2021-2022学年鲁教版八年级数学下册6.1菱形的性质与判定 解答题专题训练（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》解答题专题训练（附答案）
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABEO是菱形；
（2）若AC＝2，BD＝4，求四边形ABEO的面积．
如图1，在 ABCD中，AB＝AD，AC＝16，BD＝12，AC、BD相交于点O．
（1）求AB的长．
（2）若CE∥BD，BE∥AC，连接OE，求证：OE＝AD．
（3）如图2，设BC与OE相交于点P，连接DP，求DP的长．
4．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E．点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是菱形；
（2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，则AC＝　 　．
5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD＝2，求DE的长．
6．在Rt△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
7．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，△ADF≌△ABC，AD⊥AC，连接BD、CF交于点E．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）求CE的长．
8．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝AE；
（2）连接CM，DF＝2．
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．
9．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF．
（1）求证：AF＝DF；
（2）若∠BAD＝70°，求∠FDC的度数．
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．
（1）求证：AE＝AF．
（2）若BE＝AE，BD＝2AC＝16，求线段EF的长．
11．如图， ABCD，BE⊥AD于E，交AC于M，DF⊥BC于F，交AC于N，连接DM、BN．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）当 ABCD是菱形时，判断四边形MBND的形状，并说明理由．
12．如图，已知菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，E是BC边上一动点，F是CD边上一动点，且BE＝CF，连接AE、AF．
（1）∠EAF的度数是 　 　；
（2）求证：AE＝AF；
（3）延长AF交BC的延长线于点G，当∠BAE＝30°时，求点F到BG的距离
13．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝45°，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若DE+EF＝10，求菱形ABCD的周长．
14．如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A＝45°，BE＝4，求DG的值．
15．如图，在 ABCD中，点E、F为对角线BD的三等分点，连接AE，CF，AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若四边形AECF为菱形，且AE＝BE，求∠BAD的度数．
16．如图，E，F分别是菱形ABCD的边AD，CD的中点，且AB＝5，BD＝6．
（1）求线段EF的长；
（2）探究四边形DEOF是什么特殊四边形？并对结论给予证明．
17．如图1，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的动点．
（1）当AD＝AE时，OE＝1，OD＝5，求菱形ABCD的面积；
（2）如图2，当OE＝OD时，过点A作CD的垂线，垂足为F，交ED延长线于点G，求证：GE＝AO．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，若∠1＝32°，∠ADB＝22°，请直接写出当∠ABE＝　 　°时，四边形BFDE是菱形．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝　 　，AP＝　 　，PM＝　 　；
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．
20．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）当∠B为多少度时，四边形AEGF为菱形，请说明理由．
21．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP，BQ，PQ．
（1）求证：AP＝BQ；
（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．
22．已知：平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．E是AD的中点，连接OE并延长至F使得OE＝EF，连接FD，FC，FC交BD于点G．
求证：（1）△FGD≌△CGO；
（2）当AB与AC有怎样的数量关系时，四边形FOCD是菱形，并说明理由．
23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由．
24．如图，在四边形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．∠BEC＝∠ADF，试证明四边形ABCD是菱形．
25．如图，在 ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
26．在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是边BC延长线上的动点，过点E作EF⊥BD于F，且与CD、AD分别交于点G、H，连接OH．
（1）如图，若AC⊥AB，OF＝OC，求证：FG＝CG；
（2）若在点E运动的过程中，存在四边形OCGH是菱形的情形，试探究 ABCD的边和角需要满足的条件．
27．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是
E，F，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
28．如图，点E、F分别在 ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，求证：四边形AECF是菱形．
29．如图，已知BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E、D，联结CD、DE，DE与AB交于点O，CD∥AB．求证：四边形OBCD是菱形．
30．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．
参考答案
1．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BN＝10，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．
