27.2 相似三角形 同步练习（含解析）
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人教版九年级下 27.2相似三角形同步练习
一．选择题
1．（2021秋 海口期末）如图，l1∥l2∥l3，若2AB＝3BC，DF＝6，则DE等于（ ）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．4
2．（2021秋 惠安县期末）如图，点P在△ABC的边AB上，要判断△ACP∽△ABC，添加一个条件错误的是（ ）
A．∠APC＝∠ACB B．∠ACP＝∠B C． D．
3．（2021秋 宝山区期末）下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（ ）
A．B． C． D．
4．（2021秋 上蔡县期末）已知△ABC∽△DEF，AB与DE的长度比为2：1，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．16
5．（2021秋 上城区期末）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2021秋 建华区期末）如图，M为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CMD＝∠A＝∠B，BC交MD于F，AD交MC于G，则图中相似三角形有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
7．（2021秋 孟津县期末）如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．甲与丙相似，乙与丁相似 B．甲与丙相似，乙与丁不相似
C．甲与丙不相似，乙与丁相似 D．甲与丙不相似，乙与丁不相似
8．（2021秋 鄞州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是BC的三等分点，则EP：PQ：DQ＝（ ）
A．1：1：2 B．3：2：5 C．5：3：12 D．4：3：9
9．（2021秋 南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ）
A．4 B． C． D．5
10．（2021秋 余杭区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（ ）
A．S3＝S1+S2 B．S3＝2 C．S3＝ D．＝+
二．填空题
11．（2021秋 蜀山区期末）如图，D是△ABC边AB延长线上一点，请添加一个条件： ，使△ACD∽△ABC．
12．（2021秋 兰考县期末）两个相似三角形的相似比为，较大三角形的周长是8；较小三角形的面积是6，则较大三角形的面积是 ；较小三角形的周长是 ．
13．（2021秋 三水区期末）如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为 m．
14．（2021秋 锦州期末）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝15，D为BC上一点，且BD＝BC，在AB边上取一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则BE＝ ．
15．（2021秋 黄浦区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝ ．
16．（2021秋 达川区期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F，若△BEF的面积为1，则正方形ABCD的面积为 ．
三．解答题
17．（2021秋 长春期末）如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长．
18．（2021秋 浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若＝，求的值．
19．（2021秋 瓯海区月考）如图，在5×5的方格纸中，已知格点△ABC，请按要求画图．
（1）在图1画一个格点△DEF，使△DEF与△ABC相似，且△DEF与△ABC的周长比是2．
（2）在图2画一个格点△MNL，使△MNL与△ABC相似，且△MNL与△ABC的面积比是2．
20．（2021秋 瑞安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，连接AD，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，点F是上一点，且△ADF∽△ABC，连接AF，DF．
（1）求证：＝．
（2）当E为AB中点时，AF＝，AC＝2，求BC的长度．
21．（2021秋 麦积区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
22．（2021秋 阜南县月考）一块直角三角形木板，一直角边BC长75cm，另一直角边AC长100cm，要把它加工成面积最大的正方形棋盘，小明、小亮二人的加工方法分别如图1、图2所示，请运用所学知识说明谁的加工方法得到的正方形面积较大．
23．（2021秋 萧山区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝2，BD＝3，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 海口期末）如图，l1∥l2∥l3，若2AB＝3BC，DF＝6，则DE等于（ ）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．4
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，2AB＝3BC，
∴＝＝，
∴＝，
∵DF＝6，
∴DE＝＝3.6，
故选：C．
2．（2021秋 惠安县期末）如图，点P在△ABC的边AB上，要判断△ACP∽△ABC，添加一个条件错误的是（ ）
A．∠APC＝∠ACB B．∠ACP＝∠B C． D．
