2021-2022学年鲁教版八年级数学下册6.3正方形的性质与判定 同步练习题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版八年级数学下册6.3正方形的性质与判定 同步练习题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 429.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-05 11:42:25 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步练习题（附答案）
1．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
A． B． C．4.5 D．4.3
2．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为2，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）
A．2﹣2 B．2 C．3﹣1 D．2
5．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，设AB＝a．得到以下结论：
①BE⊥CF；②AP＝a；③CP＝a
则上述结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM．其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，则当MN＝4，AN＝3时，正方形ABCD的边长为（ ）
A． B．5 C．5 D．
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形 B．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB＝90°时，四边形ABCD是正方形
8．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．若∠BAC≠45°，则四边形ADEG是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形
C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形
D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形
9．如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形； ②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，已知：PA＝2，PB＝4，以AB为边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为 ．
12．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F在边BC上，且BE＝CF＝﹣1，在边AB或CD上有一点P，若∠EPF＝30°，则PE的长为 ．
13．正方形ABCD中，AB＝2，点P为射线BC上一动点，BE⊥AP，垂足为E，连接DE、DP，当点P为BC中点时，S△ADE＝ ；在点P运动的过程中，的最小值为 ．
14．已知：正方形ABCD中，E为BC的中点，BP＝2AP，F为AD上一点，EF交CP于O，∠POF＝45°，若△APF的面积为，则线段EF的长为 ．
15．如图，P为正方形ABCD的边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，若正方形的边长为2，则CE＝ ．
16．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH＝2，连接CF．
（1）当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）当△FCG的面积为2时，求CG的值．
18．如图所示，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P，若四边形ABCD的面积是36，求DP的长．
19．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝6，∠ABE＝45°，若AE＝5，求CE的长．
20．已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE．
求证：（1）EF＝FP＝PQ＝QE；
（2）四边形EFPQ是正方形．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，
∴∠CDF+∠DCH＝90°，
∴∠DHC＝∠DHE＝90°，
∵点G为DE的中点，
∴GH＝DE，
∵AD＝AB＝6，AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，
∴DE＝＝＝2，
∴GH＝．
故选：A．
2．解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵∠EPM＝∠EQN＝90°，
∴∠PEQ＝90°，
∴∠PEM+∠MEQ＝90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，
∴∠PEM＝∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN＝S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC＝2，
∵EC＝AE，
∴EC＝，
∴EP＝PC＝1，
∴正方形PCQE的面积＝EP2＝1．
故选：D．
3．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：
∴∠BAF＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF＝EG，
即：EF＝EG＝ED+DG，
∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，
∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，
∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：
EF2＝CE2+CF2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
即BF＝2，
故选：A．
4．解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，
在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点p是以AP为半径的圆上远动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝4，
∴OP＝OB＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；
故选：A．
5．解：在△CDF和△BCE中
∴△CDF≌△BCE（SAS）
∴∠CEB＝∠CFD
∵∠DCF+∠CFD＝90°
∴∠DCF+∠CEB＝90°
∴∠EPC＝90°
∴①正确；
如图延长CF交BA延长线于点M，
在△CFD和△MFA中
∴△CFD≌△MFA（ASA）
∴CD＝MA＝AB＝a，
∵BP⊥CF
∴AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，即AP＝BM＝×2a＝a，
