7.3.1　三角函数的周期性课件高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册(共19张PPT)

(共19张PPT)
7.3.1　三角函数的周期性
一、问题导学
33天后的期末考试星期几？
一、问题导学
能不能用函数的列表法表达？
问题1：三角函数有没有类似的特征？
由单位圆中的三角函数线可知，正弦函数值、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦函数值、余弦函数值也分别相同．即有
sin(x＋2π)＝sin x ，cos(x＋2π)＝cosx
正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．
二、自主思考
若记 f (x)＝sin x，则对于任意x∈R，都有
f ( x +2 π) = f (x) ．
问题3：把上述形式推广成函数的一般形式是怎样的？
二、自主思考
（一）周期函数的定义
一般地，设函数y=f (x)的定义域为A ，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的 ，都有 ，并且
那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
注意：1.T必须是常数，且不为零
2. 必须对定义域内的任意x都成立
三、合作探究
巩固概念
判断下列说法是否正确，并简述理由：
（1） 时， ,
则 一定不是 的周期
√
（2） 时， ,
则 一定是 的周期
×
深化概念
三、合作探究
y=sinx的周期唯一吗？为什么？
深化概念
三、合作探究
单位圆中三角函数线说明2π是y=sinx(x∈R)周期，
4π,6π，…以及-2π， -4π，…都是正弦函数周期.
T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期 (k为非零整数) .
思考:1.y=sinx的周期当中存在最小值吗？
2. y=sinx的周期当中存在最大值吗？
3.在y=sinx所有正数周期中有最小值吗？
概念探究2
一般地，对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。
说明:今后所说周期,如不作特殊说明,均指最小正周期.
结论：正弦函数、余弦函数都是周期函数，它们最小正周期都是2π；正切函数也是周期函数，其最小正周期是π
三、合作探究
概念探究3
常数函数，一次函数，二次函数，是否是周期函数？若是，是否存在最小正周期？若不是，说明理由。
常数函数是周期函数
常数函数没有最小正周期
任何一个非零常数都是它的周期
三、合作探究
典型例题
例1 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示：
(1)求该函数的周期;
(2)求t=10s时钟摆的高度。
变式
四、交流展示
概念探究3
自编一道三角函数题，请同座位思考是否为周期函数？若是周期函数，周期是多少？ 若不是周期函数，请说明理由.
三、合作探究
1 周期现象：从时间到运动
　　周期函数的概念源于人类对周期现象的观察。人们最开始观察到的周期现象都与时间有关，如基思（T.Keith）于1810年对一天做出了明确的描述[3];邦尼卡斯尔（J.Bonnycastle）于1818年对一个月进行了定义。在此期间，周期与时间的变化密不可分，物体重复经历一个位置的时间间隔称之为周期[4]。
　　人们逐渐认识到，时间间隔其实对应于物体运动的间隔，如汤姆森（J. Thomson）于1825年提到了天体的运动规律[5]。之后，数学家进一步将天体的运动类比到角的变化[6]。
　　2.三角函数背景下的周期函数：从描述定义到诱导公式
　　周期概念的发展与三角函数息息相关。早在18世纪，欧拉（L. Euler）在《无穷分析引论》中给出了三角函数的一系列诱导公式，他已经认识到三角函数的周期性，但并未具体提出周期和周期函数的概念[7]。德摩根（A.De Morgan）于1837年根据角的终边周而复始的规律变化描述性地刻画了周期现象，但主要还是以文字描述为主[8]。与欧拉类似，西弗（E.P.Seaver）于1871年通过诱导公式呈现了三角函数的周期性[9]。里德尔（P. R. Rider）于1888年通过三角函数的图像特征来描述三角函数的周期性即三角函数的值和三角函数曲线重复出现，故称其具有周期性 [10]。但这样的定义仍然是描述性的定义。
　　直至1880年，数学家开始尝试对三角函数的周期性进行刻画，但仅局限于文字描述，一般周期函数的形式化定义尚未出现。
　　3 周期函数形式化定义：从不完善到完善
　　1892年，尼克逊（R.C.Nixon）提出了以三角函数为背景的形式化定义[11]，标志周期函数的概念进入新的发展阶段。1899年，加拿大数学家穆雷（D.A.Murray）摆脱了三角函数的束缚，对一般周期函数进行了定义[1 ]：一般地，对于函数，如果存在常数T，对任意一个x值都有，那么函数叫作周期函数，常数T叫作函数的周期。
1.周期函数、最小正周期的定义；
2.函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)，y=Atan(ωx+φ)x∈R
(其中A,ω, φ为常数，且A≠0,ω ≠ 0)的周期求法
五、反思评价
跟踪训练
1.求下列函数的最小正周期：
2.若函数 的最小
正周期为 ，求 k 的值。