图：
在中，，；
在中，，
即，所以.
故选：A
【点睛】
（1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义；
（2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于的齐次等式，再化为的等式可求；
（3）此题的关键是作得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立的齐次等式.
6．C
【分析】
设直线，的倾斜角分别为，，，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率.
【详解】
由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.
，
，
当且仅当，即时取等号，又得最大值为，
，即，整理得，故椭圆的的离心率是.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：设点M坐标及，的倾斜角，由与直线，的倾斜角的数量关系，结合差角正切公式及基本不等式求关于椭圆参数的表达式，进而确定椭圆参数的数量关系.
7．ABCD
【分析】
对选项A，设直线，与抛物线联立，得到当且仅当与抛物线相切时，取得最大值，从而得到A正确；对选项B，利用抛物线的几何性质即可得到答案；对选项C，设方程为，，，与抛物线联立得到，利用根系关系得到，即可得到；对选项D，由题意知，再计算即可判断D正确.
【详解】
对选项A，设直线，
联立得，
当且仅当与抛物线相切时，取得最大值.
由，得.
直线的斜率为，此时取得最大值.故A正确.
对选项B，，则在准线上的射影为，
设到准线的距离为，
则，
当且仅当，，三点共线时等号成立，故B正确；
对选项C，由题意知，，且的斜率不为，
则设方程为，，，
联立直线与抛物线的方程，整理得，
则，，
所以，.
则
.
故直线，的倾斜角互补，
所以，故C正确.
对选项D，由题意知，
由③知，，，则，，
由，知，
即 三点在同一条直线上，故D正确.
故选ABCD
【点睛】
关键点点睛：求解抛物线有关距离的最值，要结合抛物线的定义来解决.
8．BD
【分析】
由已知结合两点之间的距离公式知，进而判断A；由已知结合勾股定理构造齐次式计算离心率可判断B；由已知结合两点连线的斜率公式可得 ，进而求得离心率判断C；由已知可知四边形的内切圆的半径为c，利用等面积法及构造齐次式可判断D.
【详解】
由椭圆，
可得，，
对于A，，即，化简得，即，不符合题意，故A错误；
对于B，，则，即，
化简得，即有，解得（舍去），符合题意，故B正确；
对于C，轴，且，所以，由，可得，
解得，又，所以，不符合题意，故C错误；
对于D，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c，
则，结合，即，解得（舍去）或即，符合题意，故D正确；
故选：BD
9．
【分析】
由已知是以为腰的等腰三角形，即点在以为圆心，2c为半径的圆上，结合圆与椭圆有两个交点，及为钝角，结合余弦定理建立关于的不等式，解不等式即可求得结果.
【详解】
如图，根据椭圆的对称性知，点及关于x轴，y轴，原点对称的其它3点，即为椭圆满足条件的4个不同的点．
根据题意可知是以，为两腰的等腰三角形，故，即点在以为圆心，为半径的圆上，
由题知以为圆心，2c为半径的圆与椭圆有两个交点，即可存在两个满足条件的等腰，
此时必有，即，即，所以离心率；
又为钝角，则，利用余弦定理知，即，
整理得，两边同除以得，，解得：
综上，可知椭圆的离心率的取值范围是
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查椭圆的基本性质，及椭圆离心率的取值范围，解题关键是找到关于的不等关系，本题中是以为腰的等腰三角形，结合圆与椭圆有两个交点，及为钝角，建立关于的不等式，解不等式求得结果，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
10．．
【分析】
根据椭圆定义得出，进而对进行化简，结合基本不等式得出的最小值，并求出的值，进而求出面积.
【详解】
由椭圆定义可知，，所以，
，当且仅当，即时取“=”.
又，所以.
所以，由勾股定理可知：，所以.
故答案为：.
11．
【分析】
利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出，得出离心率.
【详解】
切于,切于E，，球半径为2，所以，
，，
中，，
，故,,
根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O与
相切的切点为椭圆的一个焦点，且，
,c=4，
椭圆的离心率为.
故答案为：
【点睛】
本题要求有一定的空间图形辨别能力，能从整体上认识图形，并且对圆锥曲线的来源有一定的认识，借助平面图形来求解.
12．
【分析】
讨论得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得的取值范围，进而可得的取值范围.
【详解】
因为实数满足，
当时，方程为的图象为椭圆在第一象限的部分；
当时，方程为的图象为双曲线在第四象限的部分；
当时，方程为的图象为双曲线在第二象限的部分；
当时，方程为的图象不存在；
在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，
根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为，
令，即，与双曲线渐近线平行，
当最大时，直线与椭圆相切，
联立方程组，得，
，
解得，
又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，
所以，
当直线与双曲线渐近线重合时，z最小但取不到最小值，即，所以
综上所述，，
所以，
即，
故答案为：.
【点睛】
解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
13．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据已知条件分别列出关于 的等式，解方程组可求得答案；
（2）设直线方程和椭圆方程联立，整理得根于系数的关系式，再根据的面积，将根与系数的关系代入，即可解得答案.
（1）
易知，.
