第六章 反比例函数综合复习（含解析）
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九年级数学反比例函数综合复习
一．反比例函数的图象（共2小题）
1．反比例函数与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
2．函数y＝和y＝﹣kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B． C． D．
二．反比例函数的性质（共1小题）
3．已知函数y＝，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，y随x的增大而减小；③若A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，且x1+x2＝0，则y1＝y2．其中说法正确的数（ ）
A．①③ B．② C．③ D．①②
三．反比例函数系数k的几何意义（共12小题）
4．如图，A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
5．如图，A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4
6．如图，点P，点Q都在反比例函数y＝的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q作x轴的垂线，交x轴于点A，△OAQ的面积为S2，若S1+S2＝3，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
7．如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若S阴影＝2，则S1+S2＝ ．
8．如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上一点E，D在x轴上，点E的纵坐标为1，若∠ODE＝120°，△ODE的面积是，则k的值是 ．
9．如图，A，B是反比例函数y＝﹣图象上关于原点对称的两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积为 ．
10．如图， ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD∥x轴，当双曲线y＝经过点D时，则 ABCD面积为 ．
11．如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝ ．
12．如图，在x轴上有一点A（3，0），点D是点A关于y轴的对称点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，连接BD，交反比例函数图象于点C，若OC∥AB，△ABD的面积是24．则k的值是 ．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共6小题）
13．若函数的图象经过点A（﹣1，2），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
14．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
15．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，∠OAB＝90°，OA＝6，AB＝4．已知反比例函数y＝﹣（k＞0，k为常数）在第一象限的图象与线段OB交于点D（4，m），与线段AB交于点E，则点E的坐标为 ．
16．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，∠BCD＝60°，则的值为 ．
17．如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，在反比例函数y＝的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…都在x轴上，则点A3的坐标是 ．
18．如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函数y＝（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2…An﹣1An，都在x轴上，则y1+y2+…+yn＝ ．
五．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）
19．图象经过点（1，2）的反比例函数是（ ）
A． B． C． D．y＝2x
20．如图，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P′．则在第一象限内，经过点P′的反比例函数图象的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x＞0） B．y＝（x＞0） C．y＝﹣（x＞0） D．y＝（x＞0）
21．一个函数具有性质：①它的图象经过点（﹣5，1）；②它的图象在二、四象限内；③在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则此函数的解析式可以为 ．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）
22．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣2）、B（1，2）两点，若＞k2x，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0或x＞1
C．﹣1＜x＜0 D．﹣1＜x＜1
23．如图，已知点A（0，8），B（4，8），且点B在双曲线y＝（k＞0）上，在AB的延长线上取一点C，过点C的直线交双曲线于点D，交x轴正半轴于点E，且CD＝DE，则线段CE长度的取值范围是（ ）
A．8≤CE＜4 B．8≤CE＜8 C．8＜CE＜8 D．8≤CE＜8
24．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象都经过点A（﹣1，2），若y1＞y2，则x的取值范围是 ．
25．如图，平行于x轴的直线分别与反比例函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0）的图象相交于M，N两点，点P为x轴上的一个动点，若△PMN的面积为2．则k1﹣k2的值为 ．
26．已知：点A（﹣1，﹣4）和P是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象的两个不同交点，点P关于y轴的对称点为P′，直线AP以及AP′分别与x轴交于点M和N．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）若PP′≥MN，求k的取值范围．