2．证明：（1）∵BE∥AC，OE∥AB，
∴四边形ABEO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，
∵AC＝2AB，
∴AO＝AB，
∴四边形ABEO是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝，OB＝BD＝2，
连接AE交BO于M，
由（1）知，四边形ABEO是菱形，
∴AE、OB互相垂直平分，
∴OM＝BO＝1，
∴AM＝，
∴AE＝4，
∴四边形ABEO的面积＝AE OB＝．
3．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝8，OB＝OD＝BD＝6，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝10；
（2）证明：∵CE∥BD，BE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴平行四边形OBEC是矩形，
∴OE＝BC，
∴OE＝AD；
（3）解：过D作DH⊥BC于H，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝10，菱形ABCD的面积＝BC×DH＝AC×BD，
即10DH＝×16×12，
∴DH＝，
在Rt△BDH中，由勾股定理得：BH＝＝＝，
由（2）得：四边形OBEC是矩形，
∴PB＝PC，
∵∠BOC＝90°，
∴PB＝BC＝5，
∴PH＝BH﹣PB＝﹣5＝，
在Rt△PDH中，DP＝＝＝．
4．（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
∵BC平分∠DBF，
∴∠CBF＝∠CBD，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴CD＝BD，
∴平行四边形DBFC是菱形；
（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF＝BD＝2，
∵AB＝BC，AC⊥BD，
∴AE＝CE，
过C作CM⊥BF于M，如图所示：
∵BC平分∠DBF，
∴CE＝CM，
∵∠F＝45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM＝CF＝，
∴AE＝CE＝CM＝，
∴AC＝2AE＝2，
故答案为：2．
5．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BEDF是平行四边形，∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴平行四边形BEDF是菱形；
（2）解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF＝DF＝DE，
∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝15°，
∴∠DFH＝30°，
∵DH⊥BC，
∴∠DHF＝∠DHC＝90°，
∴DH＝DF，
∵∠C＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH＝CH＝CD＝×2＝2，
∴DF＝2DH＝4，
∴DE＝4．
6．（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中点，
∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×4×5＝10．
7．证明：（1）∵△ADF≌△ABC，
∴AB＝AD＝AF＝AC，BC＝DF，∠BAC＝∠DAF＝30°，
∴∠BAD＝∠CAF＝120°，
∴∠ABD＝∠ADB＝30°，∠ACF＝∠AFC＝30°，
∴∠DAF＝∠ADB＝30°，∠ACF＝∠BAC＝30°，
∴AF∥BD，AB∥CF，
∴四边形ABEF平行四边形，
又∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图，过点A作AH⊥CF于H，
∵AC＝AF，∠AFC＝30°，AH⊥CF，
∴CH＝FH，AH＝AF＝1，
∴FH＝＝＝，
∴CF＝2，
∵四边形ABEF是菱形，
∴EF＝AF＝2，
∴CE＝2﹣2．
8．（1）证明：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AD＝AB，
∵EM⊥AC，
∴ME∥BD，
∵点E是AB的中点，
∴点M是AD的中点，AE＝AB，
∴AM＝AD，
∴AM＝AE．
（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，
∴AM＝MD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，
∴△MDF≌△MAE（AAS），
∴AE＝DF，
∵AB＝2AE，DF＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．
②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，
∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，
∴DF＝DM，MF＝ME，
∴∠DMF＝∠DFM，
∴∠ADC＝2∠DFM，
∵∠ADC＝2∠MCD，
∴∠MCD＝∠DFM，
∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，
∵ME⊥AC，AM＝ME，
∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，
∴MC＝2MG，
∴∠GMC＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠MCD＝30°，
∴∠DMC＝90°，
∴△DMC为直角三角形，
∵DF＝2，
∴DM＝2，CD＝4，
∴CM＝＝2，
∴ME＝2．
9．（1）证明：连接BF，如图所示：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，∠BCF＝∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴BF＝DF，
∴AF＝DF；
（2）解：由（1）得：△BCF≌△DCF，
∴∠FDC＝∠FBC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，AD∥BC，
∴∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FBA＝∠BAC＝35°，
∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝110°﹣35°＝75°，
∴∠FDC＝∠FBC＝75°．
10．（1）证明：四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
∴OF＝OE，
∴AE＝AF；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，OA＝OC，
∵BD＝2AC＝16，
∴OA＝4，OB＝8，
设BE＝AE＝x，则OE＝OB﹣BE＝8﹣x，
在Rt△AOE中，AE2＝OA2+OE2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
解得x＝5，
∴OE＝8﹣5＝3，
由（1）知OF＝OE，
∴EF＝2OE＝6．
