2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.3垂径定理 自主提升训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-3垂径定理》自主提升训练（附答案）
1．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝4，OB＝8，则AB的长为（　　）
A．4 B．4 C．6 D．8
2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长是8，则圆心O到弦AB的距离OM的长（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，⊙O的直径AB＝6，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．2 D．
4．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于E，若CD＝8，BD＝2，则AB的长为（　　）
A．2 B．10 C．12 D．5
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（　　）
A．8 B．2 C．3 D．4
6．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（　　）
A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm
7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（　　）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
8．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
9．在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（　　）
A．1分米 B．4分米 C．3分米 D．1分米或7分米
10．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
11．⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD距离为（　　）
A．7 B．8 C．7或1 D．1
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径为2的⊙O与x轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点P为弦AB的中点，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C，E，则△PCE面积的最小值为（　　）
A．5 B．6 C． D．
13．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），以点A为圆心，AB为半径作圆，⊙A与x轴相交于C、D两点，则CD的长度是　 　．
14．如图，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于E，若DE＝3，BC＝8，则⊙O的半径为 　 　．
15．在如图所示的平面直角坐标系中，圆的圆心P的坐标为（2，0），圆的半径为3，求圆与坐标轴的交点A，B，C，D的坐标．
16．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E．CE＝1，ED＝3，
（1）求⊙O的半径；
（2）求AB的长．
17．如图，⊙O的半径OA＝5cm，AB是弦，C是AB上一点，且OC⊥OA，OC＝BC
（1）求∠A的度数．
（2）求AB的长．
18．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
19．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：
（1）如图1，⊙O1的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心O1，求，AB长；
（2）如图2，O2C⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过O2C的中点D，AB＝10cm，求⊙O的半径．
20．如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．
21．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，0），C（，0）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．
22．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，以OA为半径的⊙O交BO于点C，交BO延长线于点D．在⊙O上取一点E，且＝，延长DE与BA交于点F．
（1）求证：△BDF是直角三角形；
（2）连接AC，AC＝2，OC＝2BC，求AF的长．
参考答案
1．解：∵OC＝OB＝8，CE＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝8﹣4＝4，
在Rt△OBE中，BE＝＝＝4，
∵CD⊥AB，
∴AB＝2BE＝8，
故选：D．
2．解：连接OA，
∵⊙O的半径为5，
∴OA＝5，
∵OM⊥AB，
∴∠OMA＝90°，MA＝MB＝AB＝4，
∴OM＝＝＝3，
故选：C．
3．解：∵⊙O的直径AB＝6，
∴OB＝AB＝3，
∵BP：AP＝1：5，
∴BP＝AB＝1，
∴OP＝OB﹣BP＝2，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2PC，∠OPC＝90°，
∴PC＝＝＝，
∴CD＝2PC＝2，
故选：C．
4．解：∵AB⊥CD，CD＝8，BD＝2，
∴DE＝CE＝4，
∴BE＝＝＝2，
连接OD，设OD＝r，则OE＝r﹣2，
在Rt△ODE中，
OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，
∴AB＝10．
故选：B．
5．解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故选：D．
6．解：连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4（mm），
由勾股定理得，OA＝＝5（mm），
故选：C．
7．解：设⊙O的半径为r寸．
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
8．解：如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得，r＝4，
故选：C．
9．解：连接OA．作OG⊥AB于G，
则在直角△OAG中，AG＝3分米，
因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，
同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，
当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．
因而油上升了1分米或7分米．
故选：D．
