高中数学人教A版（2019）6.1平面向量的概念强化训练1（Word含答案解析）

高中数学人教A版（2019）6.1强化训练1
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．在中，若，且，则的形状为
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
2．过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
3．已知两个不相等的非零向量与，两组向量，，，，和，，，，均有2个和3个按照某种顺序排成一列所构成，记，且表示所有可能取值中的最小值，有以下结论：①有5个不同的值；②若，则与无关；③ 若∥，则与无关；④ 若，则；⑤若，且，则与的夹角为；正确的结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．②③ D．①⑤
4．点D为内一点，且，则=
A． B． C． D．
5．为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．点在所在的平面内，，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．有下列说法其中正确的说法为
A．若，，则：
B．若，，分别表示，的面积，则；
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向；
D．若，则存在唯一实数使得
第II卷（非选择题）
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三、填空题
8．设向量满足，，，．若，则的最大值是________．
9．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
10．已知是两个非零向量，且，，则的最大值为_____．
11．如图，已知的面积为，分别为边，上的点，且，交于点，则的面积为 _____.
四、解答题
12．对于数集,其中,.定义向量集.若对于任意,存在,使得,则称具有性质.例如具有性质.
（1）若,且具有性质,求的值;
（2）若具有性质,求证:,且当时,.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】
由题中，结合三角形图像找准向量夹角，得出基本关系式，再根据几何关系进行求解
【详解】
如图所示.
，
，
.
∵，∴.作于，则，∴，
∴为的中点，∴.
同理可证，∴为等边三角形.
答案选A
【点睛】
个别设及三角形形状题型，可先进行预判，再想法设法去进行证明比如此题，可先预判为等边三角形，再进行证明，对于复杂的几何问题，需要借助图形来辅助求解
2．B
【分析】
本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.
【详解】
本题采用特殊位置法较为简单.
因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.
如图：
则有直线AM经过BC的中点，
同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，
所以点是的重心，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量在三角形中的应用，采用了特殊位置法，属于难题.
3．B
【分析】
按照中的对数分3种情况,求出的值:共3个值,故①不正确;作差比较可得最小,再逐个分析②③④⑤可得.
【详解】
当有零对时,;
当有2对时,;
当有4对时,;
所以有3个不同的值,所以①不正确;
因为,
,
因为,所以,
所以,所以,
对于②,因为,所以,则与无关,只与有关,所以②正确;
对于③,当时,设,则与有关,所以③不正确;
对于④,设与的夹角为,因为,所以 ,所以,故④正确;
对于⑤,因为,所以,因为,所以,所以, 因为,所以,所以与的夹角为,故⑤不正确.
故选.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想,平面向量的数量积和夹角,向量共线和垂直,属于难题.
4．D
【详解】
分别延长至 ，使得 ，则 ，则 ， ， ，故选D.
5．B
【分析】
将变形为，因为和的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.
【详解】
因为和分别是和的单位向量
所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量
所以的方向与的角平分线重合
即射线过的内心
故选B
【点睛】
本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题.
6．D
【分析】
确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.
【详解】
由可知，点为外心，
则，，又，
所以①
因为，②
联立方程①②可得，，，因为，
所以，即．
故选：
【点睛】
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
7．BC
【分析】
A选项错误，例如，推不出，B选项利用向量可确定O点位置，可知O到AC的距离等于B到AC距离的,故正确，C选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为，结论正确，D选项错误，例如.
【详解】
A选项错误，例如，推不出，B选项,设AC的中点为M, BC的中点为D, 因为，所以,即,所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知正确，C选项两边平方可得 ，所以，即夹角为，结论正确，D选项错误，例如. 故选B C.
【点睛】
本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.
8．
【解析】
【分析】
令，计算出模的最大值即可，当与同向时的模最大．
【详解】
令，则，因为，所以当，，因此当与同向时的模最大，
【点睛】
本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析．
9．.
【分析】
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【点睛】
本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
10．
【分析】
构造，从而可知，于是的最大值可以利用基本不等式得到答案.
【详解】
由题意，令，所以，，所以，所以，所以，当且仅当，且时取等号.故答案为.
【点睛】
本题主要考查平面向量的几何意义，模，基本不等式等知识，考查学生的运算求解能力，难度较大.
11．4
【解析】
【分析】
以，建立一组基底向量，再利用点与点分别共线的性质表示出，建立二元一次方程，再采用间接法，根据求出答案，属于难题
【详解】
设，以，为一组基底，则.
∵点与点分别共线，
∴存在实数和，使.
又∵，
∴解得
∴，
∴.
【点睛】
复杂的三角形线段关系问题，借鉴向量法进行求解时，还是需要根据向量基底进行基础运算，如本题中面积问题最终转化成线段比例问题，在处理正面入手不好解决的问题时，可从对立面入手，采用间接法来进行求解
12．（1）4；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）在中取,，根据数量积的坐标公式，
结合，可得．
（2）取,设,根据，化简可得，所以 异号．而-1是数集中唯一的负数，所以 中的负数必为-1，另一个数是1，从而证出 ，最后通过反证法，可以证明出当当时,.
试题解析：
（1）因为,选取,,由得,则.
（2）取,设,
由得,则,则和中有一个数是,
则和中有一个数是,即,
假设,则,再取,,则,
所以和异号,且其中一个值为,
若,则,矛盾;
若,则,矛盾;
则假设不成立,可得当时,.
答案第1页，共2页
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