七．反比例函数综合题（共1小题）
27．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知P是x轴正半轴上一点，作PM⊥x轴交直线AB于点M，交双曲线于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，请写出点P的坐标．
八．反比例函数综合题（共1小题）
28．如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，过点C的直线y＝2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为，AB＝4．若函数y＝（x＜0）的图象过C点，则k＝ ．
参考答案与试题解析
一．反比例函数的图象（共2小题）
1．反比例函数与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故不可能是选项A、B；
由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故不可能是选项C，可能是选项D；
故选：D．
2．函数y＝和y＝﹣kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，B选项符合，A、C选项错误；
当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而增大，D错误；
故选：B．
二．反比例函数的性质（共1小题）
3．已知函数y＝，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，y随x的增大而减小；③若A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，且x1+x2＝0，则y1＝y2．其中说法正确的数（ ）
A．①③ B．② C．③ D．①②
【解答】解：∵|x|＞0，
∴y＞0，
∴该函数的图象在第一二象限，
且该函数的图象关于y轴对称，
∴①说法错误，
∵2＞0，
∴当x＞0时，y随着x的增大而减小，
又∵图象关于y轴对称，
∴当x＜0时，y随着x的增大而增大，
∴②说法错误，
当x1+x2＝0时，x1和x2关于y轴对称，
∴y1＝y2，
∴③说法正确，
故选：C．
三．反比例函数系数k的几何意义（共12小题）
4．如图，A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴S△ABC＝AB OB＝|x| |y|＝﹣xy＝2，
∴xy＝﹣4，
∵A是反比例函数y＝的图象上一点，
∴k＝xy＝﹣4，
故选：B．
5．如图，A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4
【解答】解：设A点的坐标是（a，b），则根据函数的对称性得出B点的坐标是（﹣a，﹣b），则AC＝2b，BC＝2a，
∵A点在y＝的图象上，
∴ab＝1，
∴△ABC的面积S＝＝＝2ab＝2×1＝2，
故选：A．
6．如图，点P，点Q都在反比例函数y＝的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q作x轴的垂线，交x轴于点A，△OAQ的面积为S2，若S1+S2＝3，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：由题意得S1＝|k|，，
则，
解得|k|＝2，
∵图象在二、四象，
∴k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：D．
7．如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若S阴影＝2，则S1+S2＝ 2 ．
【解答】解：∵点A，B是双曲线y＝上的点，
∴S1+S阴影＝S2+S阴影＝3，
∴S1+S2＝6﹣2S阴影＝6﹣4＝2．
故答案为2．
8．如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上一点E，D在x轴上，点E的纵坐标为1，若∠ODE＝120°，△ODE的面积是，则k的值是 ．
【解答】解：作EH⊥x轴于点H，则EH＝1，
∵S△ODE＝OD EH＝×OD×1＝，
∴OD＝，
∵∠ODE＝120°，
∴∠EDH＝60°，
∴tan60°＝，
∴DH＝＝＝，
∴OH＝OD+DH＝+＝，
∴E（，1），
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝yx＝1×＝．
9．如图，A，B是反比例函数y＝﹣图象上关于原点对称的两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积为 8 ．
【解答】解：如图，
∵A，B是反比例函数y＝﹣图象上关于原点对称的两点，AC∥y轴，BC∥x轴，
∴S△AOM＝S△BON＝|k|＝2，
∴S矩形OMCN＝2S△AOM＝4，
∴S△ABC＝2+2+4＝8，
故答案为：8．
10．如图， ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD∥x轴，当双曲线y＝经过点D时，则 ABCD面积为 6 ．
【解答】解：连接OD，
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∴S△AOD＝|k|＝，
∵O是AC的中点，
∴S△AOD＝S△COD，
∵ ABCD的对角线AC在y轴上，
∴S△ABC＝S△ACD＝S ABCD，
∴S ABCD＝4S△AOD＝6，
故答案为：6．
11．如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝ 6 ．
【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面积为，
∴5m 5n＝，
∴mn＝．
把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，
∴k＝9mn＝9×＝6．
故答案为6．
12．如图，在x轴上有一点A（3，0），点D是点A关于y轴的对称点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，连接BD，交反比例函数图象于点C，若OC∥AB，△ABD的面积是24．则k的值是 ﹣8 ．
【解答】解：作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，
∵点D为点A关于y轴对称点，
∴D坐标为（﹣3，0），
∴AD＝6，
∵S△ABD＝BE AD＝24，
∴BE＝8，
∵OC∥AB，