∴②正确；
∵CP⊥BE
∴CP×BE＝CE×BC＝
∵BE＝＝＝
∴CP＝＝＝
∴③正确
故选：D．
6．解：如图所示，连接CN、DM、AC，
∵点C关于直线DE的对称点为M，
∴CN＝MN，CD＝DM，
∴∠NCM＝∠NMC，∠DCM＝∠DMC，
∴∠DCN＝∠DMN，
在正方形ABCD中，AD＝CD，
∴AD＝DM，
∴∠DAM＝∠DMN，
∴∠DCN＝∠DAM，
∵∠ACN+∠CAN＝∠DCA﹣∠DCN+∠CAD+∠DAM＝∠DCA+∠CAD＝90°，
∴∠ANC＝180°﹣90°＝90°，
∴△ACN是直角三角形，
∴AC＝＝＝5，
∴正方形ABCD的边长＝AC＝．
故选：D．
7．解：①由矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知，A正确；
②由菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知，B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④在平行四边形ABCD中，
∵∠DAB＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，而不能判定其是正方形，故D错误；
故选：D．
8．解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°
＝225°﹣∠BAC，
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，
∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
∵四边形ADEG是平行四边形，
∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；
C、∵四边形ADEG是平行四边形，
∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．
∵AD＝AB，
∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；
D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，
∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，
∴四边形ADEG是正方形，
即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；故①正确；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝CE+CG＝AD，故③错误；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
故①正确；
∵∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°，
故②正确；
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG＝FG，
故③正确；
∵∠ECF＝90°，EG＝FG，
∴CG＝EF，
设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，
∴CG＝EF＝x＝CE，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
11．解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图，
∴AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴∠APF＝45°，PF＝AP＝2，
∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，
在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2，
∴由勾股定理得FB＝＝＝2，
∴PD＝2，
故答案为：2．
12．解：如图，连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，过点O作OH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，OA＝OB＝OC＝OD，
∵OH⊥BC，
∴OH＝BH＝CH＝，
∴EH＝BH﹣BE＝1，
∴OE＝2．
同理可得：OF＝2，
又∵EF＝BC﹣BE﹣CF＝2，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EOF＝60°，
以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，分别交AB于点P1，P2，交CD于点P3，P4，
则∠EP1F＝∠EP2F＝∠EP3F＝∠EP4F＝∠EOF＝30°，
∵OE＝OF，OH⊥BC，
∴EH＝FH＝1，
∴BE＝CF＝BH﹣EH＝﹣1，
同理：AP2＝BP1＝BE＝CF＝CP4＝DP3＝﹣1，
①当∠EP1F＝30°时，
在Rt△P1BE中，∵BP1＝BE＝﹣1，
∴P1E＝BE＝﹣；
②当∠EP2F＝30°时，
在Rt△P2BE中，BP2＝AB﹣AP2＝+1，
则P2E＝＝2；
③当∠EP3F＝30°时，
在Rt△P3CE中，CP3＝CE＝+1，
∴P3E＝CE＝+；
④当∠EP4F＝30°时，
在Rt△P4CE中，CP4＝﹣1，CE＝+1，
则P4E＝＝2．
综上，PE＝﹣或2或+．
故答案为：﹣或2或+．
13．解：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠BAD＝∠EFD＝90°，
∴EF∥AB，
∴∠BAP＝∠AEF＝∠BAE，
∵点P为BC中点，
∴BP＝AB＝1，
∴AP＝＝，
∴＝＝，
∴AE＝，
∴EF＝，
∴S△ADE＝AD EF＝×2×＝；
如图，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，取AG的中点H，连接HD、HP，
由旋转的性质，得：AG＝AP，∠1＝∠2，∠ADG＝∠ABP＝90°，
∴∠2+∠3＝∠1+∠3＝90°，AH＝HD＝AP，
∵AH2+AP2＝HP2，
∴HP＝AP，
∵HD+DP≥HP，
∴AP+DP≥AP，
∴DP≥AP，
∴的最小值为．
故答案为：； ．
14．解：如图：过E作EM⊥OC，垂足为M，
过点O作ON⊥BC，垂足为N，
过点F作FP⊥BC，垂足为G，设EM＝x，
∴∠CME＝∠CBP＝90°，
∴CM＝x，
又∵∠EOC＝∠POF＝45°，
∴OM＝x，OE＝x，
∴OC＝OM+CM＝x，CE＝＝x，
∴正方形的边长为2CE＝x，
∴AP＝x，
在△COE中，S△COE＝OC BM＝ON EC，
解得：ON＝x，
∴NE＝＝x，
∵ON⊥BC，GF⊥BC，
∴ON∥FG，
∴EG＝x，
∴BG＝BE﹣EG＝（）x＝x，
∵AB∥FPGAF∥BG，
∴四边形ABGF为矩形，
∴AF＝BG＝x，
∴S△APF＝AP AF＝ x x＝，
解得：x＝，
∴EF＝××＝．
故答案为：．
15．解：如图，过C作CH⊥AE于H，
∵AG＝GE，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝BEA，
∵BG⊥AE，
∴∠BGP＝∠CHP＝90°，
∵P为BC的中点，
∴BP＝CP，
在△BGP和△CHP中，
，
∴△BGP≌△CHP（AAS），
∴BG＝CH，∠GBP＝∠PCH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠ABC＝∠ABG+∠GBP＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠GBP＝∠BAG，