【解析】解：A、∵∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，故此选项不符合题意；
B、∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，故此选项不符合题意；
C、∵，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，故此选项不符合题意；
D、两组边对应成比例的两个三角形不一定相似，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（2021秋 宝山区期末）下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（ ）
A．B． C． D．
【解析】解：设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，
A．三角形的三边的长度分别为：＝2，2，4，
∵＝，＝，＝，
∴＝＝，所以与格点△ABC相似，故本选项符合题意；
B．三角形的三边的长度分别为：2，＝，＝3，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
C．三角形的三边的长度分别为：＝，＝，3，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
D．三角形的三边的长度分别为：＝，＝3，＝2，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（2021秋 上蔡县期末）已知△ABC∽△DEF，AB与DE的长度比为2：1，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．16
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，AB与DE的长度比为2：1，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1，
∵△ABC的面积为16，
∴△DEF的面积为16×＝4，
故选：A．
5．（2021秋 上城区期末）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m；
∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠F，
∴△EDC∽△CDF，
∴＝，即DC2＝ED FD＝2×8＝16，
解得CD＝4m．
故选：B．
6．（2021秋 建华区期末）如图，M为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CMD＝∠A＝∠B，BC交MD于F，AD交MC于G，则图中相似三角形有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【解析】解：∵∠CMD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△MCF∽△BCM，
∵∠CMD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△AMD∽△MGD，
∵∠CMD＝∠A＝∠B，∠AMG＝∠B+∠C，∠BFM＝∠CMD+∠C，
∴∠AMG＝∠BFM，
∴△AMG∽△BFM．
故选：B．
7．（2021秋 孟津县期末）如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．甲与丙相似，乙与丁相似 B．甲与丙相似，乙与丁不相似
C．甲与丙不相似，乙与丁相似 D．甲与丙不相似，乙与丁不相似
【解析】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，
即，
而∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∵，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD．
故选：A．
8．（2021秋 鄞州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是BC的三等分点，则EP：PQ：DQ＝（ ）
A．1：1：2 B．3：2：5 C．5：3：12 D．4：3：9
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E、F是BC的三等分点，
∴AD＝BC＝3BE＝3EF＝3CF，
∵AD∥BC，
∴△AQD∽△CQE，△APD∽△FPE，
∴＝，，
设DQ＝3x，EQ＝2x，则DE＝5x，
∴DP＝，EP＝，
∴PQ＝EQ﹣EP＝2x﹣，
∴EP：PQ：DQ＝5：3：12，
故选：C．
9．（2021秋 南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ）
A．4 B． C． D．5
【解析】解：∵EF⊥FG，
∴∠EFB+∠GFC＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
∴∠GFC+∠FGC＝90°，
∴∠EFB＝∠FGC，
∴△EFB∽△FGC，
∴，
∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，
∴，
∴CG＝4，
同理可得△DAE∽△EBF，
∴，
∴，
∴AE＝，
∴BA＝AE+BE＝+3＝，
∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．
故选：B．
10．（2021秋 余杭区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（ ）
A．S3＝S1+S2 B．S3＝2 C．S3＝ D．＝+
【解析】解：设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，
∵EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴BD＝EF＝b，