∴△DCO∽△DBA，
∴＝＝，
∵△OCF∽△ABE，
∴＝＝＝，
∴CF＝BE＝4，
∵B，C在图象上，
∴B（，8），C（，4），
∵AE＝3﹣，OF＝﹣，
∴，
解得k＝﹣8．
故答案为：﹣8．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共6小题）
13．若函数的图象经过点A（﹣1，2），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：把点A（﹣1，2）代入函数，
得：2＝，
解得：k＝﹣2．
故选：D．
14．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线y＝
k
x
（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（2，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
15．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，∠OAB＝90°，OA＝6，AB＝4．已知反比例函数y＝﹣（k＞0，k为常数）在第一象限的图象与线段OB交于点D（4，m），与线段AB交于点E，则点E的坐标为 （6，） ．
【解答】解：如图，作DF⊥OA，则∠DFO＝90°．
∵点D（4，m），
∴OF＝4，DF＝m，
∵∠DFO＝∠BAO＝90°，∠AOB＝∠FOD，
∴△ODF∽△OBA，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为（4，），
∴，
∴反比例函数y＝，
当x＝6时，y＝，
∴点E的坐标为（6，）．
故答案为（6，）．
16．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，∠BCD＝60°，则的值为 ．
【解答】解：连接AC，BD，如图，
∵菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，
又菱形与双曲线均为中心对称图形，
∴AC，BD经过点O．
∴AC⊥BD，AC平分∠BCD，
∵∠BCD＝60°，
∴∠OCB＝∠BCD＝30°．
∴tan∠OCB＝＝tan30°＝．
过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
由反比例函数比例系数k的几何意义可得：
k1，．
∵AC⊥BD，
∴∠BOE+∠EOC＝90°．
∵CF⊥x轴，
∴∠FCO+∠EOC＝90°．
∴∠BOE＝∠FCO．
∵∠BEO＝∠OFC＝90°，
∴△OBE∽△COF，
∴＝．
∴＝．
∴＝﹣．
故答案为：﹣．
17．如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，在反比例函数y＝的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…都在x轴上，则点A3的坐标是 （4，0） ．
【解答】解：△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…都在x轴上，
设P1（a1，a1）
则a1a1＝4，解得a1＝2，
∴A1（2a1，0）即A1（4，0），
设P2（4+a2，a2）
则a2（4+a2）＝4，解得a2＝2﹣2
∴A2（4+2a2，0）即A2（4，0）
设P3（4+a3，a3）
则a3（4+a3）＝4，解得a3＝2﹣2，
∴A3（4+2a3，0）即A3（4，0），
故答案为（4，0）．
18．如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函数y＝（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2…An﹣1An，都在x轴上，则y1+y2+…+yn＝ 3 ．
【解答】解：如图，过P1，P2，P3…Pn，分别作x 轴的垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q3，…Qn，
∵△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，
∴OQ1＝P1Q1＝Q1A1＝y1，
A1Q2＝P2Q2＝Q2A2＝y2，
A2Q3＝P3Q3＝Q3A3＝y3，
……
An﹣1Qn＝PnQn＝QnAn＝yn，
于是P1（y1，y1），P2（2y1+y2，y2），P3（2y1+2y2+y3，y3），……Pn（2yi+2y2+2y3+…+2yn﹣1+yn，yn），
将P1（y1，y1）代入反比例函数y＝得，
y1 y1＝9，解得y1＝3，
因此P2（6+y2，y2），
将P2（2y1+y2，y2），y1＝3，代入反比例函数y＝得，
（6+y2） y2＝9，
解得y2＝3﹣3，
同理将P3（2y1+2y2+y3，y3），P4（2y1+2y2+2y3+y4，y4），……代入反比例函数关系式可求得，
y3＝3﹣3，
y4＝3﹣3＝6﹣3，
y5＝3﹣3＝3﹣6，
……
所以y1+y2+…+yn＝3+3﹣3+3﹣3+…+3﹣3＝3，
故答案为：3．
五．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）
19．图象经过点（1，2）的反比例函数是（ ）
A． B． C． D．y＝2x
【解答】解：设反比例函数的解析式为：y＝，
把点（1，2）代入y＝中得：
2＝，
解得：k＝2，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
故选：B．
20．如图，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P′．则在第一象限内，经过点P′的反比例函数图象的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x＞0） B．y＝（x＞0） C．y＝﹣（x＞0） D．y＝（x＞0）
【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），函数经过点P′（4，），
∴＝，得k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝．
故选：D．
21．一个函数具有性质：①它的图象经过点（﹣5，1）；②它的图象在二、四象限内；③在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则此函数的解析式可以为 ．
【解答】解：∵函数的图象在二、四象限内；在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大；
∴此函数为反比例函数，
∵它的图象经过点（﹣5，1）；