因为的面积为，所以.，
又直线AB的方程为，即，
点O到直线AB的距离为，所以，
联立方程组，
解得，
所以椭圆C的方程为；
（2）
显然直线l的斜率不为0，由（1）知，
设l：，，，
联立方程组消去x，得，
由韦达定理可得，.
所以.
由，化简得，
解得，
所以直线l的斜率为.
14．
（1）；
（2）.
【分析】
(1)根据给定条件结合列式计算即可作答.
(2)设出直线MN的方程，与椭圆方程联立并结合已知求出m的范围，
再借助韦达定理求出面积函数，利用函数单调性计算作答.
（1）
令椭圆半焦距为c，依题意，，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）
由(1)知，椭圆E左焦点为，设过椭圆E左焦点的直线为(存在且不为0)，
由消去x得，，设，
则，线段的中点为，
因此线段的垂直平分线为，由得的纵坐标为，
依题意，且，解得，由(1)知，，
，
令，在上单调递减，
当，即时，，当，即时，，
所以面积的取值范围.
【点睛】
结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；
过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积.
15．
（1）
（2）
【分析】
（1）设抛物线E的方程为，由，求得PQ的坐标，再根据，由求解；
（2）由求得A，B的坐标，再根据直线的斜率与直线的斜率互为相反数，由，求得点C的坐标，易知圆心在过C垂直x轴的直线上，由圆心到直线AB和BC的距离相等，求得圆心和半径即可.
（1）
解：设抛物线E的方程为，
由，解得，
不妨设，
因为，
所以
，即，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）
由得，
设，
则，
因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，
所以，
，
即，
即，
即，
解得，
则，
所以，
易知内切圆的圆心在直线上，
设圆心为，
则圆心到直线AB的距离为，
圆心到直线BC的距离为，
因为，
解得或，
因为圆心在直线的上方，
则，即，
所以，则，
所以内切圆的方程为：.
16．
（1）
（2）
【分析】
（1）利用直线的斜率得到等量关系，得到，利用勾股定理求出，利用椭圆定义得到关于的等式，求出离心率；（2）先求出椭圆方程，再利用面积关系得到，转化为横坐标比，求出相应的横坐标，列出关于k的方程，求出k.
（1）
由题意知，，所以，由勾股定理可得，
由椭圆定义可得，故
（2）
由题意知，则，联立，解得，则椭圆的标准方程为.设点，，则
由知，，即，知，即
已知直线AB的方程为，联立，解得
由，得，知
故有，解得或
由，知，故
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册圆锥曲线的方程对点专练3
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知双曲线的左 右顶点分别是，，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．3
二、多选题
7．已知点P是双曲线E：的右支上一点，，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ）
A．点P的横坐标为 B．的周长为
C．小于 D．的内切圆半径为
8．双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图象，关于此函数结论正确的有（ ）
A．是奇函数； B．的图象过点或；
C．的值域是； D．函数有两个零点．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点A作的垂线，垂足为，设，若与相交于点的面积为，则抛物线的方程为___________.
10．如图，已知P为椭圆C：上的点，点A、B分别在直线与上，点O为坐标原点，四边形为平行四边形，若平行四边形四边长的平方和为定值，则椭圆C的离心率为________．
11．已知分别为双曲线的两个焦点，上的点到原点的距离为，且，则双曲线的渐近线方程为__________．
12．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面 截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为___________.
四、解答题
13．已知椭圆，为坐标原点，右焦点坐标为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆在轴上的两个顶点为，点满足，直线交椭圆于两点，且，求此时的大小.
14．已知O为坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设C的左 右焦点分别为，，过作直线l交C于P，Q两点，若的面积为，求直线l的斜率.
15．已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第二象限，直线被圆截得的线段的长为．
（1）求直线的斜率；
（2）当时，①求该椭圆的方程；②设动点在椭圆上，若直线的斜率小于，求直线（为原点）的斜率的取值范围．
16．已知：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，已知抛物线C上一点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程．
（2）设，动直线L：与抛物线C相交于B，E两点，记直线DE和直线DB的斜率分别为，，证明：为定值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，利用两角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.
【详解】
根据双曲线的对称性不妨设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，
， ，
，
当且仅当，即当 时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，
点的坐标为，代入，可得 ，即，即 ．
所以双曲线的渐近线方程为：．
故选：C
【点睛】
方法点睛：本题考查了求双曲线渐近线方程，及利用基本不等式求最值，解题时先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c及渐近线之间的关系，求出的值即可，考查学生的计算能力和转化化归能力，属于中档题
2．C
【分析】
设直线的方程为，联立方程组求得，根据，得到，代入上式，可得，求得，即可求解.
【详解】
由题意，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，可得，
因为，即，可得，
代入上式，可得， 可得，
整理得，即，
又由，可得，即，
所以，可得，即.
故选：C.
【点睛】
设出直线的方程为，与椭圆的方程联立方程组，利用根与系数的关系，求得，结合，转化为，列出关于的方程是解答的关键.
