2021-2022学年鲁教版八年级数学下册6.2矩形的性质与判定 同步练习题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版八年级数学下册6.2矩形的性质与判定 同步练习题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 283.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-05 11:42:33 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的性质与判定》同步练习题（附答案）
1．如图，在矩形ABCD中，M是BC上的动点，E，F分别是AM，MC的中点，则EF的长随着M点的运动（ ）
A．变短 B．变长
C．不变 D．先变短再变长
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝10厘米，点E在边AB上，且AE＝2厘米，如果动点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，动点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当△BPE与△CQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．1.5或2 C．2.5 D．2或2.5
3．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（ ）
A．5 B． C． D．
4．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（ ）
①△DOC是等边三角形；
②△BOE是等腰三角形；
③BC＝2AB； ④∠AOE＝150°；
⑤S△AOE＝S△COE．
A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个
5．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，如果∠ACB＝38°，则∠E的值是（ ）
A．18° B．19° C．20° D．40°
6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
7．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．12cm2 D．4cm2或12cm2
8．如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
9．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，2），则CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（ ）
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
11．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．18° C．27° D．9°
12．如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，∠AOB＝60°，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于点E．四边形OCED的周长是20，则BC＝（ ）
A．5 B．5 C．10 D．10
13．如图．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，那么S△ACF为（ ）
A．12 B．15 C．6 D．10
14．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．
15．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 ，使四边形DBCE是矩形．
16．如图所示，已知 ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明 ABCD是矩形的有（填写序号） ．
17．如图，在△ABC，AB＝AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
19．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为 ．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
21．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
23．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形OCFD是矩形．
25．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．
26．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．
（1）求证：四边形ADCE的是矩形；
（2）若AB＝17，BC＝16，求四边形ADCE的面积．
参考答案
1．解：∵E，F分别是AM，MC的中点，
∴EF＝AC，
∵C是定点，
∴AC是定长，
∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，
故选：C．
2．解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，
∵AB＝8厘米，BC＝10厘米，AE＝2厘米，
∴BE＝CP＝6厘米，
∴BP＝10﹣6＝4厘米，
∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；
当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t＝＝（秒），
故选：D．
3．解：∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，
∴AC＝2AO＝4，
又∵AB＝3，∠ABC＝90°，
∴BC＝＝，
∴AD＝BC＝，
故选：D．
4．解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；
故选：B．
5．解：∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝19°
故选：B．
6．解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；
故选：A．
7．解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，
①当AE＝1cm时，AB＝1cm＝CD，AD＝1cm+3cm＝4cm＝BC，
此时矩形的面积是1cm×4cm＝4cm2；
②当AE＝3cm时，AB＝3cm＝CD，AD＝4cm＝BC，
此时矩形的面积是：3cm×4cm＝12cm2；
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OAB＝∠ABO＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∵AB＝2，
∴AO＝BO＝AB＝2．
∴AC＝2A0＝4，
故选：B．
9．解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，2），
∴OD＝，
∴CE＝，
故选：C．
10．解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA PE+OD PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝＝4.8．
故选：C．
11．解：已知∠ADE：∠EDC＝3：2 ∠ADE＝54°，∠EDC＝36°，
又因为DE⊥AC，所以∠DCE＝90°﹣36°＝54°，
根据矩形的性质可得∠DOC＝180°﹣2×54°＝72°
所以∠BDE＝180°﹣∠DOC﹣∠DEO＝18°
故选：B．
12．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
∵四边形OCED的周长是20，
∴CO＝DO＝5，
∴BD＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝AB＝5，
∴BC＝＝5．
故选：B．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵矩形沿AC折叠，点D落在点E处，
∴△ACD≌△ACE，
∴∠DCA＝∠ECA，
∴∠BAC＝∠ECA，
∴AF＝CF，
设AF＝CF＝x，则BF＝8﹣x，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BC2+BF2＝CF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴AF＝5，
∴S△ACF＝AF BC＝×5×4＝10．
故选：D．
14．解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，
∴HG∥BD，EH∥AC，
∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠EHG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG＝90°，
∴∠2＝90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．
15．解：添加EB＝DC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴DE∥BC，
又∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB＝DC，
∴四边形DBCE是矩形．
故答案是：EB＝DC．
16．解：能说明 ABCD是矩形的有：
①对角线相等的平行四边形是矩形；
④有一个角是直角的平行四边形是矩形．
17．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵点D为BC的中点，
∴∠ADC＝90°，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE＝∠EAC，
∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE平行且等于BD，
又∵BD＝DC，
∴AE平行且等于DC，
故四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
即四边形ADCE是矩形．
故答案为矩形．
18．解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP＝OD＝5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；
19．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AMB＝∠DAE，
∵DE＝DC，
∴AB＝DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA＝∠DEM＝90°，
在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM＝AD，
∵AE＝2EM，
∴BC＝AD＝3EM，
设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2＝（3x）2，
解得：x＝，
∴BM＝；
故答案为：．
20．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
21．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．
在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．
22．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面积＝ EC OF＝1．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
24．证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD＝FC，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCFD是矩形．
25．（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
∵在 ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE＝8，
∴AF＝DE＝8．
∵AB＝6，BF＝10，
∴AB2+AF2＝62+82＝100＝BF2．
∴∠BAF＝90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积＝AB AF＝BF AE．
∴AE＝＝＝．
26．（1）证明：∵点O是AC中点，
∴AO＝OC，