∵DF∥BC，EF∥AB，
∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，
∴△ADF∽△FEC，
∴＝＝（）2＝，
∵S1＝ah，
∴S2＝，
∴S1S2＝，
∴bh＝2，
∵S3＝bh，
∴S3＝2．
故选：B．
二．填空题
11．（2021秋 蜀山区期末）如图，D是△ABC边AB延长线上一点，请添加一个条件： ∠ACD＝∠ABC或∠ACB＝∠D或 ，使△ACD∽△ABC．
【解析】解：添加：∠ACD＝∠ABC．
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD．
添加：∠ACB＝∠D．
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠D，
∴△ABC∽△ACD．
添加：．
∵∠A＝∠A，，
∴△ABC∽△ACD．
故答案为：∠ACD＝∠ABC或∠ACB＝∠D或．
12．（2021秋 兰考县期末）两个相似三角形的相似比为，较大三角形的周长是8；较小三角形的面积是6，则较大三角形的面积是 9 ；较小三角形的周长是 8 ．
【解析】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴周长的比等于，面积的比等于3：2，
∵较大三角形的周长是8；较小三角形的面积是6，
∴则较大三角形的面积是9；较小三角形的周长是8，
故答案为：9，8．
13．（2021秋 三水区期末）如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为 6.4 m．
【解析】解：由题意可得：∠EBA＝∠DBC，∠EAB＝∠DCB，
故△EAB∽△DCB，
则＝，
∵AB＝2m，BC＝8m，AE＝1.6m，
∴＝，
解得：DC＝6.4，
故答案为：6.4．
14．（2021秋 锦州期末）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝15，D为BC上一点，且BD＝BC，在AB边上取一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则BE＝ 4或 ．
【解析】解：∵△BDE∽△BCA或△BDE∽△BAC，
∴或，
∵BD＝BC，BC＝15，
∴BD＝5，
∵AB＝12，
∴或，
解得：BE＝4或．
故答案为：4或．
15．（2021秋 黄浦区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝ ．
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝3﹣1＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠D，
∴△CDE∽△BAD，
∴＝，即＝，
∴CE＝．
故答案为：．
16．（2021秋 达川区期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F，若△BEF的面积为1，则正方形ABCD的面积为 24 ．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴△EBF∽△EDA，
∵点E是OB的中点
∴OB＝2BE，
∴DE：BE＝3：1，
∴＝3，
∴＝9，
∵△BEF的面积为1，
∴S△AED＝9，S△AEB＝3S△BEF＝3，
∴S△ABD＝S△AED+S△AEB＝9+3＝12，
∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝2×12＝24．
故答案为：24．
三．解答题
17．（2021秋 长春期末）如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长．
【解析】（1）证明：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCE；
（2）解：∵点D是BC的中点，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
在Rt△BEC中，
∵CE＝6，BE＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴CD＝BC＝5，
∵△ACD∽△BCE，
∴，
∴AD＝，
∴AC＝＝＝，
∴AB＝AC＝．
18．（2021秋 浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若＝，求的值．
【解析】（1）证明：∵∠ADE＝∠DAE，∠B＝∠ADE，
∴△BAC∽△DAE，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE；
（2）解：∵△ABD∽△ACE，
∴，
∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，
∴＝，
∴＝ ＝＝3，
∵△ADF∽△ECF，
∴＝＝3．
19．（2021秋 瓯海区月考）如图，在5×5的方格纸中，已知格点△ABC，请按要求画图．
（1）在图1画一个格点△DEF，使△DEF与△ABC相似，且△DEF与△ABC的周长比是2．
（2）在图2画一个格点△MNL，使△MNL与△ABC相似，且△MNL与△ABC的面积比是2．
【解析】解：（1）如图所示，△DEF即为所求．
（2）如图所示，△MNL即为所求．
20．（2021秋 瑞安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，连接AD，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，点F是上一点，且△ADF∽△ABC，连接AF，DF．
（1）求证：＝．
（2）当E为AB中点时，AF＝，AC＝2，求BC的长度．
【解析】（1）证明：∵△ADF∽△ABC，
∴∠BAC＝∠DAF，
∴∠CAD+∠BAD＝∠BAD+∠EAF，
∴∠CAD＝∠EAF，
∴；
（2）解：连接DE，
∵＝，
∴DF＝CE，
∵E为AB中点，
∴CE＝AE＝BE＝AB，
∴DF＝AB，