3．B
【分析】
数形结合，设，，，依据双曲线定义可知，利用直线的倾斜角与大小相等，简单计算即可
【详解】
设圆与的三边的切点分别为，如图，
令，，，
根据双曲线的定义可得，化简得，
由此可知，在中，轴于，同理轴于，
轴过圆心作的垂线，垂足为，易知直线的倾斜角与大小相等，不妨设圆的半径，设圆的半径，则，，所以根据勾股定理，，所以，；
故选：B
【点睛】
关键点睛：得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等便于计算
4．D
【分析】
设，则，设直线l方程为，，，由得①，联立可得，由点P的任意性知，即可求得椭圆方程.
【详解】
由长轴长为4得，解得，
设，直线l方程为，，，
则，，
由得，，即，
所以①，
又P在椭圆上，所以，即，
代入①式得，即，
因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与无关，
所以，解得，
所以所求椭圆方程为．
故选：D．
【点睛】
思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
5．C
【分析】
根据条件可确定在的角平分线上，且是的内心，由向量关系式求出线段长的比，利用双曲线定义求解.
【详解】
由，，则点在的角平分线上，
由点在直线上，则是的内心，由，
由奔驰定理（已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝.）知，
,
即
则，
设，，，
则，，则.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：结合向量的的运算及意义， 求出是解题的关键，属于中档题.
6．A
【分析】
根据双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，进而得到，结合双曲线的定义可知，设，根据题意得到点N的坐标，于是得到点M的轨迹方程，最后求得答案.
【详解】
双曲线的方程为：，可得，则，设，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，则.
由题意，，由双曲线的定义：，则，于是，，即点M在以原点为圆心，2为半径的圆上，而圆心（0,0）到直线的距离为：，该直线与圆相切，则点M到该直线的距离的最大值为：2+2=4.
故选：A.
7．ABC
【分析】
由双曲线方程可得双曲线的c，运用三角形的面积公式求得P的坐标，运用两直线的夹角公式可得的范围，利用双曲线的定义，可得的周长，设的内切圆半径为r，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r．
【详解】
因为双曲线，所以，
又因为，
所以,将其代入得，即，所以选项A正确；
所以P的坐标为，由对称性可知
，由双曲线定义可知
所以的周长为:
，所以选项B正确；
可得，，
则，
则，，所以选项C正确；
因为的周长为，所以，
所以，所以选项D不正确．
故选：ABC.
8．AB
【分析】
根据双曲线的对称性得到函数的图象的对称性，利用对称性可得A正确；根据旋转后成为函数的图象可知，必定逆时针旋转或者顺时针旋转，利用双曲线与的图象关于对称或关于对称可知B正确；利用第一象限内图象上的顶点不是最低点、第三象限内图象上的顶点不是最高点，可知C错误；根据的图象位于二四象限时，的图象与直线没有交点，可知D错误.
【详解】
因为双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称，即有为奇函数，故A正确；
因为双曲线的渐近线为，的倾斜角为，
的倾斜角为，要成为函数的图象，
则必定逆时针旋转或者顺时针旋转，
由双曲线的顶点为，渐近线方程为，直线是对称轴，
当逆时针旋转时，可得的图象与双曲线关于直线对称，
双曲线的顶点关于的对称点在函数的图象上，
当顺时针旋转时，可得的图象与双曲线关于直线对称，
可得双曲线的顶点关于的对称点在函数的图象上，故B正确；
由对称性可得的图象按逆时针旋转位于—三象限；按顺时针旋转位于二四象限；
的图象按逆时针旋转位于一三象限，由图象可得第一象限内图象上的点不是最低点、
第三象限内图象上的点不是最高点，则的值域不是；
的图象按顺时针旋转位于二四象限，
由对称性可得的值域也不是，故C错误；
当的图象位于一三象限时，的图象与直线有两个交点，函数有两个零点；
当的图象位于二四象限时，的图象与直线没有交点，函数没有零点，故D错误.
故选：AB
【点睛】
关键点点睛：得出要成为函数的图象，则必定逆时针旋转或者顺时针旋转是解题关键.，
9．
【分析】
由题意得出，利用拋物线的定义求出点A的横坐标，根据相似得出，由三角形的面积公式可得结果.
【详解】
设，
又，则，
由抛物线的定义得，所以，则，
由得，即，
所以，,
所以，解得：.
故答案为：
10．
【分析】
方法一：首先设点，利用平行四边形的性质求直线和的方程，并接到点的坐标，利用两点间距离公式表示四边平方和，利用四边平方和为定值，得到，求椭圆的离心率；方法二：首先设，由平行四边形的性质得到坐标间的关系，并表示行，利用四边形性质边长平方和等于为定值，求椭圆的离心率.
【详解】
（法一）设，则直线的方程为，直线方程为，联立方程组，解得，
联立方程组，解得，
则，
又点P在椭圆上，则有，因为为定值，
则．
法二：设，由和中点相同，则，
所以
平行四边形性质边长平方和等于为定值，
又点P在椭圆上，则有，因为为定值，则．
故答案为：
【点睛】
方法点睛：本题考查椭圆离心率，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.
