4.1数列的概念 说课稿-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1 数列的概念
说课稿
一、教材学情
（一）教材分析
本节课是《2019 人教 A 版高中数学选择性必修二》第四章《数列》第一节第 1 课时内
容。数列是一类特殊的函数，是数学的重要研究对象，也是研究其他函数的基本工具，在日
常生活中有着广泛的应用。因为数列是一类特殊的函数，所以本章的教学需要注重函数思想
和方法的应用。通过本章的学习，努力发展学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建
模素养。
本章在必修第一册中函数知识的基础上，介绍数列相关知识，教科书在本章内容的编排
上，借鉴研究函数的经验，按照“一般数列→特殊数列”的顺序展开。介绍“一般数列”时，
通过生活中和数学中的实例，抽象出数列的定义，介绍数列的表示方法；“特殊数列”以取
值规律“最简单”的等差数列和等比数列为例，对它们的研究不仅可以加深学生对数列的理
解，应用它们解决实际问题，而且为学生今后进一步学习其他类型数列打下基础。在本章的
最后，还学习了数学归纳法。
“数列的概念”这一节内容主要涉及数列的概念、表示方法和前 n 项和公式，具体包括：
数列的分类，数列与函数的关系，用表格、图像、通项公式和递推公式表示数列，前 n 项
和公式与通项公式的关系。这一节共教学 2 课时，本节课为第 1 课时。
数列的概念、通项公式在学习过程中起着承上启下的作用。一方面，在对数列概念的归
纳提炼和解决具体问题的过程中常会用到函数思想，数列的通项公式就是数列作为函数的函
数解析式，通过学习数列能进一步加深对函数的认识，深化对函数思想方法的运用；另一方
面，它们是学习本章的后续内容——等差数列、等比数列的基础。
（二）学情分析
本节课是概念起始课，通过实例抽象出数列定义、并用数学语言进行表达，是学生的认
知障碍；在函数的学习中，学生已经接触过一些实际上是数列的函数，但他们缺乏对数列内
容的总体了解，也不清楚学习数列的一般思路和方法；把实际问题转化为数列问题，也是学
生学习的一个难点。
二、重点难点
教学重点：数列的概念和通项公式。
教学难点：从实例中抽象出数列的概念。
三、教学目标
（一）课程目标
经历数列概念的抽象过程，了解数列的定义，了解数列是一种特殊的函数，了解数列的
表示方法，理解数列的通项公式。
（二）学科素养目标
数学抽象，数学运算，数学建模，逻辑推理。
四、教法学法
（一）研究路径及教法：
本节课的研究路径与已学的函数概念类似，即：数列事实→数列概念的定义→数列的表
示→数列的性质。在这个路径的指引下，本节课采用的教学方法是：类比、从特殊到一般的“问
题引导”式。
（二）学法：
本节课的学法有：观察发现法，交流合作法，归纳总结法．
五、教学过程
（一）新课导入：情境导入
情境：
①“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，如果把满月分成 240 份，则从初一到十五每天月亮
的可见部分可用一个代表份数的数来表示．
在两河流域发掘的一块泥版（编号 K90，约产生于公元前 7 世纪）上，记载了一列数：
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240．
研究发现，这列数依次表示一个月中从第 1 天到第 15 天每天月亮可见部分的数．
②王芳从 1 岁到 17 岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：cm）依次排
成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．
【设计意图】通过数学文化和实际生活情境引入，激发学生的学习兴趣，引导学生用数
学眼光看待问题，用数学的思维思考问题．
（二）数列概念的引入
问题 1：根据上述两个例子回答下列问题：
（1）①中哪一天的月亮可见部分数为 128？
（2）②中的第 3、第 8 个数的实际意义是什么？
【设计意图】让学生感受这些数是具有确定的顺序的，每个位置上的数都有其特定的意
义。
问题 2：我们能否引入一个符号，表示上述问题中的数？
记第i 天月亮可见部分的数为 s ，那么， s = 5 ， s =10 ，…， s = 240 ．
i
1
2
15
记王芳第i 岁生日那天的身高为 h ，这样， h = 75 ， h = 87 ，…， h =168．
i
1
2
17
追问 1： h ， h 的值分别是多少？
10
15
追问 2： s5 的实际意义是什么？
【设计意图】通过用集序号与取值于一身的数学符号表示实例中的数，使学生认识到实
例中的数都是具有确定顺序的一列数。
1
问题 3： - 的 n 次幂按 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，……依次排成一列数：