∵△ADF∽△ABC，
∴＝，
∵AF＝，AC＝2，
∴＝，
设DF＝x，BC＝4x，
∴AB＝2x，
在Rt△ABC中：AC2+BC2＝AB2，
∴4+16x2＝20x2，
解得x＝±1（负值舍去），
∴BC＝4．
21．（2021秋 麦积区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
由题意得BM＝3 tcm，CN＝2tcm，
∴BN＝（8﹣2t）cm．
当△BMN∽△BAC时，＝，即＝，
解得：t＝；
当△BMN∽△BCA时，＝，即＝，
解得：t＝，
综上所述，△BMN与△ABC相似时，t的值为或；
（2）如图，过点M作MD⊥CB于点D，
∴∠BDM＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDM∽△BCA，
∴＝＝，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，BA＝10cm，BM＝3tcm，
∴DM＝tcm，BD＝tcm，
∴CD＝（8﹣t）cm，
∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，
∴∠CAN+∠ACM＝90°，∠MCD+∠ACM＝90°，
∴∠CAN＝∠MCD．
∵MD⊥CB，
∴∠MDC＝∠ACB＝90°，
∴△CAN∽△DCM，
∴＝，即＝，
解得：t＝．
22．（2021秋 阜南县月考）一块直角三角形木板，一直角边BC长75cm，另一直角边AC长100cm，要把它加工成面积最大的正方形棋盘，小明、小亮二人的加工方法分别如图1、图2所示，请运用所学知识说明谁的加工方法得到的正方形面积较大．
【解析】解：设图1加工桌面长xcm，过点C作CM⊥AB，垂足为M，与GF相交于点N，
∵BC＝75cm，AC＝100cm，
∴BA＝＝＝125（cm），
∵S△ACB＝AB MC，
∴CM＝＝＝60（cm），
∵GF∥DE，
∴△CGF∽△CAB，
∴，
∴．
∴．
∴x＝；
设图2加工桌面长ycm，
∵FD∥BC，
∴Rt△AFD∽Rt△ACB，
∴，
，
解得y＝，
∵，
∴图2加工方法得到的正方形面积较大．
23．（2021秋 萧山区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝2，BD＝3，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．
【解析】解：（1）∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG∽△BDA，
∴，即＝，
∴BG＝，
∴DG＝BD﹣BG＝3﹣＝；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG，
∴△ADG∽△EBG，
∴＝（）2＝k2，＝＝k，
∴S1＝k2S，
∵＝＝k，
∴S△ABG＝，
∵△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，
∴的最大值为．
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人教版九年级下 27.2相似三角形同步练习
一．选择题
1．（2021秋 海口期末）如图，l1∥l2∥l3，若2AB＝3BC，DF＝6，则DE等于（ ）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．4
2．（2021秋 惠安县期末）如图，点P在△ABC的边AB上，要判断△ACP∽△ABC，添加一个条件错误的是（ ）
A．∠APC＝∠ACB B．∠ACP＝∠B C． D．
3．（2021秋 宝山区期末）下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（ ）
A．B． C． D．
4．（2021秋 上蔡县期末）已知△ABC∽△DEF，AB与DE的长度比为2：1，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．16
5．（2021秋 上城区期末）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2021秋 建华区期末）如图，M为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CMD＝∠A＝∠B，BC交MD于F，AD交MC于G，则图中相似三角形有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
7．（2021秋 孟津县期末）如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．甲与丙相似，乙与丁相似 B．甲与丙相似，乙与丁不相似
C．甲与丙不相似，乙与丁相似 D．甲与丙不相似，乙与丁不相似
8．（2021秋 鄞州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是BC的三等分点，则EP：PQ：DQ＝（ ）
A．1：1：2 B．3：2：5 C．5：3：12 D．4：3：9
9．（2021秋 南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ）
A．4 B． C． D．5
10．（2021秋 余杭区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（ ）
A．S3＝S1+S2 B．S3＝2 C．S3＝ D．＝+
二．填空题
11．（2021秋 蜀山区期末）如图，D是△ABC边AB延长线上一点，请添加一个条件： ，使△ACD∽△ABC．
12．（2021秋 兰考县期末）两个相似三角形的相似比为，较大三角形的周长是8；较小三角形的面积是6，则较大三角形的面积是 ；较小三角形的周长是 ．
13．（2021秋 三水区期末）如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为 m．