设该反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
把（﹣5，1）代入得1＝﹣，
k＝﹣5，
故此函数的解析式可以为y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）
22．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣2）、B（1，2）两点，若＞k2x，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0或x＞1
C．﹣1＜x＜0 D．﹣1＜x＜1
【解答】解：由图象得：
若＞k2x，则x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1，
故选：A．
23．如图，已知点A（0，8），B（4，8），且点B在双曲线y＝（k＞0）上，在AB的延长线上取一点C，过点C的直线交双曲线于点D，交x轴正半轴于点E，且CD＝DE，则线段CE长度的取值范围是（ ）
A．8≤CE＜4 B．8≤CE＜8 C．8＜CE＜8 D．8≤CE＜8
【解答】解：∵A（0，8），B（4，8），
∴AB∥x轴．
∵点B在双曲线y＝（k＞0）上，
∴8＝．
∴k＝32．
过点D作DF⊥OA于点F，如图，
则DF∥AB．
∵A（0，8），
∴OA＝8．
∵CD＝DE，
∴AF＝OF＝＝4，
∴点D的纵坐标为4，
∵点D在在双曲线y＝上，
∴x＝8．
∴D（8，4）．
当EC⊥x轴时，此时EC最小，EC＝OA＝8；
当点E与点O重合时，此时EC最大，
∵CD＝DE，
∴点C（16，8）．
∴EC＝8．
∵点E在x轴正半轴，
∴8≤EC＜8，
故选：D．
24．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象都经过点A（﹣1，2），若y1＞y2，则x的取值范围是 ﹣1＜x＜0或x＞1 ．
【解答】解：根据反比例函数与正比例函数交点规律：两个交点坐标关于原点对称，可得另一交点坐标为（1，﹣2），
由图象可得在点A的右侧，y轴的左侧以及另一交点的右侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值；
则﹣1＜x＜0或x＞1．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1．
25．如图，平行于x轴的直线分别与反比例函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0）的图象相交于M，N两点，点P为x轴上的一个动点，若△PMN的面积为2．则k1﹣k2的值为 4 ．
【解答】解：连接OM，ON，设MN与y轴交于点A，
∵点M在反比例函数y1＝的图象上，点N在反比例函数y2＝的图象上，
∴△MAO的面积＝|k1|，△NAO的面积＝|k2|，
∵MN∥x轴，
∴△PMN的面积＝△MNO的面积，
∴|k1|+|k2|＝2，
∴|k1|+|k2|＝4，
∵k1＞0，k2＜0，
∴k1﹣k2＝4，
故答案为：4．
26．已知：点A（﹣1，﹣4）和P是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象的两个不同交点，点P关于y轴的对称点为P′，直线AP以及AP′分别与x轴交于点M和N．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）若PP′≥MN，求k的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，﹣4）代入反比例函数y＝，
得m＝4，
∴y与x的函数关系式为：y＝；
（2）过点A作AC⊥PP′于点C，交x轴于点B，
如图1，
∵MN∥PP′，AC⊥MN，
∴△AMN∽△APP'，
∴＝＝，
∴AC＝6，
∴BC＝AC﹣AB＝6﹣4＝2，
得P（2，2），
将A（﹣1，﹣4）和P（2，2）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
直线AP表达式为y＝2x﹣2，
当PP′≥MN时，k≥2；
如图2，
∵MN∥PP′，AC⊥MN，
∴△AMN∽△APP'，
∴＝＝，
∴AC＝6，
∴BC＝AC+AB＝6+4＝10，
得P（﹣，﹣10），
将A（﹣1，﹣4）和P（﹣，﹣10）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
直线AP表达式为y＝﹣10x﹣14，
当PP′≥MN时，k≤﹣10．
所以k的取值范围是：k≥2或k≤﹣10．
七．反比例函数综合题（共1小题）
27．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知P是x轴正半轴上一点，作PM⊥x轴交直线AB于点M，交双曲线于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，请写出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣2，
故A（﹣2，0），C（0，1），
∵CO⊥x轴于点O，BE⊥x轴于点E，
∴CO∥BE，
∴△AOC∽△AEB，
∵AC＝BC，
∴AO＝OE＝2，
即B点横坐标为：2，
则y＝×2+1＝2，
∴B（2，2），
∴把B点代入y＝（k≠0），
解得：xy＝4，
即y＝；
（2）如图2，由题意可得：CO∥MN，只有CO＝MN时，O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
当P点在B点右侧或D点右侧时，设P（a，0），则N（a，），M（a，a+1），
故MN＝a+1﹣＝CO＝1，
解得：a＝±2；
当P点在B点左侧或D点左侧时，设P（a，0），则N（a，），M（a，a+1），
故MN＝﹣（a+1）＝CO＝1，
解得：a＝﹣2+2或﹣2﹣2，
综上所述，P点坐标为（2，0）或（﹣2，0）或（﹣2+2，0）或（﹣2﹣2，0）．
八．反比例函数综合题（共1小题）
28．如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，过点C的直线y＝2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为，AB＝4．若函数y＝（x＜0）的图象过C点，则k＝ ﹣4 ．
【解答】解：连接AC，则AC⊥AB
在直角三角形ABC中，AB＝4，BC＝2
∴AC＝2
∵OP⊥AB，AC⊥AB
∴AC∥OP
∵BP＝PC，AB＝4
∴OA＝OB＝2
∴C的坐标为（﹣2，2），将C的坐标代入y＝（k＜0）中，可得k＝xy＝（﹣2）×2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