∴∠PCH＝∠BEP，
∴∠HCE＝∠HEC，
∴CH＝EH，
∵∠CHE＝90°，
∴CE＝CH，即CE＝BG，
在Rt△ABP中，AB＝2，BP＝BC＝1，
∴AP＝＝，
∵S△ABP＝AB BP＝AP BG，
∴BG＝＝，
∴CE＝×＝，
故答案为．
16．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
17．（1）证明：在矩形ABCD中，有∠A＝∠D＝90°，
∴∠DGH+∠DHG＝90°．
在菱形EFGH中，EH＝GH
∵AH＝2，DG＝2，
∴AH＝DG，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG（HL）．
∴∠AHE＝∠DGH．
∴∠AHE+∠DHG＝90°．
∴∠EHG＝90°．
∴四边形EFGH是正方形．
（2）过F作FM⊥DC于M，则∠FMG＝90°．
∴∠A＝∠FMG＝90°．连接EG．
由矩形和菱形性质，知AB∥DC，HE∥GF，
∴∠AEG＝∠MGE，∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF．
∵EH＝GF，
∴△AEH≌△MGF．
∴FM＝AH＝2．
∵S △FCG＝，
∴CG＝2．
18．解：作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，
∵DP⊥AB，ABC＝90°，
∴四边形BEDP为矩形，
∴∠PDE＝90°，即∠CDE+∠PDC＝90°，
∵∠ADC＝90°，即∠ADP+∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE，
∴DP＝DE，S△ADP＝S△CDE，
∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD＝S矩形BEDP，
∴DP2＝36，
∴DP＝6．
19．解：如图，过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F，
∵AD∥BC，∠D＝90°，BC＝CD，
∴四边形BCDF是正方形，
把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，
则CE＝FG，BE＝BG，∠CBE＝∠FBG，
∵∠ABE＝45°，
∴∠ABG＝∠ABF+∠FBG＝∠ABF+∠CBE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ABE＝∠ABG，
在△ABE和△ABG中，
，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AE＝AG，
∴AF+CE＝AF+FG＝AG＝AE，
设CE＝x，则DE＝6﹣x，AF＝5﹣x，
∴AD＝6﹣（5﹣x）＝x+1，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，
即（x+1）2+（6﹣x）2＝52，
整理得，x2﹣5x+6＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
所以CE的长度是2或3．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝BP＝CQ＝DE，
∴DF＝CE＝BQ＝AP，
在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，
，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），
∴EF＝FP＝PQ＝QE；
（2）∵EF＝FP＝PQ＝QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∵△APF≌△BQP，
∴∠AFP＝∠BPQ，
∵∠AFP+∠APF＝90°，
∴∠APF+∠BPQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴四边形EFPQ是正方形．
1．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
A． B． C．4.5 D．4.3
2．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为2，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）
A．2﹣2 B．2 C．3﹣1 D．2
5．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，设AB＝a．得到以下结论：
①BE⊥CF；②AP＝a；③CP＝a
则上述结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM．其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，则当MN＝4，AN＝3时，正方形ABCD的边长为（ ）
A． B．5 C．5 D．
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形 B．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB＝90°时，四边形ABCD是正方形
8．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．若∠BAC≠45°，则四边形ADEG是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形
C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形
D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形
9．如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形； ②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，已知：PA＝2，PB＝4，以AB为边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为 ．
12．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F在边BC上，且BE＝CF＝﹣1，在边AB或CD上有一点P，若∠EPF＝30°，则PE的长为 ．
13．正方形ABCD中，AB＝2，点P为射线BC上一动点，BE⊥AP，垂足为E，连接DE、DP，当点P为BC中点时，S△ADE＝ ；在点P运动的过程中，的最小值为 ．
14．已知：正方形ABCD中，E为BC的中点，BP＝2AP，F为AD上一点，EF交CP于O，∠POF＝45°，若△APF的面积为，则线段EF的长为 ．
15．如图，P为正方形ABCD的边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，若正方形的边长为2，则CE＝ ．
16．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH＝2，连接CF．
（1）当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）当△FCG的面积为2时，求CG的值．
18．如图所示，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P，若四边形ABCD的面积是36，求DP的长．