14．（2021秋 锦州期末）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝15，D为BC上一点，且BD＝BC，在AB边上取一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则BE＝ ．
15．（2021秋 黄浦区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝ ．
16．（2021秋 达川区期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F，若△BEF的面积为1，则正方形ABCD的面积为 ．
三．解答题
17．（2021秋 长春期末）如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长．
18．（2021秋 浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若＝，求的值．
19．（2021秋 瓯海区月考）如图，在5×5的方格纸中，已知格点△ABC，请按要求画图．
（1）在图1画一个格点△DEF，使△DEF与△ABC相似，且△DEF与△ABC的周长比是2．
（2）在图2画一个格点△MNL，使△MNL与△ABC相似，且△MNL与△ABC的面积比是2．
20．（2021秋 瑞安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，连接AD，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，点F是上一点，且△ADF∽△ABC，连接AF，DF．
（1）求证：＝．
（2）当E为AB中点时，AF＝，AC＝2，求BC的长度．
21．（2021秋 麦积区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
22．（2021秋 阜南县月考）一块直角三角形木板，一直角边BC长75cm，另一直角边AC长100cm，要把它加工成面积最大的正方形棋盘，小明、小亮二人的加工方法分别如图1、图2所示，请运用所学知识说明谁的加工方法得到的正方形面积较大．
23．（2021秋 萧山区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝2，BD＝3，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 海口期末）如图，l1∥l2∥l3，若2AB＝3BC，DF＝6，则DE等于（ ）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．4
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，2AB＝3BC，
∴＝＝，
∴＝，
∵DF＝6，
∴DE＝＝3.6，
故选：C．
2．（2021秋 惠安县期末）如图，点P在△ABC的边AB上，要判断△ACP∽△ABC，添加一个条件错误的是（ ）
A．∠APC＝∠ACB B．∠ACP＝∠B C． D．
【解析】解：A、∵∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，故此选项不符合题意；
B、∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，故此选项不符合题意；
C、∵，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，故此选项不符合题意；
D、两组边对应成比例的两个三角形不一定相似，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（2021秋 宝山区期末）下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（ ）
A．B． C． D．
【解析】解：设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，
A．三角形的三边的长度分别为：＝2，2，4，
∵＝，＝，＝，
∴＝＝，所以与格点△ABC相似，故本选项符合题意；
B．三角形的三边的长度分别为：2，＝，＝3，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
C．三角形的三边的长度分别为：＝，＝，3，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
D．三角形的三边的长度分别为：＝，＝3，＝2，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（2021秋 上蔡县期末）已知△ABC∽△DEF，AB与DE的长度比为2：1，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．16
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，AB与DE的长度比为2：1，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1，
∵△ABC的面积为16，
∴△DEF的面积为16×＝4，
故选：A．
5．（2021秋 上城区期末）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m；
∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠F，
∴△EDC∽△CDF，
∴＝，即DC2＝ED FD＝2×8＝16，
解得CD＝4m．
故选：B．
6．（2021秋 建华区期末）如图，M为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CMD＝∠A＝∠B，BC交MD于F，AD交MC于G，则图中相似三角形有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【解析】解：∵∠CMD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△MCF∽△BCM，