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九年级数学反比例函数综合复习
一．反比例函数的图象（共2小题）
1．反比例函数与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
2．函数y＝和y＝﹣kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B． C． D．
二．反比例函数的性质（共1小题）
3．已知函数y＝，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，y随x的增大而减小；③若A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，且x1+x2＝0，则y1＝y2．其中说法正确的数（ ）
A．①③ B．② C．③ D．①②
三．反比例函数系数k的几何意义（共12小题）
4．如图，A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
5．如图，A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4
6．如图，点P，点Q都在反比例函数y＝的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q作x轴的垂线，交x轴于点A，△OAQ的面积为S2，若S1+S2＝3，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
7．如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若S阴影＝2，则S1+S2＝ ．
8．如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上一点E，D在x轴上，点E的纵坐标为1，若∠ODE＝120°，△ODE的面积是，则k的值是 ．
9．如图，A，B是反比例函数y＝﹣图象上关于原点对称的两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积为 ．
10．如图， ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD∥x轴，当双曲线y＝经过点D时，则 ABCD面积为 ．
11．如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝ ．
12．如图，在x轴上有一点A（3，0），点D是点A关于y轴的对称点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，连接BD，交反比例函数图象于点C，若OC∥AB，△ABD的面积是24．则k的值是 ．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共6小题）
13．若函数的图象经过点A（﹣1，2），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
14．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
15．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，∠OAB＝90°，OA＝6，AB＝4．已知反比例函数y＝﹣（k＞0，k为常数）在第一象限的图象与线段OB交于点D（4，m），与线段AB交于点E，则点E的坐标为 ．
16．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，∠BCD＝60°，则的值为 ．
17．如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，在反比例函数y＝的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…都在x轴上，则点A3的坐标是 ．
18．如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函数y＝（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2…An﹣1An，都在x轴上，则y1+y2+…+yn＝ ．
五．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）
19．图象经过点（1，2）的反比例函数是（ ）
A． B． C． D．y＝2x
20．如图，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P′．则在第一象限内，经过点P′的反比例函数图象的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x＞0） B．y＝（x＞0） C．y＝﹣（x＞0） D．y＝（x＞0）
21．一个函数具有性质：①它的图象经过点（﹣5，1）；②它的图象在二、四象限内；③在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则此函数的解析式可以为 ．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）
22．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣2）、B（1，2）两点，若＞k2x，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0或x＞1
C．﹣1＜x＜0 D．﹣1＜x＜1
23．如图，已知点A（0，8），B（4，8），且点B在双曲线y＝（k＞0）上，在AB的延长线上取一点C，过点C的直线交双曲线于点D，交x轴正半轴于点E，且CD＝DE，则线段CE长度的取值范围是（ ）
A．8≤CE＜4 B．8≤CE＜8 C．8＜CE＜8 D．8≤CE＜8
24．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象都经过点A（﹣1，2），若y1＞y2，则x的取值范围是 ．
25．如图，平行于x轴的直线分别与反比例函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0）的图象相交于M，N两点，点P为x轴上的一个动点，若△PMN的面积为2．则k1﹣k2的值为 ．
26．已知：点A（﹣1，﹣4）和P是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象的两个不同交点，点P关于y轴的对称点为P′，直线AP以及AP′分别与x轴交于点M和N．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）若PP′≥MN，求k的取值范围．
