2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册4.2.4积化和差与和差化积公式课件（32张ppt）

(共32张PPT)
4.2.4 积化和差与和差化积公式
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程．
2．会用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明.
数学素养
1.通过对积化和差、和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理素养．
2．通过利用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养.
问题引入
在讨论三角函数的一些问题过程中，有时需要把三角函数的积化为和或者差，有时又需要要把和或者差化成积的形式
如：求函数y＝sincosx的最值．
为了化简，按过去学过的知识，利用两角和的正弦公式把sin展开，得到asinx+bcosx的形式，再与cosx相乘，得到asinx cosx +bcos2x，思路中断。
在讨论三角函数的一些问题过程中，有时需要把三角函数的积化为和或者差，有时又需要要把和或者差化成积的形式
如：求函数y＝sincosx的最值．
这是两个三角函数式积的形式，按本节学习的公式：积化和差，可以化成最简形式。
再如：化简 sin103°+sin17°．
使用本节学习的和化积公式，可把非特殊角化为特殊角。
积化和差
积化和差公式
前面已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，分别如下：
cos(a+β)=cos acosβ-sin asinβ; ①
cos(a-β)=cos acosβ+sin asinβ: ②
sin(a+β)=sinαcosβ+cosasinβ; ③
sin(a-β)= sinαcosβ-cosasinβ; ④
①+ ②整理得： cos acosβ=+ cos(a-β)]
积
和
②- ①整理得： sinasinβ=- cos(a-β)]
积
差
积化和差公式
请同学自己导出其余的积化和差公式：






积化和差公式
正余，余正，来自两角和与差正弦，公式后面是两个正弦
余余，正正，来自两角和与差余弦，公式后面是两个余弦
积化和差公式应用
积化和差公式应用
积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘常数的形式，常用于三角函数的求值和化简.
例1求 的值.
解:

积化和差公式应用
例2求证
证明sin15°sin30°

积化和差公式应用
积化和差公式应用
和差化积公式
和差化积公式
从积化和差的4个公式可以得出
sin(a+β)+sin(a-β)=2sinacosβ:
sin(a+β)-sin(a-β)=2cosasinβ;
cos(a+β)+cos(a-β)=2cosacosβ;
cos(a-β)-cos(a-β)=-2sinasinβ
设a+β=x，α-β=y，则
α=, β= 这样，上面得出的四个式子可以写成:
和差化积公式




前面是同名函数
和差化积公式应用
和差化积公式应用
例5，把下列各式化为积的形式，
) sin 103°+sin

和差化积公式应用
例5，把下列各式化为积的形式，
=-
和差化积公式应用
例6.把 化为积的形式
解
=
和差化积公式应用心得
公式综合应用
公式综合应用
学以致用
1.把下列各式化成积的形式：



(3)sin3x-sin5x;

(4)cos50°-cos70°
(1)
=2cos46°cos6°;

-2cos4xsin )=-2sinxcos4x
2.把下列各式化成和或差的形式：

(1) sin64°cos20°;(2) sin84°cos114°;

解：（1）原式
(2)原式
=