∵∠CMD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△AMD∽△MGD，
∵∠CMD＝∠A＝∠B，∠AMG＝∠B+∠C，∠BFM＝∠CMD+∠C，
∴∠AMG＝∠BFM，
∴△AMG∽△BFM．
故选：B．
7．（2021秋 孟津县期末）如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．甲与丙相似，乙与丁相似 B．甲与丙相似，乙与丁不相似
C．甲与丙不相似，乙与丁相似 D．甲与丙不相似，乙与丁不相似
【解析】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，
即，
而∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∵，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD．
故选：A．
8．（2021秋 鄞州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是BC的三等分点，则EP：PQ：DQ＝（ ）
A．1：1：2 B．3：2：5 C．5：3：12 D．4：3：9
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E、F是BC的三等分点，
∴AD＝BC＝3BE＝3EF＝3CF，
∵AD∥BC，
∴△AQD∽△CQE，△APD∽△FPE，
∴＝，，
设DQ＝3x，EQ＝2x，则DE＝5x，
∴DP＝，EP＝，
∴PQ＝EQ﹣EP＝2x﹣，
∴EP：PQ：DQ＝5：3：12，
故选：C．
9．（2021秋 南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ）
A．4 B． C． D．5
【解析】解：∵EF⊥FG，
∴∠EFB+∠GFC＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
∴∠GFC+∠FGC＝90°，
∴∠EFB＝∠FGC，
∴△EFB∽△FGC，
∴，
∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，
∴，
∴CG＝4，
同理可得△DAE∽△EBF，
∴，
∴，
∴AE＝，
∴BA＝AE+BE＝+3＝，
∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．
故选：B．
10．（2021秋 余杭区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（ ）
A．S3＝S1+S2 B．S3＝2 C．S3＝ D．＝+
【解析】解：设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，
∵EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴BD＝EF＝b，
∵DF∥BC，EF∥AB，
∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，
∴△ADF∽△FEC，
∴＝＝（）2＝，
∵S1＝ah，
∴S2＝，
∴S1S2＝，
∴bh＝2，
∵S3＝bh，
∴S3＝2．
故选：B．
二．填空题
11．（2021秋 蜀山区期末）如图，D是△ABC边AB延长线上一点，请添加一个条件： ∠ACD＝∠ABC或∠ACB＝∠D或 ，使△ACD∽△ABC．
【解析】解：添加：∠ACD＝∠ABC．
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD．
添加：∠ACB＝∠D．
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠D，
∴△ABC∽△ACD．
添加：．
∵∠A＝∠A，，
∴△ABC∽△ACD．
故答案为：∠ACD＝∠ABC或∠ACB＝∠D或．
12．（2021秋 兰考县期末）两个相似三角形的相似比为，较大三角形的周长是8；较小三角形的面积是6，则较大三角形的面积是 9 ；较小三角形的周长是 8 ．
【解析】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴周长的比等于，面积的比等于3：2，
∵较大三角形的周长是8；较小三角形的面积是6，
∴则较大三角形的面积是9；较小三角形的周长是8，
故答案为：9，8．
13．（2021秋 三水区期末）如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为 6.4 m．
【解析】解：由题意可得：∠EBA＝∠DBC，∠EAB＝∠DCB，
故△EAB∽△DCB，
则＝，
∵AB＝2m，BC＝8m，AE＝1.6m，
∴＝，
解得：DC＝6.4，
故答案为：6.4．
14．（2021秋 锦州期末）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝15，D为BC上一点，且BD＝BC，在AB边上取一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则BE＝ 4或 ．
【解析】解：∵△BDE∽△BCA或△BDE∽△BAC，
∴或，
∵BD＝BC，BC＝15，
∴BD＝5，
∵AB＝12，
∴或，
解得：BE＝4或．
故答案为：4或．
15．（2021秋 黄浦区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝ ．
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝3﹣1＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠D，
∴△CDE∽△BAD，
∴＝，即＝，
∴CE＝．
故答案为：．
16．（2021秋 达川区期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F，若△BEF的面积为1，则正方形ABCD的面积为 24 ．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴△EBF∽△EDA，