七．反比例函数综合题（共1小题）
27．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知P是x轴正半轴上一点，作PM⊥x轴交直线AB于点M，交双曲线于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，请写出点P的坐标．
八．反比例函数综合题（共1小题）
28．如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，过点C的直线y＝2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为，AB＝4．若函数y＝（x＜0）的图象过C点，则k＝ ．
参考答案与试题解析
一．反比例函数的图象（共2小题）
1．反比例函数与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故不可能是选项A、B；
由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故不可能是选项C，可能是选项D；
故选：D．
2．函数y＝和y＝﹣kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，B选项符合，A、C选项错误；
当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而增大，D错误；
故选：B．
二．反比例函数的性质（共1小题）
3．已知函数y＝，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，y随x的增大而减小；③若A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，且x1+x2＝0，则y1＝y2．其中说法正确的数（ ）
A．①③ B．② C．③ D．①②
【解答】解：∵|x|＞0，
∴y＞0，
∴该函数的图象在第一二象限，
且该函数的图象关于y轴对称，
∴①说法错误，
∵2＞0，
∴当x＞0时，y随着x的增大而减小，
又∵图象关于y轴对称，
∴当x＜0时，y随着x的增大而增大，
∴②说法错误，
当x1+x2＝0时，x1和x2关于y轴对称，
∴y1＝y2，
∴③说法正确，
故选：C．
三．反比例函数系数k的几何意义（共12小题）
4．如图，A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴S△ABC＝AB OB＝|x| |y|＝﹣xy＝2，
∴xy＝﹣4，
∵A是反比例函数y＝的图象上一点，
∴k＝xy＝﹣4，
故选：B．
5．如图，A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4
【解答】解：设A点的坐标是（a，b），则根据函数的对称性得出B点的坐标是（﹣a，﹣b），则AC＝2b，BC＝2a，
∵A点在y＝的图象上，
∴ab＝1，
∴△ABC的面积S＝＝＝2ab＝2×1＝2，
故选：A．
6．如图，点P，点Q都在反比例函数y＝的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q作x轴的垂线，交x轴于点A，△OAQ的面积为S2，若S1+S2＝3，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：由题意得S1＝|k|，，
则，
解得|k|＝2，
∵图象在二、四象，
∴k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：D．
7．如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若S阴影＝2，则S1+S2＝ 2 ．
【解答】解：∵点A，B是双曲线y＝上的点，
∴S1+S阴影＝S2+S阴影＝3，
∴S1+S2＝6﹣2S阴影＝6﹣4＝2．
故答案为2．
8．如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上一点E，D在x轴上，点E的纵坐标为1，若∠ODE＝120°，△ODE的面积是，则k的值是 ．
【解答】解：作EH⊥x轴于点H，则EH＝1，
∵S△ODE＝OD EH＝×OD×1＝，
∴OD＝，
∵∠ODE＝120°，
∴∠EDH＝60°，
∴tan60°＝，
∴DH＝＝＝，
∴OH＝OD+DH＝+＝，
∴E（，1），
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝yx＝1×＝．
9．如图，A，B是反比例函数y＝﹣图象上关于原点对称的两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积为 8 ．
【解答】解：如图，
∵A，B是反比例函数y＝﹣图象上关于原点对称的两点，AC∥y轴，BC∥x轴，
∴S△AOM＝S△BON＝|k|＝2，
∴S矩形OMCN＝2S△AOM＝4，
∴S△ABC＝2+2+4＝8，
故答案为：8．
10．如图， ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD∥x轴，当双曲线y＝经过点D时，则 ABCD面积为 6 ．
【解答】解：连接OD，
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∴S△AOD＝|k|＝，
∵O是AC的中点，
∴S△AOD＝S△COD，
∵ ABCD的对角线AC在y轴上，
∴S△ABC＝S△ACD＝S ABCD，
∴S ABCD＝4S△AOD＝6，
故答案为：6．
11．如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝ 6 ．
【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面积为，
∴5m 5n＝，
∴mn＝．
把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，
∴k＝9mn＝9×＝6．
故答案为6．
12．如图，在x轴上有一点A（3，0），点D是点A关于y轴的对称点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，连接BD，交反比例函数图象于点C，若OC∥AB，△ABD的面积是24．则k的值是 ﹣8 ．
【解答】解：作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，
∵点D为点A关于y轴对称点，
∴D坐标为（﹣3，0），
∴AD＝6，
∵S△ABD＝BE AD＝24，
∴BE＝8，
∵OC∥AB，
∴△DCO∽△DBA，
∴＝＝，
∵△OCF∽△ABE，
∴＝＝＝，