11．
【分析】
作出图像结合图像分析，由及正弦定理，双曲线定义可得，根据图形得，将余弦值表示出来化简即可得出得，进而得双曲线的渐近线方程.
【详解】
解：由及正弦定理可得
根据双曲线定义可得
又，所以
在中由余弦定理可得
化简得，所以，所以双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【点睛】
求解双曲线离心率、渐近线、标准方程问题策略：
（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；
（2）求渐近线时，利用转化为关于的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：；
（3）求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于的关系式，结合，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程.
12．
【分析】
设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，利用求得离心率，再利用平面几何知识求得得解
【详解】
如图，圆锥面与其内切球 分别相切与，连接，则，过作于，连接交于点，设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，在△中,
,
, ,
△△ , 解得,
,
即 , 所以椭圆离心率为
在△中
解得,
故答案为：
【点睛】
利用求得离心率是解题关键.
13．
（1）
（2）
【分析】
（1）利用椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率可求解；
（2）分析可知直线斜率存在，设为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理弦长公式可知直线的方程为，再利用，知点在以原点为圆心，半径为的圆上，利用点到直线的距离公式可判断直线与圆的位置关系，进而求解.
（1）
因为右焦点为，所以，
因为离心率，所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）
当直线垂直于轴时，（舍）.
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
由整理得，
设，由题意恒成立，
所以，，
利用弦长公式知
，解得，
所以直线的方程为.
因为为椭圆在轴上的两个顶点，不妨设，
因为，设，
所以，即，
即点在以原点为圆心，半径为的圆上.
因为原点到直线的距离，
所以直线与圆相切，
所以.
14．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据已知条件分别列出关于 的等式，解方程组可求得答案；
（2）设直线方程和椭圆方程联立，整理得根于系数的关系式，再根据的面积，将根与系数的关系代入，即可解得答案.
（1）
易知，.
因为的面积为，所以.，
又直线AB的方程为，即，
点O到直线AB的距离为，所以，
联立方程组，
解得，
所以椭圆C的方程为；
（2）
显然直线l的斜率不为0，由（1）知，
设l：，，，
联立方程组消去x，得，
由韦达定理可得，.
所以.
由，化简得，
解得，
所以直线l的斜率为.
15．
（1）
（2）①；②
【分析】
（1）由已知可得，得到，，设直线的斜率为，则的方程为，利用点到直线的距离公式及垂径定理列式求解；
（2）①由（1）得椭圆方程为，直线的方程为，联立求解坐标，再由解得，可得椭圆方程；
②设，直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立求得，解得或．设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立可得，然后对分段求解的取值范围得答案．
（1）
解：由已知可得，，
又，，，
设直线的斜率为，则的方程为，
由已知有，解得；
（2）
解：①由（1）得椭圆方程为，直线的方程为，
联立两个方程，可得，解得或，
点在第二象限，可得的坐标为，
由，解得．
椭圆方程为；
②设，直线的斜率为，得，即，
联立，得，
又由已知，得，解得或，
设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，
整理可得，
当时，有，因此，于是，
得，；
当时，有，因此，于是，
得．
综上所述，直线的斜率的取值范围是，．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力和分类讨论思想，难度较大．
16．
（1）；
（2）证明见解析.
【分析】
(1)设出抛物线C的方程，求出其准线，再利用抛物线定义计算作答.
(2)动直线L不垂直于y轴，令，将L的方程代入抛物线C的方程，借助韦达定理结合已知计算作答.
（1）
依题意，设抛物线C的方程为：，则其准线为：，
由抛物线的定义得：，解得，
抛物线C的方程：.
（2）
直线L与抛物线有两个交点B，E，显然L不垂直于y轴，令，则L的方程为：，
由消去x并整理得：，设，，
则，，因此，，，
，
所以为定值-1.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
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答案第1页，共2页高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册圆锥曲线的方程对点专练2
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为的点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知点，，若曲线上存在点P满足，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若线段的中垂线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
6．已知点F为抛物线C：的焦点，点，若点Р为抛物线C上的动点，当取得最大值时，点P恰好在以F，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，， .则下列选项正确的是（ ）
A．
B．以线段为直径的圆与直线相离
C．当时，
D．面积的取值范围为
8．已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为，（）若||+||≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为
C．函数(a＞0,a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点
D．直线x－y=0与双曲线C有两个交点
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是__________．
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
11．已知抛物线，圆与轴相切，斜率为的直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，与圆交于，两点(，两点在轴的同一侧)，若，，则的取值范围为___________.
12．已知点为椭圆上的动点，为圆的任意一条直径，则的最大值是__________．
四、解答题
13．已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为.
（1）求椭圆的标准方程﹔
（2）设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.