10．解：在Rt△ABC中，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
由垂径定理可得M为AE的中点，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴CM＝，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即9＝AM2+（）2，
解得：AM＝，
∴AE＝2AM＝．
故选：C．
11．解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE，CF＝DF，
而AB＝6，CD＝8，
∴AE＝3，CF＝4，
在Rt△OAE中，OA＝5，OE＝＝＝4；
在Rt△OCF中，OC＝5，OF＝＝＝3；
当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF＝7；
当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE﹣OF＝1；
所以AB与CD之间的距离为7或1．
故选：C．
12．解：连接OP，如图，
∵点P为弦AB的中点，
∴OP⊥AB，
∴∠APO＝90°，
∴P点在以OA为直径的⊙D上（A点除外），
过D点作DH⊥CE于H，DH交⊙D于P′，如图，
∴点P点在P′点的位置时，P点到CE的距离最小，此时△PCE面积有最小值，
当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则E（0，4），
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3，则C（3，0），
∴CE＝＝5，
∵∠DCH＝∠ECO，∠CHD＝∠COE，
∴△CDH∽△CEO，
∴＝，即＝，解得DH＝，
∴P′H＝DH﹣DP′＝﹣1＝，
∴S△EP′C＝×5×＝，
∴△PCE面积的最小值为．
故选：D．
13．解：∵A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），
∴OA＝2，OB＝2，
则AB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝＝2，
∵AB⊥CD，
∴CD＝2OC＝4，
故答案为：4．
14．解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r，
∵AD⊥BC，
∴CE＝BE＝BC＝4，
在Rt△OCE中，（r﹣3）2+42＝r2，
解得r＝．
即⊙O的半径为．
故答案为：
15．解：如图，连接PB．
∵P（2，0），
∴OP＝2，
∵AC⊥BD，
∴OB＝OD＝＝＝，
∴B（0，），D（0，﹣），
∵PA＝PA＝3，
∴OC＝1，AO＝5，
∴C（﹣1，0），A（5，0）．
16．解：（1）∵CE＝1，ED＝3，
∴CD＝CE+DE＝4，
∴⊙O的半径为2；
（2）∵直径CD⊥AB，
∴AB＝2AE，∠OEA＝90°，
连接OA，则OA＝OC＝2，OE＝OC﹣CE＝2﹣1＝1，
在Rt△OEA中，由勾股定理得：AE＝＝＝，
∴AB＝2AE＝2．
17．解：（1）连接OB，
∵AO＝OB，OC＝BC，
∴∠A＝∠B＝∠BOC．
∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°．
∵∠A+∠B+∠BOC+∠AOC＝180°，
∴3∠A+90°＝180°，
∴∠A＝30°；
（2）∵∠A＝30°，OA＝5cm，
∴AC＝＝＝cm，
BC＝OC＝AC＝cm，
∴AB＝AC+BC＝+＝5（cm）．
18．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG．
（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（）2+42，
解得r＝或（舍弃），
∴⊙O的半径为．
19．解：（1）如图1，过点O1作O1F⊥AB于F，并延长O1F交虚线劣弧AB于E，
∴AB＝2AF，
由折叠知，EF＝O1F＝O1E＝×4＝2（cm），
连接O1A，
在Rt△O1FA中，O1A＝4，
根据勾股定理得，AF＝＝＝2（cm），
∴AB＝2AF＝4cm；
（2）如图2，延长O2C交虚线劣弧AB于G，
由折叠知，CG＝CD，
∵D是O2C的中点，
∴CD＝O2D，
∴CG＝CD＝O2D，
设⊙O2的半径为3rcm，则O2C＝2r（cm），
∵O2C⊥弦AB，
∴AC＝AB＝5（cm），
连接O2A，
在Rt△ACO2中，根据勾股定理得，（3r）2﹣（2r）2＝25，
∴r＝（舍去负值），
∴O2A＝3r＝3（cm），
即⊙O2的半径为3cm．
20．（1）解：连接OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，
∵AD⊥OB，
∴AH＝DH＝4，
在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，
∴r2＝42+（r﹣2）2
，解得r＝5，
即⊙O的半径为5；
（2）方法一
证明：连接CF，如图，
∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴OA⊥BG，
∴BG＝FG，
∴∠OAH＝∠OBG，
在△OAH和△OBG中，
，
∴△OAH≌△OBG（AAS），
∴AH＝BG，
∴BF＝2AH．
方法二：∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，AH＝DH，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴弧AD＝弧BF，
∴BF＝AD＝2AH．
21．解：（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，
∵BC是⊙M的一条弦，MT是垂直于BC的直径，
∴BT＝TC＝BC＝2，
∴BM＝＝4；
（2）如图（二），连接AE，则∠AEC＝∠ABC，
∵CE⊥AB，
∴∠HBC+∠BCH＝90°
在△COF中，
∵∠OFC+∠OCF＝90°，
∴∠HBC＝∠OFC＝∠AFH．
在△AEH和△AFH中，
∵，
∴△AEH≌△AFH（AAS），
∴EH＝FH．
（3）由（1）易知，∠BMT＝∠BAC＝60°，
作直径BG，连CG，则∠BGC＝∠BAC＝60°，
∵⊙O的半径为4，
∴CG＝4．
连AG，
∵∠BCG＝90°，
∴CG⊥x轴，
∴CG∥AF，
∵∠BAG＝90°，
∴AG⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AG∥CE，
∴四边形AFCG为口，
∴AF＝CG＝4．
22．（1）证明：如图连接EC交OA于H．
∵＝，
∴OA⊥EC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∴DF⊥EC，
∴OA∥DF，
∵BF是⊙O的切线，
∴OA⊥BF，
∴DF⊥BF，
∴∠F＝90°，
∴△DFB是直角三角形．
（2）解：∵∠DEC＝∠F＝90°，
∴EC∥FB，
∴＝＝2，
∴OH＝2AH，设AH＝m，则OH＝2m，OC＝3m，
∵CH2＝OC2﹣OH2＝AC2﹣AH2，
∴9m2﹣4m2＝40﹣m2，
∴m＝（负根已经舍弃），
∴CH＝，
∵OA⊥EC，
∴EH＝HC＝，
∵∠F＝∠FAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AFEH是矩形，
∴AF＝EH＝．