2
1
2
1
4
1
8
1
-
，
， -
，
，…．
16
你能仿照前面的叙述，说明这也是具有确定顺序的一列数吗？
【设计意图】前面两个实例是具有实际意义的问题，这里撇开了实际背景，让学生认识
数学中的数列．学生通过仿照前面用数学符号表示数列并进行分析的过程，进一步认识数列
是具有确定顺序的一列数．
（三）数列概念的形成与辨析
问题 4：上面三个例子的共同特征是什么？
教师引导学生从特殊到一般，归纳共同特征，教师在师生活动的基础上给出数列的概念，
抓住“一列数”和“顺序”这两个关键点．
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列．
数列中的每一个数叫做这个数列的项．
追问 1：1，3，5，7 是一个数列，7，5，3，1 也是一个数列，这两个数列是不是同一
个数列？
追问 2：1，1，1，1，…是不是一个数列？
追问 3：如何用一般的符号表示数列？
【设计意图】通过对具体问题的思考和分析，帮助学生观察、分析、归纳总结出数列的
概念，发展学生数学抽象和数学建模的核心素养．
问题 5：数列{a }中的各项 a 与各项序号 k （ k =1， 2 ，3，…， n ，…）之间的对应
n
k
关系是什么关系？
教师呈现数列各项与序号一一对应的关系：
序号
1
2
3
…
…
n
…
…
↓
↓
↓
↓
项
a1
a2
a3
an
数列{an}是从正整数集 N
*
（或它的有限子集{1, 2,L ,n}）到实数集 R 的函数，自变量是
( )
序号 n ，对应函数值是数列的第 n 项 a ，记为 a = f n ．
n
n
追问 1：你能从函数的角度解释这三个数列的特点吗？
追问 2：在数列中，符号{a }与 a 所表示的意义是否相同？
n
n
【设计意图】揭示数列的序号与项之间的对应关系本质上是函数关系，通过上述三个数
列，使学生进一步认识数列是一种特殊的函数，并给出定义域．再通过两个追问进一步揭示
数列的函数特点。
问题 6：对于不同的数列，它们的项数有何特点呢？
【设计意图】教师引导学生回顾第 1 个例子，共有 17 项；第 2 个例子共有 15 项，这都
是含有有限项的数列，而第 3 个例子中的数列有无穷多项．根据数列中的项数是有限还是无
限，将数列分成以下两类：有穷数列（项数有限的数列），无穷数列（项数无限的数列）．
问题 7：数列有哪些表示方法？
追问 1：数列图象有什么特点？
追问 2：数列通项公式的作用是什么？
【设计意图】通过问题 7 和两个追问，让学生理解，数列是一种特殊的函数，数列和函
数一样有三种表示方法，数列的图象是一群孤立的点，数列的通项公式就是数列作为函数的
函数解析式．
问题 8：单调数列怎样定义呢？
【设计意图】教师让学生从表和图中观察该数列中的项随序号变化出现出的特点．学生
不难发现从第 2 项起，每一项都大于它的前一项．教师趁机给出递增数列的定义：从第 2 项
起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列．类比递增数列的定义，给出递减数列的
定义．特别的，各项都相等的数列叫做常数列．
（四）新知应用
例 1：根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前 5 项，并画出它们的图象．
n
2
+ n
(n - 1)π
（1） an =
；（2） an = cos
．
2
2
学生计算、画图，教师利用电子表格计算、画图．给出表格、图象，请学生回答这两个
数列是否是递增数列．
【设计意图】本例是对数列通项公式的直接应用，并要求学生描点作图，使学生从通项
公式、表格和图象三个角度认识数列．
例 2：根据下列数列的前 4 项，写出数列的一个通项公式．
1
2
1
3
1
（1）1， -
，
， - ，…；
4
（2）2，0，2，0，…．
【设计意图】让学生体会从数列的具体项归纳数列通项公式的基本方法，认识到得到的
通项公式不是唯一的．
（五）归纳小结
问题 9：回顾数列的概念及其表示方法的学习过程，说说其中运用了怎样的思想方法．
学生交流后回答，教师总结：
（1）通过具体的例子，归纳、概括数列的共同特征，过程数列的概念；
（2）用数学语言描述数列，过程数列的一般形式；
（3）用函数的观点看数列，明确数列是一种特殊的函数；
（4）运用函数的方法研究数列，介绍数列的三种表示方法．
（六）布置作业
教科书习题 4.1 第 1-4 题．
【设计意图】一方面是巩固本节课所学知识，另一方面是引导学生重视使用教材中的习
题。
（七）板书设计
4.1 数列的概念（1）
例 1：
例 2：
一、定义
二、表示方法
PPT 课件显示区
三、通项公式
an = f (n)
【设计意图】板书简洁明了、重点突出，有利于提高教学效果。