14．在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线的距离比到点的距离大1.圆F的方程为．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点的直线交轨迹E于M、N两点，直线OM、ON分别交圆F于A、B两点．求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．
15．如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，；，分别是椭圆的左，右顶点，短轴长为，长轴长是焦距的2倍，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点．
（1）若时，记，的面积分别为，，求的值；
（2）记直线，的斜率分别为，，是否存在常数使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
16．已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，椭圆上的一个动点M与椭圆右焦点F距离的最大值是
（1）求椭圆C的方程
（2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得x轴平分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1．A
【分析】
由抛物线定义将A到焦点的距离转化为A到准线的距离，求出A的横坐标，进而得到纵坐标，设出直线AB，代入抛物线方程利用根与系数的关系求出|y1-y2|，进而求出面积.
【详解】
抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，∴，四边形的面积，
故选：A．
2．B
【分析】
求出直线为，与椭圆方程联立求出点A、B的坐标，设点，利用的面积为，可得或与分别联立，判别解得个数，即可选出答案.
【详解】
直线关于原点对称的直线为
联立，解得或
则，，所以
又的面积为，所以边上的高为
设，则，点到直线的距离
化简得：或
联立，得，其中，故方程无解；
或，得，其中，方程有两个不同解.
即a有两个不相等的根，对应的b也有两个不等根，所以满足题意的点P的个数为2个.
故选：B
3．D
【分析】
由已知可判断点P在双曲线上，将已知转化为曲线与双曲线相交，利用直线与渐近线的位置关系可得解.
【详解】
点，，且，故点P在双曲线的下支上.
设双曲线，其中，即，，则
所以双曲线的方程为，其渐近线方程为
又点P在曲线上，即点P在曲线
即曲线与双曲线相交，，即
故选：D
4．C
【分析】
先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率．
【详解】
由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为．
设，则，
由，解得或，
∴，．
又为双曲线的左顶点，则，
∴，，，
在中，，由余弦定理得，
即，
即，
则，所以，则，
即，所以
∴．
故选：C.
【点睛】
方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
5．C
【分析】
由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率
【详解】
由题意
又
则有：
可得：，，
中，
中．
可得：
解得：
则有：
故选：C
6．D
【分析】
过点P引抛物线准线的垂线，交准线于D，根据抛物线的定义可知，记，根据题意，当最小，即直线与抛物线相切时满足题意，进而解出此时P的坐标，解得答案即可.
【详解】
如图，易知点在抛物线C的准线上，作PD垂直于准线，且与准线交于点D，记，则.
由抛物线定义可知，.由图可知，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设切线方程为，代入抛物线方程并化简得：
，，方程化为：，代入抛物线方程解得：，即，则，.
于是，椭圆的长轴长，半焦距，所以椭圆的离心率.
故选：D.
7．BCD
【分析】
求出抛物线的焦点及准线，设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理，计算可判断A；
利用定义及直线与圆的位置可判断B；由向量共线求出弦长判断C；求出点G的坐标及面积的函数式即可判断作答.
【详解】
抛物线的焦点，准线方程为，设直线l的方程为，
由消去y得：，于是得，
，A不正确；
以线段AB为直线的圆的圆心，则，点
到直线距离，
由抛物线定义得，显然，即以线段为直径的圆与直线相离，B正确；
当时，有，即，而，于是得，，C正确；
由求导得，于是得抛物线C在A处切线方程为：，即，
同理，抛物线C在B处切线方程为：，联立两切线方程解得，，
点到直线l：的距离，
于是得面积，当且仅当时取“=”，
面积的取值范围为，D正确.
故选：BCD
8．AC
【分析】
根据已知可得为定值，结合基本不等式求出的取值范围，得到t的最大值，从而取出m，逐项判断即可.
【详解】
设则，
所以，
所以，
又，
当且仅当等号成立，
又，且实数t的最大值为1，
所以，即，
所以双曲线的方程为，故A正确；
则双曲线的离心率，故B错误；
双曲线的焦点坐标为，
函数（，）的图像过定点，故C正确；
双曲线的渐近线为，而直线的斜率为，
所以直线与双曲线C有没有交点，故D错误.
故选：AC.
9．
【分析】
首先根据几何关系求得点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆周，再根据圆心到直线的距离加上半径为点到直线的距离的最大值，最后求解即可.
【详解】
由题意，延长交于一点，
由于，且为平分线,
所以，且点为线段的中点，
不妨假设点在双曲线的左支上，由于，
故,
由于分别为的中点，
所以
故点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆周，
轨迹方程为：，
点到直线的距离的最大值为原点到直线的距离加上半径2，
即，
故答案为：4.
【点睛】
本题主要考查根据几何关系求得动点的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求得最值问题，对学生的综合能力提出较高的要求，主要考查的思想方法有，数形结合，转化与划归思想等等.
10．
【分析】
由题意知：在、之间，若过作直线l垂直于B，交于A，可令求、坐标，进而可得、，应用向量共线的坐标表示，列方程得到a、c的齐次方程，即可求的范围.
【详解】
由题意，双曲线C的渐近线为，若过作直线l垂直于B，交于A，.
∵且，
∴在、之间，如上图示，令，
∴，，则，，
∴， 即，
∴，故，得，又，
∴.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：首先判断、、的位置关系，再设直线方程并求、坐标，利用向量共线的坐标表示列方程，结合已知求参数范围即可.