19．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝6，∠ABE＝45°，若AE＝5，求CE的长．
20．已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE．
求证：（1）EF＝FP＝PQ＝QE；
（2）四边形EFPQ是正方形．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，
∴∠CDF+∠DCH＝90°，
∴∠DHC＝∠DHE＝90°，
∵点G为DE的中点，
∴GH＝DE，
∵AD＝AB＝6，AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，
∴DE＝＝＝2，
∴GH＝．
故选：A．
2．解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵∠EPM＝∠EQN＝90°，
∴∠PEQ＝90°，
∴∠PEM+∠MEQ＝90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，
∴∠PEM＝∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN＝S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC＝2，
∵EC＝AE，
∴EC＝，
∴EP＝PC＝1，
∴正方形PCQE的面积＝EP2＝1．
故选：D．
3．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：
∴∠BAF＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF＝EG，
即：EF＝EG＝ED+DG，
∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，
∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，
∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：
EF2＝CE2+CF2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
即BF＝2，
故选：A．
4．解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，
在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点p是以AP为半径的圆上远动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝4，
∴OP＝OB＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；
故选：A．
5．解：在△CDF和△BCE中
∴△CDF≌△BCE（SAS）
∴∠CEB＝∠CFD
∵∠DCF+∠CFD＝90°
∴∠DCF+∠CEB＝90°
∴∠EPC＝90°
∴①正确；
如图延长CF交BA延长线于点M，
在△CFD和△MFA中
∴△CFD≌△MFA（ASA）
∴CD＝MA＝AB＝a，
∵BP⊥CF
∴AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，即AP＝BM＝×2a＝a，
∴②正确；
∵CP⊥BE
∴CP×BE＝CE×BC＝
∵BE＝＝＝
∴CP＝＝＝
∴③正确
故选：D．
6．解：如图所示，连接CN、DM、AC，
∵点C关于直线DE的对称点为M，
∴CN＝MN，CD＝DM，
∴∠NCM＝∠NMC，∠DCM＝∠DMC，
∴∠DCN＝∠DMN，
在正方形ABCD中，AD＝CD，
∴AD＝DM，
∴∠DAM＝∠DMN，
∴∠DCN＝∠DAM，
∵∠ACN+∠CAN＝∠DCA﹣∠DCN+∠CAD+∠DAM＝∠DCA+∠CAD＝90°，
∴∠ANC＝180°﹣90°＝90°，
∴△ACN是直角三角形，
∴AC＝＝＝5，
∴正方形ABCD的边长＝AC＝．
故选：D．
7．解：①由矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知，A正确；
②由菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知，B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④在平行四边形ABCD中，
∵∠DAB＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，而不能判定其是正方形，故D错误；
故选：D．
8．解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°
＝225°﹣∠BAC，
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，
∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
∵四边形ADEG是平行四边形，
∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；
C、∵四边形ADEG是平行四边形，
∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．
∵AD＝AB，
∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；
D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，
∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，
∴四边形ADEG是正方形，
即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；故①正确；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝CE+CG＝AD，故③错误；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
故①正确；
∵∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°，
故②正确；
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG＝FG，
故③正确；
∵∠ECF＝90°，EG＝FG，
∴CG＝EF，
设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，
∴CG＝EF＝x＝CE，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
11．解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图，
∴AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴∠APF＝45°，PF＝AP＝2，
∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，
在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2，
∴由勾股定理得FB＝＝＝2，
∴PD＝2，
故答案为：2．