11．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠DAB＝∠DCB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵BE⊥AD，DF⊥BC，
∴∠DAB+∠ABM＝90°，∠DCB+∠CDN＝90°，
又∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠ABM＝∠CDN，
在△ABM和△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（ASA）；
（2）解：四边形MBND是菱形，理由如下：
∵BE⊥AD，DF⊥BC，AD∥BC，
∴BE∥DF，
由（1）知△ABM≌△CDN，
∴BM＝DN，
∴四边形MBND是平行四边形，
连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即MN⊥BD，
∴平行四边形MBND是菱形．
12．解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是正三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠ACB＝60°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠EAF＝∠EAC+∠CAF＝∠EAC+∠BAE＝60°，
故答案为60°；
（2）由（1）可知，△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，
（3）当∠BAE＝30°时，
∵∠B＝60°，
∴∠AEB＝90°，
∵∴△ABC是正三角形，
∴E为BC中点，
∴F为CD中点，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝3，
∴AE＝＝3，
过点F作FH⊥CG于点H，
∵F为CD中点，FH∥AE，
∴FH为△AEG中位线，
∴FH＝＝，
∴点F到BG的距离．
13．（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠DEB＝90°，
∵∠BAD＝45°，
∴∠ADE＝∠BAD＝45°，
∴AE＝DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠OAB+∠ABD＝∠BDE+∠ABD＝90°，
∴∠OAB＝∠BDE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（ASA）；
（2）解：由（1）知，△AEF≌△DEB，
∴EF＝EB，
∴AB＝AE+EB＝DE+EF＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×10＝40．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，
∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
在△BEC与△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（AAS），
∴EC＝FC，
∴BF＝DE；
（2）解：∵∠A＝45°，四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠A＝45°，AG∥BC，AB＝BC，
∴∠CBG＝∠G＝45°，
∴△DEG与△BEC是等腰直角三角形，
∵BE＝CE＝4，
∴AB＝BC＝AD＝4，
∵∠A＝∠G＝45°，
∴∠ABG＝90°，
∴AG＝8，
∴DG＝AG﹣AD＝8﹣4．
15．证明：（1）∵四边形AECF是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵点E、F为对角线BD的三等分点，
∴BE＝EF＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
又∵AE＝BE，
∴AE＝BE＝EF＝AF＝DF，
∴∠EAB＝∠EBA，∠EAF＝∠EFA，∠FAD＝∠FDA，△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝∠AFE＝∠AEF＝60°，
∴∠BAE＝30°，∠FAD＝30°，
∴∠BAD＝120°．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC，OB＝OD＝BD＝3，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝4，
（2）四边形DEOF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，OA＝OC，OB＝OD，
∴O是AC，BD的中点，
∵E，F分别是菱形ABCD的边AD，CD的中点，
∴DE＝DA，DF＝DC，OE，OF分别是△ACD和△CDA的中位线，
∴DE＝DF，OE∥FD，OF∥DE，
∴四边形DEOF平行四边形，
∵DE＝DF，
∴四边形DEOF是菱形．
17．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2DO＝10，
∵AD＝AE，
∴AD＝AE＝AO+OE＝1+OA，
∵AD2＝OD2+AO2，
∴（1+OA）2＝25+AO2，
∴AO＝12，
∴AC＝24，
∴菱形ABCD的面积＝＝120；
（2）如图，过点G作GH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，AD＝CD，∠DAC＝∠DCA，
∵OE＝OD，
∴∠DEO＝∠EDO＝45°，
∵GH⊥AC，
∴∠HED＝∠HGE＝45°，
∴GH＝HE，GE＝GH，
设∠DAC＝∠DCA＝x，
∴∠EDC＝45°﹣x＝∠GDF，
∵AF⊥CF，
∴∠FGD＝90°﹣∠GDF＝45°+x，
∵∠DAF＝90°﹣2x，
∴∠ADC＝180°﹣∠GAD﹣∠AGD＝45°+x，
∴∠ADC＝∠AGD，
∴AG＝AD，
在△AHG和△DOA中，
，
∴△AHG≌△DOA（AAS），
∴GH＝AO，
∴GE＝GH＝AO．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠1＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当∠ABE＝12°时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，AE＝CF，
∴BF＝DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠1＝32°，∠ADB＝22°，
∴∠ABD＝∠1﹣∠ADB＝10°，
∵∠ABE＝12°，
∴∠DBE＝∠ABD+∠ABE＝22°，
∴∠DBE＝∠ADB＝22°，
∴BE＝DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
故答案为：12．
19．解：（1）∵点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，
∴AQ＝t，
∵∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝40，
∴AP＝AB﹣BP＝40﹣2t，
∵PM⊥BC，
∴∠PMB＝90°，
∴PM＝PB＝t．
故答案为：t，40﹣2t，t；
（2）存在，理由如下：
由（1）知：AQ＝PM，
∵AC⊥BC，PM⊥BC，
∴AQ∥PM，
∴四边形AQMP是平行四边形，
当AP＝AQ时，平行四边形AQMP是菱形，
即40﹣2t＝t，