∵OE＝OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC＝16，AB＝17，
∴BD＝CD＝8，AB＝AC＝17，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：AD＝＝＝15，
∴四边形ADCE的面积是AD×DC＝15×8＝120．
1．如图，在矩形ABCD中，M是BC上的动点，E，F分别是AM，MC的中点，则EF的长随着M点的运动（ ）
A．变短 B．变长
C．不变 D．先变短再变长
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝10厘米，点E在边AB上，且AE＝2厘米，如果动点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，动点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当△BPE与△CQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．1.5或2 C．2.5 D．2或2.5
3．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（ ）
A．5 B． C． D．
4．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（ ）
①△DOC是等边三角形；
②△BOE是等腰三角形；
③BC＝2AB； ④∠AOE＝150°；
⑤S△AOE＝S△COE．
A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个
5．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，如果∠ACB＝38°，则∠E的值是（ ）
A．18° B．19° C．20° D．40°
6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
7．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．12cm2 D．4cm2或12cm2
8．如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
9．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，2），则CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（ ）
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
11．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．18° C．27° D．9°
12．如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，∠AOB＝60°，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于点E．四边形OCED的周长是20，则BC＝（ ）
A．5 B．5 C．10 D．10
13．如图．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，那么S△ACF为（ ）
A．12 B．15 C．6 D．10
14．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．
15．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 ，使四边形DBCE是矩形．
16．如图所示，已知 ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明 ABCD是矩形的有（填写序号） ．
17．如图，在△ABC，AB＝AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
19．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为 ．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
21．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
23．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形OCFD是矩形．
25．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．
26．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．
（1）求证：四边形ADCE的是矩形；
（2）若AB＝17，BC＝16，求四边形ADCE的面积．
参考答案
1．解：∵E，F分别是AM，MC的中点，
∴EF＝AC，
∵C是定点，
∴AC是定长，
∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，
故选：C．
2．解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，
∵AB＝8厘米，BC＝10厘米，AE＝2厘米，
∴BE＝CP＝6厘米，
∴BP＝10﹣6＝4厘米，
∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；
当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t＝＝（秒），
故选：D．
3．解：∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，
∴AC＝2AO＝4，
又∵AB＝3，∠ABC＝90°，
∴BC＝＝，
∴AD＝BC＝，
故选：D．
4．解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；
故选：B．
5．解：∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝19°
故选：B．
6．解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；
故选：A．
7．解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，
①当AE＝1cm时，AB＝1cm＝CD，AD＝1cm+3cm＝4cm＝BC，
此时矩形的面积是1cm×4cm＝4cm2；
②当AE＝3cm时，AB＝3cm＝CD，AD＝4cm＝BC，
此时矩形的面积是：3cm×4cm＝12cm2；
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OAB＝∠ABO＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∵AB＝2，
∴AO＝BO＝AB＝2．
∴AC＝2A0＝4，
故选：B．
9．解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，2），
∴OD＝，
∴CE＝，
故选：C．
10．解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA PE+OD PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝＝4.8．
故选：C．
11．解：已知∠ADE：∠EDC＝3：2 ∠ADE＝54°，∠EDC＝36°，
又因为DE⊥AC，所以∠DCE＝90°﹣36°＝54°，
根据矩形的性质可得∠DOC＝180°﹣2×54°＝72°
所以∠BDE＝180°﹣∠DOC﹣∠DEO＝18°
故选：B．
12．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
∵四边形OCED的周长是20，
∴CO＝DO＝5，
∴BD＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝AB＝5，
∴BC＝＝5．
故选：B．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵矩形沿AC折叠，点D落在点E处，
∴△ACD≌△ACE，
∴∠DCA＝∠ECA，
∴∠BAC＝∠ECA，
∴AF＝CF，
设AF＝CF＝x，则BF＝8﹣x，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BC2+BF2＝CF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴AF＝5，
∴S△ACF＝AF BC＝×5×4＝10．
故选：D．
14．解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，
∴HG∥BD，EH∥AC，
∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠EHG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG＝90°，
∴∠2＝90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．
15．解：添加EB＝DC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴DE∥BC，
又∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB＝DC，
∴四边形DBCE是矩形．
故答案是：EB＝DC．
16．解：能说明 ABCD是矩形的有：
①对角线相等的平行四边形是矩形；
④有一个角是直角的平行四边形是矩形．
17．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵点D为BC的中点，
∴∠ADC＝90°，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE＝∠EAC，
∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE平行且等于BD，
又∵BD＝DC，
∴AE平行且等于DC，
故四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
即四边形ADCE是矩形．
故答案为矩形．
18．解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP＝OD＝5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；
19．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AMB＝∠DAE，
∵DE＝DC，
∴AB＝DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA＝∠DEM＝90°，
在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM＝AD，
∵AE＝2EM，
∴BC＝AD＝3EM，
设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2＝（3x）2，
解得：x＝，
∴BM＝；
故答案为：．
20．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
21．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．
在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．
22．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面积＝ EC OF＝1．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
24．证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD＝FC，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCFD是矩形．
25．（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
∵在 ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE＝8，
∴AF＝DE＝8．
∵AB＝6，BF＝10，
∴AB2+AF2＝62+82＝100＝BF2．
∴∠BAF＝90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积＝AB AF＝BF AE．
∴AE＝＝＝．
26．（1）证明：∵点O是AC中点，
∴AO＝OC，
∵OE＝OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC＝16，AB＝17，
∴BD＝CD＝8，AB＝AC＝17，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：AD＝＝＝15，
∴四边形ADCE的面积是AD×DC＝15×8＝120．