11．
【分析】
先求出，然后设出直线，让直线与抛物线联立，再根据向量之间的关系及韦达定理求出，再利用抛物线的定义及条件建立等式，再转化为不等式求解即可.
【详解】
由圆的方程可知，其圆心坐标为，当圆与轴相切可知，得，
所以抛物线的焦点坐标为，抛物线方程为，
设斜率为的直线方程为，设，直线与抛物线联立，
，得，
所以①，②
所以，，
而，则有，，
所以③，由①，③解得，
代入②有，变形得，
因为，所以，
所以，变形得，
解得.
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键一是先求出抛物线方程，二是运用抛物线的定义，三是解不等式.
12．
【分析】
设点，则且，计算得出，再利用二次函数的基本性质即可求得的最大值.
【详解】
解：圆的圆心为，半径长为，
设点，
由点为椭圆上的动点，可得：且，
由为圆的任意一条直径可得：
，，
，
，，
当时，取得最大值，即.
故答案为：.
13．
（1）；
（2）.
【分析】
（1）由题设有且求参数a，进而写出椭圆方程.
（2）讨论的斜率，当斜率存在时设、，联立椭圆方程结合韦达定理求关于的表达式，再由，应用数量积的坐标表示列方程求参数m，进而求线段中垂线的方程及的范围，即可确定的取值范围.
（1）
由已知条件得：，令，得，
由题意知：，解得，
∴椭圆的标准方程为，
（2）
①当直线的斜率不存在时，显然不合题意；
②当直线斜率存在时，设，
当时，此时关于y轴对称，令，
∴且，则，又，
∴，解得或(舍)，则符合题设.
∴此时有；
当时，则，得，，
设，则，得，，
且，
由，即，
∴，整理得，解得（舍去），
代入得：，
∴为，得：，
则线段的中垂线为，
∴在轴上截距，而，
∴且，
综合①②:线段的中垂线在轴上的截距的取值范围是.
【点睛】
关键点点睛：第二问，讨论直线斜率，设直线方程及交点坐标，联立椭圆方程并应用韦达定理求交点坐标与所设直线参数的表达式，再根据向量垂直的坐标表示求参数，进而确定中垂线方程及参数范围.
14．
（1）；
（2）证明见解析，定点.
【分析】
(1)根据给定条件可得动点P到直线的距离等于到点的距离，再借助抛物线定义求解作答.
(2)由(1)的结论设点M，N的坐标，并探求其关系，再求出点A，B的坐标，进而求出直线AB方程即可推理作答.
（1）
依题意，点在直线的右侧，因动点P到直线的距离比到点的距离大1，
即动点P到直线的距离等于到点的距离，则轨迹E是顶点在原点，为焦点的抛物线，方程为，
所以动点P的轨迹E的方程是：
（2）
由(1)及已知设，则，
而点M，Q，N共线，则，整理得：，又，则有，
直线，由消去x得：，解得点A纵坐标为，
从而得点，而直线，同理得点，
，
设直线AB上任意一点，则，因，又，
于是有：，
整理得：，
即，因，则直线AB方程为：，
显然无论取何值，当时，恒有，即直线AB过定点，
所以直线AB过定点，该定点坐标为
【点睛】
思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，可先探求这两个动点的坐标，再求出直线方程，即可推理计算解决问题.
15．
（1）；
（2）存在，.
【分析】
（1）根据题意可得到，，结合，即可求出椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；然后利用韦达定理求出的值即可.
（1）
因为短轴长为，即，所以，
又因为长轴长是焦距的2倍，即，因为，所以，，
所以椭圆的标准方程为．
设点，，，，且，，
因为，所以的方程为，
联立，得，所以，
又，
因为，所以．
（2）
假设存在常数，使成立，设直线的方程为，，，
由，消去，得，
，，
又
，
所以，故．
16．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据题意可得椭圆的离心率，再根据的最大值为，求出，即可得出答案；
（2）根据题意可设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求得，当x轴平分时，即为，从而可求出答案.
（1）
解：等轴双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，
即，所以，
当为左顶点时，与右焦点F距离最大，
此时，
所以，所以，
所以椭圆方程为；
（2）
解：假设存在P满足题意，，
根据题意可设直线的方程为：，，，
联立，消得：，
则，
当x轴平分时，，即，
即，
即，
即，
即，
所以，
所以，
即存在点.
【点睛】
本题考查了椭圆和双曲线的性质，考查了直线与椭圆的位置关系，还考查了存在性问题及定值问题，考查了转化思想和计算能力，有一定的难度.
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第I卷（选择题）
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一、单选题
1．如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点，分别是双曲线：(，)的左，右焦点，过点且与直线：垂直的直线交的右支于点，设直线上一点(在第二象限)满足，且，则双曲线的离心率的值为（ ）
A． B． C． D．2
3．已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，若直线的斜率为，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若，，三点共线，则
C．若直线与的斜率之积为，则直线过点
D．若，则的中点到轴距离的最小值为2
8．设抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为6
C．存在直线，使得、两点关于对称
D．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设、为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；
②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆；
③抛物线的焦点坐标是；
④曲线与曲线（且）有相同的焦点.