∴CF＝BE＝4，
∵B，C在图象上，
∴B（，8），C（，4），
∵AE＝3﹣，OF＝﹣，
∴，
解得k＝﹣8．
故答案为：﹣8．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共6小题）
13．若函数的图象经过点A（﹣1，2），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：把点A（﹣1，2）代入函数，
得：2＝，
解得：k＝﹣2．
故选：D．
14．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线y＝
k
x
（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（2，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
15．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，∠OAB＝90°，OA＝6，AB＝4．已知反比例函数y＝﹣（k＞0，k为常数）在第一象限的图象与线段OB交于点D（4，m），与线段AB交于点E，则点E的坐标为 （6，） ．
【解答】解：如图，作DF⊥OA，则∠DFO＝90°．
∵点D（4，m），
∴OF＝4，DF＝m，
∵∠DFO＝∠BAO＝90°，∠AOB＝∠FOD，
∴△ODF∽△OBA，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为（4，），
∴，
∴反比例函数y＝，
当x＝6时，y＝，
∴点E的坐标为（6，）．
故答案为（6，）．
16．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，∠BCD＝60°，则的值为 ．
【解答】解：连接AC，BD，如图，
∵菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，
又菱形与双曲线均为中心对称图形，
∴AC，BD经过点O．
∴AC⊥BD，AC平分∠BCD，
∵∠BCD＝60°，
∴∠OCB＝∠BCD＝30°．
∴tan∠OCB＝＝tan30°＝．
过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
由反比例函数比例系数k的几何意义可得：
k1，．
∵AC⊥BD，
∴∠BOE+∠EOC＝90°．
∵CF⊥x轴，
∴∠FCO+∠EOC＝90°．
∴∠BOE＝∠FCO．
∵∠BEO＝∠OFC＝90°，
∴△OBE∽△COF，
∴＝．
∴＝．
∴＝﹣．
故答案为：﹣．
17．如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，在反比例函数y＝的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…都在x轴上，则点A3的坐标是 （4，0） ．
【解答】解：△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…都在x轴上，
设P1（a1，a1）
则a1a1＝4，解得a1＝2，
∴A1（2a1，0）即A1（4，0），
设P2（4+a2，a2）
则a2（4+a2）＝4，解得a2＝2﹣2
∴A2（4+2a2，0）即A2（4，0）
设P3（4+a3，a3）
则a3（4+a3）＝4，解得a3＝2﹣2，
∴A3（4+2a3，0）即A3（4，0），
故答案为（4，0）．
18．如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函数y＝（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2…An﹣1An，都在x轴上，则y1+y2+…+yn＝ 3 ．
【解答】解：如图，过P1，P2，P3…Pn，分别作x 轴的垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q3，…Qn，
∵△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，
∴OQ1＝P1Q1＝Q1A1＝y1，
A1Q2＝P2Q2＝Q2A2＝y2，
A2Q3＝P3Q3＝Q3A3＝y3，
……
An﹣1Qn＝PnQn＝QnAn＝yn，
于是P1（y1，y1），P2（2y1+y2，y2），P3（2y1+2y2+y3，y3），……Pn（2yi+2y2+2y3+…+2yn﹣1+yn，yn），
将P1（y1，y1）代入反比例函数y＝得，
y1 y1＝9，解得y1＝3，
因此P2（6+y2，y2），
将P2（2y1+y2，y2），y1＝3，代入反比例函数y＝得，
（6+y2） y2＝9，
解得y2＝3﹣3，
同理将P3（2y1+2y2+y3，y3），P4（2y1+2y2+2y3+y4，y4），……代入反比例函数关系式可求得，
y3＝3﹣3，
y4＝3﹣3＝6﹣3，
y5＝3﹣3＝3﹣6，
……
所以y1+y2+…+yn＝3+3﹣3+3﹣3+…+3﹣3＝3，
故答案为：3．
五．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）
19．图象经过点（1，2）的反比例函数是（ ）
A． B． C． D．y＝2x
【解答】解：设反比例函数的解析式为：y＝，
把点（1，2）代入y＝中得：
2＝，
解得：k＝2，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
故选：B．
20．如图，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P′．则在第一象限内，经过点P′的反比例函数图象的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x＞0） B．y＝（x＞0） C．y＝﹣（x＞0） D．y＝（x＞0）
【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），函数经过点P′（4，），
∴＝，得k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝．
故选：D．
21．一个函数具有性质：①它的图象经过点（﹣5，1）；②它的图象在二、四象限内；③在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则此函数的解析式可以为 ．
【解答】解：∵函数的图象在二、四象限内；在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大；
∴此函数为反比例函数，
∵它的图象经过点（﹣5，1）；
设该反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