∵点E是OB的中点
∴OB＝2BE，
∴DE：BE＝3：1，
∴＝3，
∴＝9，
∵△BEF的面积为1，
∴S△AED＝9，S△AEB＝3S△BEF＝3，
∴S△ABD＝S△AED+S△AEB＝9+3＝12，
∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝2×12＝24．
故答案为：24．
三．解答题
17．（2021秋 长春期末）如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长．
【解析】（1）证明：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCE；
（2）解：∵点D是BC的中点，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
在Rt△BEC中，
∵CE＝6，BE＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴CD＝BC＝5，
∵△ACD∽△BCE，
∴，
∴AD＝，
∴AC＝＝＝，
∴AB＝AC＝．
18．（2021秋 浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若＝，求的值．
【解析】（1）证明：∵∠ADE＝∠DAE，∠B＝∠ADE，
∴△BAC∽△DAE，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE；
（2）解：∵△ABD∽△ACE，
∴，
∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，
∴＝，
∴＝ ＝＝3，
∵△ADF∽△ECF，
∴＝＝3．
19．（2021秋 瓯海区月考）如图，在5×5的方格纸中，已知格点△ABC，请按要求画图．
（1）在图1画一个格点△DEF，使△DEF与△ABC相似，且△DEF与△ABC的周长比是2．
（2）在图2画一个格点△MNL，使△MNL与△ABC相似，且△MNL与△ABC的面积比是2．
【解析】解：（1）如图所示，△DEF即为所求．
（2）如图所示，△MNL即为所求．
20．（2021秋 瑞安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，连接AD，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，点F是上一点，且△ADF∽△ABC，连接AF，DF．
（1）求证：＝．
（2）当E为AB中点时，AF＝，AC＝2，求BC的长度．
【解析】（1）证明：∵△ADF∽△ABC，
∴∠BAC＝∠DAF，
∴∠CAD+∠BAD＝∠BAD+∠EAF，
∴∠CAD＝∠EAF，
∴；
（2）解：连接DE，
∵＝，
∴DF＝CE，
∵E为AB中点，
∴CE＝AE＝BE＝AB，
∴DF＝AB，
∵△ADF∽△ABC，
∴＝，
∵AF＝，AC＝2，
∴＝，
设DF＝x，BC＝4x，
∴AB＝2x，
在Rt△ABC中：AC2+BC2＝AB2，
∴4+16x2＝20x2，
解得x＝±1（负值舍去），
∴BC＝4．
21．（2021秋 麦积区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
由题意得BM＝3 tcm，CN＝2tcm，
∴BN＝（8﹣2t）cm．
当△BMN∽△BAC时，＝，即＝，
解得：t＝；
当△BMN∽△BCA时，＝，即＝，
解得：t＝，
综上所述，△BMN与△ABC相似时，t的值为或；
（2）如图，过点M作MD⊥CB于点D，
∴∠BDM＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDM∽△BCA，
∴＝＝，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，BA＝10cm，BM＝3tcm，
∴DM＝tcm，BD＝tcm，
∴CD＝（8﹣t）cm，
∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，
∴∠CAN+∠ACM＝90°，∠MCD+∠ACM＝90°，
∴∠CAN＝∠MCD．
∵MD⊥CB，
∴∠MDC＝∠ACB＝90°，
∴△CAN∽△DCM，
∴＝，即＝，
解得：t＝．
22．（2021秋 阜南县月考）一块直角三角形木板，一直角边BC长75cm，另一直角边AC长100cm，要把它加工成面积最大的正方形棋盘，小明、小亮二人的加工方法分别如图1、图2所示，请运用所学知识说明谁的加工方法得到的正方形面积较大．
【解析】解：设图1加工桌面长xcm，过点C作CM⊥AB，垂足为M，与GF相交于点N，
∵BC＝75cm，AC＝100cm，
∴BA＝＝＝125（cm），
∵S△ACB＝AB MC，
∴CM＝＝＝60（cm），
∵GF∥DE，
∴△CGF∽△CAB，
∴，
∴．
∴．
∴x＝；
设图2加工桌面长ycm，
∵FD∥BC，
∴Rt△AFD∽Rt△ACB，
∴，
，
解得y＝，
∵，
∴图2加工方法得到的正方形面积较大．
23．（2021秋 萧山区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝2，BD＝3，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．
【解析】解：（1）∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG∽△BDA，
∴，即＝，
∴BG＝，
∴DG＝BD﹣BG＝3﹣＝；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG，
∴△ADG∽△EBG，
∴＝（）2＝k2，＝＝k，
∴S1＝k2S，
∵＝＝k，
∴S△ABG＝，
∵△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，
∴的最大值为．
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