第三章 圆的“三大定理”专项训练（含解析）

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九年级数学圆的“三大定理”
一．切割线定理
1．已知如图，P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，过P，O两点作⊙O的割线交⊙O于A、B两点，且PC＝4cm，PA＝3cm，则⊙O的半径R＝　 　cm．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连接BD，若BC＝﹣1，则AC＝　 　．
3．如图，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．
（1）求证：；
（2）计算CD CB的值，并指出CB的取值范围．
4．如图，⊙O的直径AB＝10，弦DE⊥AB于点H，AH＝2．
（1）求DE的长；
（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，若PC＝2，求PD的长．
5．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线．若PA＝8cm，PB＝4cm，则⊙O的直径为（　　）
A．6cm B．8cm C．12cm D．16cm
二．弦切角定理
6．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝　 　度，∠ACB＝　 　度．
8．如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D，若AC为∠BAD的平分线．
求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）AC2＝AB AD．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C，AE⊥CE且交⊙O于点D．
求证：（1）DC＝BC；
（2）BC2＝AB DE．
10．如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
三．相交弦定理
11．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝16cm，AB＝20cm，求AE的长．
12．已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B＝∠ACB＝30°，弦AD交BC于E，AE＝2，ED＝4，则⊙O的半径为　 　．
13．如图：若弦BC经过圆O的半径OA的中点P，且PB＝3，PC＝4，则圆O的直径为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
14．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点，如果BD∥CF，BC＝2，则线段CD的长为　 　．
15．如图在⊙O中，弦AB、CD交于点P，如果CP＝6，DP＝3，AB＝11，则AP＝　 　．
四．圆的最值问题
16．如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（　　）
A． B． C． D．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，以A为圆心，2为半径作⊙A，M是⊙A上一动点，取线段BM的中点N，连接CN，则CN长度的最大值为 　 　．
参考答案与试题解析
一．试题（共20小题）
1．已知如图，P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，过P，O两点作⊙O的割线交⊙O于A、B两点，且PC＝4cm，PA＝3cm，则⊙O的半径R＝　　cm．
【解答】解：∵PC是切线，
∴PC2＝PA PB；
又∵PC＝4，PA＝3，
∴16＝3（3+AB），
∴AB＝，
∴半径R＝．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连接BD，若BC＝﹣1，则AC＝　2　．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝72°，BC是⊙O的切线，
∴∠CBD＝∠BAC＝36°，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∴AD＝BD＝BC；
又∵BC是切线，
∴BC2＝CD AC，
∴BC2＝（AC﹣BC） AC（设AC＝x），则可得到：（x﹣）2＝，
解得：x1＝2，x2＝（x2＜0不合题意，舍去）．
∴AC＝2．
3．如图，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．
（1）求证：；
（2）计算CD CB的值，并指出CB的取值范围．
【解答】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴；
（2）解：∵直径AE＝8，OC＝12，
∴AC＝12+4＝16，CE＝12﹣4＝8．
又∵＝，
∴CD CB＝AC CE＝16×8＝128．
连接OB，在△OBC中，OB＝AE＝4，OC＝12，
故BC的范围是：8≤BC≤16．
4．如图，⊙O的直径AB＝10，弦DE⊥AB于点H，AH＝2．
（1）求DE的长；
（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，若PC＝2，求PD的长．
【解答】解：（1）∵直径AB＝10，弦DE⊥AB于点H，
∴DH＝EH，
∴DH EH＝AH BH＝16，
∴DH＝4，
∴DE＝8；
（2）∵PC切⊙O于点C，
∴PC2＝PD PE，
∵PC＝2，
∴PD＝2，或PD＝﹣10（舍去），
∴PD＝2．
5．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线．若PA＝8cm，PB＝4cm，则⊙O的直径为（　　）
A．6cm B．8cm C．12cm D．16cm
【解答】解：∵PA2＝PB PC，PA＝8cm，PB＝4cm，
∴PC＝16cm，
∴BC＝12cm．
故选：C．
6．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE＝40°，
∴∠A＝∠CBE＝40°．
故选：B．
