2021-2022学年鲁教版八年级数学下册6.1菱形的性质与判定 同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》同步练习题（附答案）
1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有（　　）
A．对角线互相平分 B．两组对角相等
C．对角线互相垂直 D．两组对边平行
2．下面性质中菱形有而矩形没有的是（　　）
A．邻角互补 B．内角和为360°
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（1，3）
4．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是BC中点E，AD＝6cm，则OE的长为（　　）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
5．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2），将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣2）或（2，﹣2） B．（2，2）
C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）或（2，2）
6．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
7．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是菱形
8．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则周长是　 　cm．
9．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝10，AC＝16，那么菱形ABCD的面积为　 　．
10．菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OE长为　 　．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝　 　．
12．如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠ADO＝　 　．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝120°，则∠AOE＝　 　．
14．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是　 　．
15．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，求∠CDF的度数．
16．如图， ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是　 　，写出证明过程．（只需写出一个条件即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）．
17．已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN，DE＝DN．
（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若菱形ABCD的周长为20，BE＝3，求矩形BEDG的面积．
18．如图，过 ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．
19．定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD．
（1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：
性质1：　 　；性质2：　 　．
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．
20．如图1， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠ADC＝60°，BE＝2，求BD的长．
21．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求EF的长
参考答案
1．解：A、菱形、平行四边形的对角线互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，平行四边形的对角线互相平分，故C选项符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对边分别平行，故D选项不符合题意；
故选：C．
2．解：A、∵平行四边形的邻角互补，
∴矩形的邻角互补．故矩形和菱形的邻角均互补，故A错；
B、平行四边形的内角和为360，矩形内角和为360度．故矩形和菱形的内角和都是360°，故B错；
C、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直且平分，故C错；
D、菱形对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直．
故选：D．
3．解：∵连接AB交OC于点D，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB⊥OC，OD＝CD，AD＝BD，
∵点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，
∴OC＝6，BD＝AD＝1，
∴OD＝3，
∴点B的坐标为：（3，﹣1）．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝6cm，AC⊥BD，
∵E为CB的中点，
∴OE是直角△OBC的斜边上的中线，
∴OE＝BC＝3cm．
故选：C．
5．解：∵菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2），
∴AO＝＝4，tan∠AOB＝，即∠AOB＝60°，
又∵AO＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
分两种情况讨论：
如图所示，当点A在x轴正半轴上时，
过C作CD⊥AO于D，则OD＝CO＝2，CD＝，
∴点C的坐标为（﹣2，﹣2）；
如图所示，当点A在x轴负半轴上时，
过C作CD⊥AO于D，则OD＝CO＝2，CD＝，
∴点C的坐标为（2，2）；
综上所述，点C的对应点的坐标为（﹣2，﹣2）或（2，2），
故选：D．
6．解：由图形作法可知：AD＝AB＝DC＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：B．
7．解：A．根据菱形的判定方法对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知该命题不是真命题，故此选项错误；
B．根据菱形的判定方法，可知该命题是真命题，故此选项正确；
C．根据矩形的判定方法，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该命题不是真命题，故此选项错误；
D．根据等腰梯形以及矩形的对角线都相等，即可得出此选项错误．
故选：B．
8．解：∵菱形的对角线互相垂直平分，两条对角线的一半与一边构成直角三角形，
根据勾股定理可得菱形的边长为＝5cm，
则周长是4×5＝20cm．
故答案为20．
9．解：连接DB，于AC交与O点
∵在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16
∴OB＝＝＝6
∴BD＝2×6＝12
∴菱形ABCD的面积＝×两条对角线的乘积＝×16×12＝96．
故答案为96．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，菱形ABCD的面积为96，
∴AB＝AD，AO＝CO＝6，BO＝DO，S菱形ABCD＝AC BD＝×12×BD＝96，AC⊥BD，
解得：BD＝16，
∴OB＝OD＝8，
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
∴OE＝AD，
在Rt△AOD中，AD＝＝10，
则OE＝AD＝5．
故答案为：5．
11．解：∵AC＝8，BD＝6，
∴BO＝3，AO＝4，
∴AB＝5．
AO BO＝AB OH，
OH＝．
故答案为：．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵∠BCO＝55°，
∴∠CBO＝90°﹣55°＝35°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO＝35°，
故答案为：35°．
13．解：在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BAO＝∠BAD＝×60°＝30°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60°．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，
∴CD＝AD＝AB＝2，
∵∠DAB＝120°，
∴∠OAD＝60°，
Rt△AOD中，∠ADO＝30°，
∴OA＝AD＝＝1，OD＝＝，
∴C（2，），
故答案为：（2，）．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣80°＝100°，
在菱形ABCD中，∠BAF＝∠DAF＝∠BAD＝×80°＝40°，
∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF＝40°，
在△ABF和△ADF中，，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠ADF＝∠ABF＝40°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF，
＝100°﹣40°，
＝60°．
16．解：添加的一个条件可以是AC⊥EF，
理由：如图，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，
又∵AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，
∴∠FAE＝∠FAB，∠FCE＝∠DCE，
∴∠AEB＝∠FAB，
∴∠AEB＝∠FCE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
根据添加的一个条件是AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
故答案为：AC⊥EF．
17．（1）答：四边形ABCD是菱形．
证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN，DE＝DN，
∴两个矩形全等，
∴AR＝AS，
∵AR BC＝AS CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝5，
∵BE＝3，
∴AE＝4，
∴DE＝5+4＝9，
∴矩形BEDG的面积为：3×9＝27．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，
，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）如图所示：
由（1）得：△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴平行四边形PMQN是菱形．
19．（1）解：由筝形的定义得：对角线互相垂直，即AC⊥BD；是轴对称图形，对称轴为AC；
故答案为：对角线互相垂直，是轴对称图形；
（2）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BO＝DO，
同理：BC＝DC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠ODC，
在△ABO和△CDO中，，
∴△AOB≌△CDO（ASA），
∴AB＝CD，
∴AB＝CD＝BC＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
20．（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB．
∵OE＝CD，
∴OE＝AB．
∴平行四边形AEBO是矩形，
∴∠BOA＝90°．
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形，
∴OA＝BE＝2，AC⊥BD，BO＝DO，∠ADO＝30°，
∴OD＝OA＝2，
∴BD＝2OD＝4．
21．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴平行四边形BFDE是菱形；
解：（2）连接EF，交BD于O，
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝30°．
由（1）知，平行四边形BFDE是菱形，则EF⊥BD，BO＝OD＝6．
∴EO＝BE．
由勾股定理得到：BE2＝62+EO2，即4EO2＝62+EO2．
解得：EO＝2．
所以EF＝4．