解得t＝，
则存在t＝，使得平行四边形AQMP成为菱形．
20．（1）证明：∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA，
∵AG 平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG，
∴∠CAG＝∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED，
∴∠C＝90°，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴FH是△ADE的中位线，
∴H是ED的中点
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE＝GD，∠DHG＝90°，
∴∠GDE＝∠GED，
∴∠CGE＝∠GDE，
在△ECG和△GHD中，
，
∴△ECG≌△GHD（AAS）；
（2）解：当∠B为30°，四边形AEGF为菱形，理由如下：
由（1）得：DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
∴AE＝AD，
∴AE＝AF＝FG，
由（1）得：AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AEGF是菱形．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵CQ∥DB，
∴∠BCQ＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠BCQ
∵DP＝CQ，
∴△ADP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ；
（2）∵CQ∥DB，且CQ＝DP，
∴四边形CQPD是平行四边形，
∴CD＝PQ，CD∥PQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AB＝PQ，AB∥PQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∵△ADP≌△BCQ，
∴∠APD＝∠BQC，
∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，
∴四边形ABQP是菱形．
22．（1）证明：在△ACD中，点O，E分别为边AC，AD中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴OE∥CD，，
又∵，
∴OF∥CD，OF＝CD，
∴四边形OCDF为平行四边形，
∴FD∥OC，FD＝OC，
∴∠GFD＝∠GCO，∠GDF＝∠GOC，
∴△FGD≌△HGO（ASA）；
（2）解：当时，四边形FOCD是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，OC＝AC，
∵AB＝AC，
∴AB＝CD＝OC，
由（1）得：四边形OCDF为平行四边形，
∴平行四边形FOCD是菱形，
23．（1）证明：∵CF∥BD，DF∥AC，
∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE＝∠CFE，
∴OD＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OB＝CF，
在△FCE和△BOE中，
，
∴△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）解：当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形；理由如下：
∵∠ADC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCFD为菱形．
24．证明：∵AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAF＝∠DAF，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠ABF＝∠ADF，
∵∠BEC＝∠ADF，
∴∠BEC＝∠ABF，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，BC＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
25．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD，
∵AF∥ED，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠DGC＝∠ADE，
∵DG＝DC，
∴∠DGC＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形．
26．（1）证明：连接OG，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AC⊥AB，
∴AC⊥CD，
∴∠OCG＝90°，
∵EF⊥BD，
∴∠OFG＝90°，
在Rt△OFG和Rt△OCG中，
，
∴Rt△OFG≌Rt△OCG（HL），
∴FG＝CG；
（2）解：如图2所示：
若四边形OCGH是菱形，
则OH＝OC，OH∥CG，OC∥GH，
∵EF⊥BD，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，
∴CD＝AD，OA＝OC，
∴OA＝OH，
∴∠OAH＝∠OHA，
∵OH∥CG，
∴∠OHA＝∠ADC，
∵CD＝AD，
∴∠CAD＝∠DCA，
∴∠CAD＝∠ADC＝∠DCA，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
即要使四边形OCGH是菱形， ABCD的边和角需要满足的条件是：CD＝AD，∠ADC＝60°．
27．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA）；
（2）由（1）得：△ABE≌△ADF，
∴AB＝AD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
28．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
又∵BE＝DF，
∴AB+BE＝DC+DF，
即AE＝CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分；
（2）∵AB∥DC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEO＝∠CEO，
∴∠CEO＝∠CFO
∴CE＝CF，
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形．
29．证明：∵BD、BE分别是∠ABC与∠ABF的平分线，
∴∠ABD+∠ABE＝×180°＝90°，
即∠EBD＝90°，
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠DBC，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BC，
∵CD∥AB，
∴四边形OBCD是平行四边形，
∵OB＝OD，
∴平行四边形OBCD是菱形．
30．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）连接AC，交BD于点O，
∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．