其中真命题的序号为______写出所有真命题的序号.
10．已知双曲线:（，）的左右焦点分别为，，点在的左支上，交的右支于点，，，则的离心率为______．
11．设、分别为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是________.
12．设是椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线的渐近线的方程是_______
四、解答题
13．已知椭圆的焦距为4，其左 右顶点为，点为其上一动点，且的面积最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若为曲线上异于的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行.点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，是否存在直线与直线平行？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
14．已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
（1）求C的标准方程；
（2）若C的左、右顶点分别为A，B，过C的右焦点F的直线交C于M，N两点，问：直线AM与直线BN的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
15．已知椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上任意两点，为坐标原点，且以为直径的圆经过原点，求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值．
16．已知椭圆的左右焦点分别为，，其离心率为，P为椭圆C上一动点，面积的最大值为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在定点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
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参考答案
1．D
【分析】
根据给定条件结合直角三角形内切圆半径与边长的关系求出双曲线实半轴长a，再利用离心率公式计算作答.
【详解】
依题意，，的内切圆半径，由直角三角形内切圆性质知：
，由双曲线对称性知，，
于是得，即，又双曲线半焦距c=2，
所以双曲线的离心率.
故选：D
【点睛】
结论点睛：二直角边长为a，b，斜边长为c的直角三角形内切圆半径.
2．A
【分析】
设直线的方程为，设，，由化为数量积为0得，再根据可得，从而得，代入双曲线方程即可求解离心率．
【详解】
由题意可知，设直线的方程为，则设，，
因为，，且，所以，
即，解得，所以，所以，
，，则
，即
，解得，所以，
因为点在双曲线上，所以代入双曲线方程可得，，即，解得，，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键在于利用数量积为0建立坐标方程式求得参数，从而求得离心率．
3．A
【分析】
根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于a,b,c的方程，从而可求得双曲线的离心率得选项.
【详解】
由题意可设右焦点为，因为，且圆：，所以点在以焦距为直径的圆上，则，
设的中点为点，则为的中位线，所以，则，又点在渐近线上，
所以，且，则，，所以，所以，
则在中，可得，，即，解得，所以，
故选：A．
【点睛】
方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
4．A
【分析】
由已知得，设，，，求得，，进而得到，从而求得，利用，求点坐标，代入抛物线方程即可求解.
【详解】
由题意可知过所作圆的两条切线关于直线对称，所以，
设，，，则，
同理可得，，
则，得，得，
所以，故，
将代入抛物线方程，得，得，故抛物线方程为．
故选：A
【点睛】
结论点睛：本题考查圆的切线的对称性，及抛物线的性质，有关抛物线的重要结论：过抛物线上任意一点（不与原点重合）作两条倾斜角互补的直线，分别交抛物线于点，，连接，则．
5．C
【分析】
利用双曲线的定义和性质得到，由渐近线方程得到渐近线的斜率，当时，利用余弦定理和面积公式，通过面积相等的两种不同求法，建立关系，最终求出k的范围.
【详解】
焦点在x上
焦点坐标为
由双曲线的对称性可得
又
又
又
而
当时，整理得
又
又的渐近线方程为
又
k的取值范围为
故选：C
6．C
【分析】
实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.
【详解】
因为实数，满足，
所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的椭圆的一部分（含点），
当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，
当时，其图象是位于第二象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，
当时，其图象不存在，
作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：
任意一点到直线的距离
所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，
双曲线，其中一条渐近线与直线平行
通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，
设与其图像在第一象限相切于点，
由
因为或（舍去）
所以直线与直线的距离为
此时，
所以的取值范围是．
故选：C．
7．BCD
【分析】
根据抛物线的标准方程，求得焦点的坐标，可判定A错误；设直线的方程为，根据韦达定理和向量的运算，可判定B正确；设直线的方程为，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C、D正确.
【详解】
由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；
设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
所以，故B正确；
设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
因为直线与的斜率之积为，即，可得，解得，
所以直线的方程为，即直线过点，故C正确；
因为，
所以，所以，
因为，
所以的中点到轴的距离：
，当且仅当时等号成立，
所以的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确，
综上所述，正确命题为BCD.
故选：BCD.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
8．BD
【分析】
根据得到故，错误，，正确，计算中点在抛物线上，错误，计算，正确，得到答案.
【详解】
，故，，故，错误；
过作垂直于准线于，则，当共线时等号成立，故正确；
设，，设中点则，，
相减得到，即，故，故，点在抛物线上，不成立，故不存在，错误；
如图所示：为中点，故，故为直径的圆与轴相切，故正确；
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线方程，最值，对称，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力，综合应用能力.
9．③④
【分析】
根据双曲线的定义判断①，根据相关点法求轨迹方程判断②，根据抛物线焦点的求法判断③，根据椭圆、双曲线的几何性质判断④.
【详解】
①，当时，点的轨迹不存在，所以①错误.