7．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝　60　度，∠ACB＝　30　度．
【解答】解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；
由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．
8．如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D，若AC为∠BAD的平分线．
求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）AC2＝AB AD．
【解答】证明：（1）连接BC，
AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB．
又CD切⊙O于点C，
∴∠ACD＝∠B（弦切角定理）．
∵AD⊥CD，
∴∠ACD+∠DAC＝90°．
即∠B+∠CAB＝90°，∴∠BCA＝90°．
∴AB是⊙O的直径（90°圆周角所对弦是直径）．
（2）∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠CAB，
∴△ACD∽△ABC．
∴．
∴AC2＝AB AD．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C，AE⊥CE且交⊙O于点D．
求证：（1）DC＝BC；
（2）BC2＝AB DE．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵CE切圆O于点C，
∴∠ECO＝90°，
∴∠E＝∠ECO＝90°，
∴AE∥CO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴弧DC＝弧BC，
∴DC＝BC．
（2）∵弧DC＝弧BC，CE切⊙O于C，
∴∠DCE＝∠BAC．
又AB是⊙O直径，
∴∠CED＝∠ACB＝90°．
∴△DCE∽△BCA即＝，而DC＝BC．
∴BC2＝AB DE．
10．如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：∵BD切⊙O于点B，
∴∠DBC＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．
故选：D．
11．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝16cm，AB＝20cm，求AE的长．
【解答】解：根据垂径定理可知CE＝8cm，
根据相交弦定理可得：
64＝BE×AE＝（AB﹣AE）×AE
解方程得：AE＝16（cm）．
12．已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B＝∠ACB＝30°，弦AD交BC于E，AE＝2，ED＝4，则⊙O的半径为　2　．
【解答】解：连接OA，OC，AO交BC于点F，则OA＝OC，∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
由圆周角定理知，∠O＝2∠D＝60°，
所以等腰△OAC是等边三角形，
有AB＝AC＝OA，
∵∠B＝∠C，
∴AE⊥BC
∵AB＝AC，AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△ACE，
∴BE＝CE，∠AEB＝∠AEC，
∵∠AEB+∠AEC＝180°，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴BF2＝AB2﹣AF2，AF2+EF2＝AE2，
由相交弦定理知，BE CE＝AE ED＝8，
而BE CE＝（BF+EF）（BF﹣EF）＝BF2﹣EF2＝AB2﹣AF2﹣EF2＝AB2﹣AE2＝AB2﹣4＝8，
∴AB2＝12，
∴半径等于2．
13．如图：若弦BC经过圆O的半径OA的中点P，且PB＝3，PC＝4，则圆O的直径为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：延长AO交⊙O于点D，
设⊙O的半径是x，
根据相交弦定理，得＝12，x＝4，
因此⊙O的直径是8．
故选：B．
14．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点，如果BD∥CF，BC＝2，则线段CD的长为　　．
【解答】解：连接BF，
∵BD∥CF，
∴∠FCB＝∠DBC．
∵AB＝AC，
∴＝，＝，
∴∠BCD＝∠DBC，AD是BC的垂直平分线，
∴四边形DCFB是菱形，
∴∠FCB＝∠DCB，CE为等腰三角形FCD的顶角平分线．
设ED＝x，则AE＝5x，故x 5x＝（）2，
解得x＝1，x＝﹣1（舍去）．
根据勾股定理得：CD＝＝．
15．如图在⊙O中，弦AB、CD交于点P，如果CP＝6，DP＝3，AB＝11，则AP＝　2或9　．
【解答】解：根据相交弦定理，得：
AP PB＝CP DP
∵AB＝11
∴AP（11﹣AP）＝CP DP
∴AP2﹣11AP+18＝0
∴AP＝2或9．
16．如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．
由题意AB垂直平分线段OK，
∴AO＝AK，
∵OA＝OK，
∴OA＝OK＝AK，
∴∠OAK＝∠AOK＝60°．
∴AH＝OA sin60°＝4×＝2，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∴AB＝2AH＝4，
∵OC+OH≥CT，
∴CT≤4+2＝6，
∴CT的最大值为6，
∴△ABC的面积的最大值为××6＝12，
故选：A．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，以A为圆心，2为半径作⊙A，M是⊙A上一动点，取线段BM的中点N，连接CN，则CN长度的最大值为 　+1　．
【解答】解：如图，取AB的中点D，连接DN，CD．
∵∠ABC＝90°，AC＝4，BC＝2，
∴AB＝，
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD＝AB＝，
∵AD＝BD，MN＝BN，
∴DN＝＝1，
∴CN≤CD+DN，
∴CN≤，
∴CN的最大值为．
故答案为．
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