2021-2022学年鲁教版六年级数学下册6.7完全平方公式 寒假预习同步测试（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版六年级数学下册《6-7完全平方公式》寒假预习同步测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（　　）
A．10 B．±10 C．20 D．±20
2．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3
3．若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab等于（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
4．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（　　）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
5．已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2＝（　　）
A．29 B．37 C．21 D．33
6．已知x+＝5，那么x2+＝（　　）
A．10 B．23 C．25 D．27
7．设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝（　　）
A．6ab B．12ab C．0 D．24ab
8．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（　　）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
9．已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．若x2﹣3x+1＝0，则的值是（　　）
A．8 B．7 C． D．
二．填空题（共7小题，满分28分）
11．已知（2022﹣a）2+（2021﹣a）2＝1，则（2022﹣a） （2021﹣a）＝　 　．
12．已知a﹣b＝b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，则ab+bc+ca的值等于　 　．
13．已知2n+2﹣n＝k（n为正整数），则4n+4﹣n＝　 　．（用含k的代数式表示）
14．已知x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，则m＝　 　．
15．如果a2+b2+2c2+2ac﹣2bc＝0，那么2a+b﹣1的值为　 　．
16．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），把剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼得的长方形的周长为　 　cm．（用含a的代数式表示）
17．如图，A类、B类卡片为正方形（b＜a＜2b），C类卡片为长方形，小明拿来9张卡片（每类都有若干张）玩拼图游戏，他发现用这9张卡片刚好能拼成一个大正方形（不重叠也不留缝隙），那么他拼成的大正方形的边长是 　 　（用a，b的代数式表示）．
三．解答题（共10小题，满分62分）
18．利用完全平方公式计算：
（1）（5﹣a）2； （2）（﹣3m﹣4n）2；
（3）（﹣3a+b）2； （4）（a﹣2b+c）2．
19．运用完全平方公式计算
①（﹣xy+5）2 ②（﹣x﹣y）2
③（x+3）（x﹣3）（x2﹣9） ④2012
⑤9.82 ⑥（3a﹣4b）2﹣（3a+4b）2
⑦（2x﹣3y）2﹣（4y﹣3x）（4y+3x）．
20．计算：
（1）（1﹣x）（4+x）+（x﹣4）2；
（2）（x﹣1）（x+3）+（x﹣1）2．
21．已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，求ab与a2+b2的值．
22．已知a﹣b＝3，ab＝2，求：
（1）（a+b）2
（2）a2﹣6ab+b2的值．
23．已知：a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣5．求：代数式﹣ab的值．
24．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
25．已知x+＝2，求x2+，x4+的值．
26．已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca和a4+b4+c4的值．
27．完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；
如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题：
（1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；
（2）请直接写出（a+b）5共有　 　项，各项系数的和等于　 　；
（3）（a+b）n（n为非负整数）共有　 　项，各项系数的和等于　 　；
（a﹣b）n（n为正整数）各项系数的和等于　 　．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵x2+mx+25是完全平方式，
∴m＝±10，
故选：B．
2．解：∵x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，
∴﹣（m+1）x＝±2×1 x，
解得：m＝1或m＝﹣3．
故选：D．
3．解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，
∴a2+2ab+b2＝9，
∵a2+b2＝7，
∴7+2ab＝9，
∴ab＝1．
故选：B．
4．解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个矩形的面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，即4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．
故选：C．
5．解：把a+b＝5两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，
将ab＝﹣4代入得：a2+b2＝33，
则a2﹣ab+b2＝33﹣（﹣4）＝37．
故选：B．
6．解：x+＝5，
，
，
．
故选：B．
7．解：∵（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×2a×3b＝（2a﹣3b）2+24ab，（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，
∴A＝24ab．
故选：D．
8．解：x2+y2+2x﹣4y+7＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故选：A．
9．解：法一：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a），
又由a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，
