人教版八年级下册第十六章小结与复习 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
第十六章 二次根式
小结与复习
思维导图
考试说明要求
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.
2. 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算.
1．二次根式的概念
一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式.
对于二次根式的理解：
①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0.
[易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义.
2．二次根式的性质:
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次
根式．
(1)被开方数不含_______；
(2)被开方数中不含能___________的因数或因式．
开得尽方
分母
4．二次根式的乘除法则：
乘法： ＝______(a≥0，b≥0)；
除法： ＝____(a≥0，b>0)．
可以先将二次根式化成_____________，再将________________的二次根式进行合并．
被开方数相同
最简二次根式
5．二次根式的加减：
类似合并同类项
逆用也适用.
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
6．二次根式的混合运算
有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
考点一 二次根式有意义的条件及性质
例1 使代数式 有意义的x的取值范围是
.
x≥ 且x≠3
【解析】分别求出使分式、二次根式有意义的x的取值范围，再求出它们解集的公共部分.根据题意，有3-x≠0，2x-1≥0，解得
x≥ 且x≠3.
方法总结
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零.
1.下列各式： 中，一定是二次根式的个数有 （ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
B
对照练习
2.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A.x≥3 B.x≤3 C.x>3 D.x<3
A
3.若 则（ ）
A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
A
对照练习
例2 若 求 的值.
解：∵
∴x-1=0,3x+y-1=0,解得x=1,y=-2.
则
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为0.
考点二 二次根式的性质
4.若 求 的值.
解：∵
∴x-2=0, =0,解得x=2,y=4,
则 =
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为0.
对照练习
考点三 二次根式的化简及运算
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，
请化简：
b
a
0
解：由数轴可以确定a<0,b>0
所以
所以原式=-a-(-a)+b=b.
【解析】化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
初中阶段主要涉及三种非负数： ≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.
方法总结
6.若12
5.若实数a,b满足 则 .
1
7.将下列各数写成一个非负数的平方的形式：
对照练习
考点三 二次根式的运算及应用
例4 计算：
解：
方法总结
二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和乘法公式简化运算.
5.计算： .
-6
例5 计算：
解：原式
【解析】：先算乘方，再算乘除，最后算加减.
对照练习
考点四 二次根式的实际应用
　　例6 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面　　
积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示
叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这
个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解：
10. 计算：
解：(1)原式
(2)原式
8.下列运算正确的是 （　　）
C
9. 若等腰三角形底边长为 ，底边的高为
则三角形的面积为 .
对照练习
例7 先化简，再求值： ，其中
.
解：
当 时，
原式
解析：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可.
考点五 二次根式的化简求值
11. 先化简，再求值： ,其中
解：原式
当 时，
原式
对照练习
例8 有这样一道题：“计算 的值，其中x=2018”.小卿把“x=2018”错抄成“x=2081” ，但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？
解：∵
∴无论x取何值，原式的值都为-2.
考点六 本章解题思想方法
分类讨论思想
例9 已知a是实数，求 的值.
解： 分三种情况讨论：
当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3;
当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)= 2a+1;
当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3.
整体思想
例10 已知 ，求 的值.
解：∵
∴
类比思想
例11 阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 ，
用含m、n的式子分别表示a，b，得
a=_______;b=______;
(2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：
(3)请化简：
m2+3n2
2mn
解：
感谢您的聆听