12．解：如图，连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，过点O作OH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，OA＝OB＝OC＝OD，
∵OH⊥BC，
∴OH＝BH＝CH＝，
∴EH＝BH﹣BE＝1，
∴OE＝2．
同理可得：OF＝2，
又∵EF＝BC﹣BE﹣CF＝2，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EOF＝60°，
以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，分别交AB于点P1，P2，交CD于点P3，P4，
则∠EP1F＝∠EP2F＝∠EP3F＝∠EP4F＝∠EOF＝30°，
∵OE＝OF，OH⊥BC，
∴EH＝FH＝1，
∴BE＝CF＝BH﹣EH＝﹣1，
同理：AP2＝BP1＝BE＝CF＝CP4＝DP3＝﹣1，
①当∠EP1F＝30°时，
在Rt△P1BE中，∵BP1＝BE＝﹣1，
∴P1E＝BE＝﹣；
②当∠EP2F＝30°时，
在Rt△P2BE中，BP2＝AB﹣AP2＝+1，
则P2E＝＝2；
③当∠EP3F＝30°时，
在Rt△P3CE中，CP3＝CE＝+1，
∴P3E＝CE＝+；
④当∠EP4F＝30°时，
在Rt△P4CE中，CP4＝﹣1，CE＝+1，
则P4E＝＝2．
综上，PE＝﹣或2或+．
故答案为：﹣或2或+．
13．解：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠BAD＝∠EFD＝90°，
∴EF∥AB，
∴∠BAP＝∠AEF＝∠BAE，
∵点P为BC中点，
∴BP＝AB＝1，
∴AP＝＝，
∴＝＝，
∴AE＝，
∴EF＝，
∴S△ADE＝AD EF＝×2×＝；
如图，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，取AG的中点H，连接HD、HP，
由旋转的性质，得：AG＝AP，∠1＝∠2，∠ADG＝∠ABP＝90°，
∴∠2+∠3＝∠1+∠3＝90°，AH＝HD＝AP，
∵AH2+AP2＝HP2，
∴HP＝AP，
∵HD+DP≥HP，
∴AP+DP≥AP，
∴DP≥AP，
∴的最小值为．
故答案为：； ．
14．解：如图：过E作EM⊥OC，垂足为M，
过点O作ON⊥BC，垂足为N，
过点F作FP⊥BC，垂足为G，设EM＝x，
∴∠CME＝∠CBP＝90°，
∴CM＝x，
又∵∠EOC＝∠POF＝45°，
∴OM＝x，OE＝x，
∴OC＝OM+CM＝x，CE＝＝x，
∴正方形的边长为2CE＝x，
∴AP＝x，
在△COE中，S△COE＝OC BM＝ON EC，
解得：ON＝x，
∴NE＝＝x，
∵ON⊥BC，GF⊥BC，
∴ON∥FG，
∴EG＝x，
∴BG＝BE﹣EG＝（）x＝x，
∵AB∥FPGAF∥BG，
∴四边形ABGF为矩形，
∴AF＝BG＝x，
∴S△APF＝AP AF＝ x x＝，
解得：x＝，
∴EF＝××＝．
故答案为：．
15．解：如图，过C作CH⊥AE于H，
∵AG＝GE，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝BEA，
∵BG⊥AE，
∴∠BGP＝∠CHP＝90°，
∵P为BC的中点，
∴BP＝CP，
在△BGP和△CHP中，
，
∴△BGP≌△CHP（AAS），
∴BG＝CH，∠GBP＝∠PCH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠ABC＝∠ABG+∠GBP＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠GBP＝∠BAG，
∴∠PCH＝∠BEP，
∴∠HCE＝∠HEC，
∴CH＝EH，
∵∠CHE＝90°，
∴CE＝CH，即CE＝BG，
在Rt△ABP中，AB＝2，BP＝BC＝1，
∴AP＝＝，
∵S△ABP＝AB BP＝AP BG，
∴BG＝＝，
∴CE＝×＝，
故答案为．
16．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
17．（1）证明：在矩形ABCD中，有∠A＝∠D＝90°，
∴∠DGH+∠DHG＝90°．
在菱形EFGH中，EH＝GH
∵AH＝2，DG＝2，
∴AH＝DG，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG（HL）．
∴∠AHE＝∠DGH．
∴∠AHE+∠DHG＝90°．
∴∠EHG＝90°．
∴四边形EFGH是正方形．
（2）过F作FM⊥DC于M，则∠FMG＝90°．
∴∠A＝∠FMG＝90°．连接EG．
由矩形和菱形性质，知AB∥DC，HE∥GF，
∴∠AEG＝∠MGE，∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF．
∵EH＝GF，
∴△AEH≌△MGF．
∴FM＝AH＝2．
∵S △FCG＝，
∴CG＝2．
18．解：作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，
∵DP⊥AB，ABC＝90°，
∴四边形BEDP为矩形，
∴∠PDE＝90°，即∠CDE+∠PDC＝90°，
∵∠ADC＝90°，即∠ADP+∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE，
∴DP＝DE，S△ADP＝S△CDE，
∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD＝S矩形BEDP，
∴DP2＝36，
∴DP＝6．
19．解：如图，过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F，
∵AD∥BC，∠D＝90°，BC＝CD，
∴四边形BCDF是正方形，
把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，
则CE＝FG，BE＝BG，∠CBE＝∠FBG，
∵∠ABE＝45°，
∴∠ABG＝∠ABF+∠FBG＝∠ABF+∠CBE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ABE＝∠ABG，
在△ABE和△ABG中，
，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AE＝AG，
∴AF+CE＝AF+FG＝AG＝AE，
设CE＝x，则DE＝6﹣x，AF＝5﹣x，
∴AD＝6﹣（5﹣x）＝x+1，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，
即（x+1）2+（6﹣x）2＝52，
整理得，x2﹣5x+6＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
所以CE的长度是2或3．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝BP＝CQ＝DE，
∴DF＝CE＝BQ＝AP，
在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，
，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），
∴EF＝FP＝PQ＝QE；
（2）∵EF＝FP＝PQ＝QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∵△APF≌△BQP，
∴∠AFP＝∠BPQ，
∵∠AFP+∠APF＝90°，
∴∠APF+∠BPQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴四边形EFPQ是正方形．