②，设，由于，所以，是线段的中点，所以，设圆的方程为，将的坐标代入圆的方程得，整理得，这不是椭圆方程，所以②错误.
③，由得，所以抛物线焦点坐标为，③正确.
④，表示双曲线，其焦点在轴上，且.当时，可化为，表示双曲线，其焦点在轴上，且.当时，表示椭圆，其焦点在轴上，且.所以④正确.
故答案为：③④
10．
【分析】
设AB的中点为M，由，得到，进而得到，再由，得到，设，由双曲线的定义，联立求得进而得到，， 由求解.
【详解】
如图所示：
设AB的中点为M，
所以，
又，
所以，
所以，
，
因为M为AB的中点，且
所以，
设，由双曲线的定义得，
又，
所以，
所以，
所以，，
因为，
所以，即，
解得.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题关键是由，得到是正三角形，再利用双曲线的定义进而得解.
11．
【分析】
本题首先可根据题意绘出椭圆和双曲线图像，然后设、，结合椭圆定义和双曲线定义得出、，再然后根据得出，进而得出，最后根据即可求出离心率的取值范围.
【详解】
如图，绘出椭圆和双曲线图像：
设，，
由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，
解得，，
因为，所以，
即，由离心率的公式可得，
因为，所以，
即，解得，
因为，所以，，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查离心率的相关计算，主要考查椭圆定义和双曲线定义的应用，椭圆中有，双曲线中有，离心率计算公式为，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
12．
【分析】
根据题意，设焦距为，P为第二象限的点，由已知条件结合椭圆与双曲线的定义推出，运用离心率公式和基本不等式求出离心率之积的最小值，及取得最值的条件，可得，进而求得渐近线的方程.
【详解】
由椭圆与双曲线的对称性，可设P为第二象限的点，如图所示，
根据题意，椭圆的长轴长为，双曲线的长轴长为，设焦距为
由椭圆定义知，；由双曲线定义知，
联立可知：，
又，由余弦定理可得：
即，化简得：，即
又椭圆的离心率，双曲线的离心率，
则，
当且仅当，即时，等号成立，即两条曲线的离心率之积最小.
由，得，又，可知，即
故双曲线的渐近线方程：
故答案为：
【点睛】
关键点睛：本题考查椭圆和双曲线的定义与性质，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
13．
（1）；
（2）不存在，理由见解析.
【分析】
（1）由题可得，即求；
（2）由题设直线的方程为，利用韦达定理可得，，设，利用条件可得，进而可得直线的方程为，即得，即得结论.
（1）
依题意：，又，
解得，
椭圆的标准方程.
（2）
设，直线的方程为，
与椭圆方程联立，得，
则，
由根与系数的关系得，，
由题知，，设，
由三点共线得，由三点共线得，
则
所以的斜率，则直线的方程为.
若，由则，
可得，则无解，
故直线不存在.
14．
（1）
（2）是，定值
【分析】
(1)根据双曲线渐近线方程，得到a,b的比值，再将代入方程中，联立解得a,b,可得双曲线方程；
(2)根据题意设直线方程，和双曲线方程联立，整理得根与系数的关系式，代入到两直线AM与直线BN的斜率之比的表达式中，化简整理可得结果.
（1）
由题意可得，解得，
所以C的标准方程为．
（2）
易知，，．
当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，
联立方程，消去x整理得，
则，解得，
∴，，
分别记直线AM，BN的斜率为，，则，，
∴，又，
∴，即为定值．
即直线AM与直线BN的斜率之比为定值．
15．
（1）
（2）证明见解析，定值为
【分析】
（1）根据题意得到，，得到椭圆方程.
（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，将题目转化为，化简得到，代入计算得到答案.
（1）
椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为，
故，，故椭圆方程为.
（2）
当直线斜率存在时，设直线方程为，，，
则，即，，
以为直径的圆经过原点，故，
即，即，
化简整理得到：，
原点到直线的距离为.
当直线斜率不存在时，为等腰直角三角形，设，则，
解得，即直线方程为，到原点的距离为.
综上所述：原点到直线的距离为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将圆过原点转化为是解题的关键.
16．
（1）；
（2）存在，.
【分析】
(1)设出椭圆C的半焦距，根据离心率及三角形面积列出方程组求解即得.
(2)当直线l斜率存在时，设出直线l的方程，再与椭圆C的方程联立，设出点Q坐标，
借助韦达定理计算探讨即可得解，然后讨论直线l斜率不存在的情况作答.
（1）
设椭圆C的半焦距为c，因离心率为，则，由椭圆性质知，椭圆短轴的端点到直线的距离最大，
则有，于是得，又，联立解得，
所以椭圆C的方程为：.
（2）
由(1)知，点，
当直线斜率存在时，不妨设，，，
由消去y并整理得，，，，
假定在x轴上存在定点Q满足条件，设点，
则
，
当，即时，，
当直线l斜率不存在时，直线l：与椭圆C交于点A，B，由对称性不妨令，
当点坐标为时，，，
所以存在定点，使得为定值.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
答案第1页，共2页
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