得（a﹣b）＝x+20﹣x﹣19＝1，
同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1，
所以原式＝a﹣2b+c＝x+20﹣2（x+19）+x+21＝3．
故选B．
法二：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），
＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]，
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，
＝×（1+1+4）＝3．
故选：B．
10．解：由x2﹣3x+1＝0，得x2+1＝3x，由题知，x不等于0，两边同除x得：＝3…①，
又知＝x2+2x +（）2﹣2x ＝（x+）2﹣2＝（）2﹣2…②
将①代入②得，
原式＝32﹣2＝7．
解法二：由x2﹣3x+1＝0，得x2+1＝3x，由题知，x不等于0，两边同除x得，x+＝3，
∴（x+）2＝9，
∴x2+2+＝9，
∴x2+＝7．
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分28分）
11．解：∵（2022﹣a）2+（2021﹣a）2＝1，
∴（2022﹣a）2﹣2（2022﹣a）（2021﹣a）+（2021﹣a）2＝1﹣2（2022﹣a）（2021﹣a），
即（2022﹣a﹣2021+a）2＝1﹣2（2022﹣a）（2021﹣a），
整理得﹣2（2022﹣a）（2021﹣a）＝0，
∴（2022﹣a）（2021﹣a）＝0．
12．解：∵a﹣b＝b﹣c＝，
∴（a﹣b）2＝，（b﹣c）2＝，a﹣c＝，
∴a2+b2﹣2ab＝，b2+c2﹣2bc＝，a2+c2﹣2ac＝，
∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝++＝，
∴2﹣2（ab+bc+ca）＝，
∴1﹣（ab+bc+ca）＝，
∴ab+bc+ca＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
13．解：∵2n+2﹣n＝k，
∴4n+4﹣n＝（2n）2+（2﹣n）2，
＝（2n+2﹣n）2﹣2，
＝k2﹣2．
14．解：∵x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，
∴m+3＝±3，
解得：m＝﹣6或m＝0，
故答案为：﹣6或0
15．解：∵a2+b2+2c2+2ac﹣2bc＝0
∴（a+c）2+（b﹣c）2＝0，
∴a+c＝0，b﹣c＝0，
解得a＝﹣c，b＝c，
∴2a+b﹣1＝2﹣c+c﹣1＝2﹣1＝．
故答案为：．
16．解：根据题意得，长方形的宽为（a+4）﹣（a+1）＝3，
则拼成得长方形的周长为：2（a+4+a+1+3）＝2（2a+8）＝（4a+16）cm．
故答案为（4a+16）．
17．解：如图，
∵所求正方形的面积＝4a2+b2+4ab＝（2a+b）2，或a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴所求正方形的边长为2a+b或a+2b．
故答案为：2a+b或a+2b．
三．解答题（共10小题，满分62分）
18．解：（1）（5﹣a）2；
＝25﹣10a+a2．
（2）（﹣3m﹣4n）2；
＝9m2+24mn+16n2．
（3）（﹣3a+b）2；
＝9a2﹣6ab+b2．
（4）（a﹣2b+c）2．
＝（a﹣2b）2+2（a﹣2b）c+c2
＝a2﹣4ab+4b2+2ac﹣4bc+c2．
19．解：①原式＝x2y2﹣10xy+25．
②原式＝x2+2xy+y2．
③原式＝（x2﹣9）（x2﹣9）
＝x4﹣18x2+81．
④原式＝（200+1）2
＝40000+400+1
＝40401．
⑤原式＝（10﹣0.2）2
＝100﹣4+0.04
＝96.04．
⑥（3a﹣4b）2﹣（3a+4b）2
＝9a2﹣24ab+16b2﹣9a2﹣24ab﹣16b2
＝﹣48ab．
⑦（2x﹣3y）2﹣（4y﹣3x）（4y+3x）
＝4x2﹣12xy+9y2﹣16y2+9x2
＝13x2﹣12xy﹣7y2．
20．解：（1）原式＝4+x﹣4x﹣x2+x2﹣8x+16
＝﹣11x+20；
（2）原式＝x2+3x﹣x﹣3+x2﹣2x+1
＝2x2﹣2．
21．解：∵（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，
∴a2+2ab+b2＝25①，a2﹣2ab+b2＝9②，
∴①+②得：2a2+2b2＝34，
∴a2+b2＝17，
①﹣②得：4ab＝16，
∴ab＝4．
22．解：（1）将a﹣b＝3两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝9，
把ab＝2代入得：a2+b2＝13，
则（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+4＝17；
（2）a2﹣6ab+b2＝a2+b2﹣6ab＝13﹣12＝1．
23．解：∵a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣5，
∴a2﹣a﹣a2+b＝﹣5，
∴b﹣a＝﹣5，
∴﹣ab
＝＝
＝
＝．
24．解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，
方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．
25．解：x2+＝（x+）2﹣2＝2；
x4+＝（x2+）2﹣2＝2．
26．解：a+b+c＝0，两边平方得：
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝0，
∵a2+b2+c2＝1，
∴1+2ab+2bc+2ca＝0，
∴ab+bc+ca＝﹣；
ab+bc+ca＝﹣两边平方得：
a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc＝，
即a2b2+b2c2+c2a2+2abc（a+b+c）＝，
∴a2b2+b2c2+c2a2＝，
∵a2+b2+c2＝1，
∴两边平方得：a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2＝1，
∴a4+b4+c4＝1﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）＝1﹣＝．
故答案为：﹣，．
27．解：（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
验证：（a+b）4
＝（a+b）2（a+b）2
＝（a2+2ab+b2）（a2+2ab+b2）
＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
（2）根据规律可得，（a+b）5共有6项，
各项系数分别为：1，5，10，10，5，1，
它们的和等于32；
（3）根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，
∵1＝20，
1+1＝21，
1+2+1＝22，
1+3+3+1＝23，
∴（a+b）n各项系数的和等于2n；
∵1﹣1＝0，
1﹣2+1＝0，
1﹣3+3﹣1＝0，
∴（a﹣b）n各项系数的和等于0．
故答案为：6，32；（n+1），2n；0．