把（﹣5，1）代入得1＝﹣，
k＝﹣5，
故此函数的解析式可以为y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）
22．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣2）、B（1，2）两点，若＞k2x，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0或x＞1
C．﹣1＜x＜0 D．﹣1＜x＜1
【解答】解：由图象得：
若＞k2x，则x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1，
故选：A．
23．如图，已知点A（0，8），B（4，8），且点B在双曲线y＝（k＞0）上，在AB的延长线上取一点C，过点C的直线交双曲线于点D，交x轴正半轴于点E，且CD＝DE，则线段CE长度的取值范围是（ ）
A．8≤CE＜4 B．8≤CE＜8 C．8＜CE＜8 D．8≤CE＜8
【解答】解：∵A（0，8），B（4，8），
∴AB∥x轴．
∵点B在双曲线y＝（k＞0）上，
∴8＝．
∴k＝32．
过点D作DF⊥OA于点F，如图，
则DF∥AB．
∵A（0，8），
∴OA＝8．
∵CD＝DE，
∴AF＝OF＝＝4，
∴点D的纵坐标为4，
∵点D在在双曲线y＝上，
∴x＝8．
∴D（8，4）．
当EC⊥x轴时，此时EC最小，EC＝OA＝8；
当点E与点O重合时，此时EC最大，
∵CD＝DE，
∴点C（16，8）．
∴EC＝8．
∵点E在x轴正半轴，
∴8≤EC＜8，
故选：D．
24．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象都经过点A（﹣1，2），若y1＞y2，则x的取值范围是 ﹣1＜x＜0或x＞1 ．
【解答】解：根据反比例函数与正比例函数交点规律：两个交点坐标关于原点对称，可得另一交点坐标为（1，﹣2），
由图象可得在点A的右侧，y轴的左侧以及另一交点的右侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值；
则﹣1＜x＜0或x＞1．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1．
25．如图，平行于x轴的直线分别与反比例函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0）的图象相交于M，N两点，点P为x轴上的一个动点，若△PMN的面积为2．则k1﹣k2的值为 4 ．
【解答】解：连接OM，ON，设MN与y轴交于点A，
∵点M在反比例函数y1＝的图象上，点N在反比例函数y2＝的图象上，
∴△MAO的面积＝|k1|，△NAO的面积＝|k2|，
∵MN∥x轴，
∴△PMN的面积＝△MNO的面积，
∴|k1|+|k2|＝2，
∴|k1|+|k2|＝4，
∵k1＞0，k2＜0，
∴k1﹣k2＝4，
故答案为：4．
26．已知：点A（﹣1，﹣4）和P是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象的两个不同交点，点P关于y轴的对称点为P′，直线AP以及AP′分别与x轴交于点M和N．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）若PP′≥MN，求k的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，﹣4）代入反比例函数y＝，
得m＝4，
∴y与x的函数关系式为：y＝；
（2）过点A作AC⊥PP′于点C，交x轴于点B，
如图1，
∵MN∥PP′，AC⊥MN，
∴△AMN∽△APP'，
∴＝＝，
∴AC＝6，
∴BC＝AC﹣AB＝6﹣4＝2，
得P（2，2），
将A（﹣1，﹣4）和P（2，2）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
直线AP表达式为y＝2x﹣2，
当PP′≥MN时，k≥2；
如图2，
∵MN∥PP′，AC⊥MN，
∴△AMN∽△APP'，
∴＝＝，
∴AC＝6，
∴BC＝AC+AB＝6+4＝10，
得P（﹣，﹣10），
将A（﹣1，﹣4）和P（﹣，﹣10）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
直线AP表达式为y＝﹣10x﹣14，
当PP′≥MN时，k≤﹣10．
所以k的取值范围是：k≥2或k≤﹣10．
七．反比例函数综合题（共1小题）
27．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知P是x轴正半轴上一点，作PM⊥x轴交直线AB于点M，交双曲线于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，请写出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣2，
故A（﹣2，0），C（0，1），
∵CO⊥x轴于点O，BE⊥x轴于点E，
∴CO∥BE，
∴△AOC∽△AEB，
∵AC＝BC，
∴AO＝OE＝2，
即B点横坐标为：2，
则y＝×2+1＝2，
∴B（2，2），
∴把B点代入y＝（k≠0），
解得：xy＝4，
即y＝；
（2）如图2，由题意可得：CO∥MN，只有CO＝MN时，O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
当P点在B点右侧或D点右侧时，设P（a，0），则N（a，），M（a，a+1），
故MN＝a+1﹣＝CO＝1，
解得：a＝±2；
当P点在B点左侧或D点左侧时，设P（a，0），则N（a，），M（a，a+1），
故MN＝﹣（a+1）＝CO＝1，
解得：a＝﹣2+2或﹣2﹣2，
综上所述，P点坐标为（2，0）或（﹣2，0）或（﹣2+2，0）或（﹣2﹣2，0）．
八．反比例函数综合题（共1小题）
28．如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，过点C的直线y＝2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为，AB＝4．若函数y＝（x＜0）的图象过C点，则k＝ ﹣4 ．
【解答】解：连接AC，则AC⊥AB
在直角三角形ABC中，AB＝4，BC＝2
∴AC＝2
∵OP⊥AB，AC⊥AB
∴AC∥OP
∵BP＝PC，AB＝4
∴OA＝OB＝2
∴C的坐标为（﹣2，2），将C的坐标代入y＝（k＜0）中，可得k＝xy＝（﹣2）×2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
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