2021-2022学年鲁教版八年级数学下册6.3正方形的性质与判定知识点分类练习（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》
知识点分类练习（附答案）
一．正方形的性质
1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A．45° B．55° C．60° D．75°
2．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝MF．其中正确结论的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（　　）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
4．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2021B2021C2021D2021的边长是（　　）
A．（）2020 B．（）2021 C．（）2021 D．（）2020
5．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　 　．
7．如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求证：CE⊥BG；
（3）求：∠AME的度数．
8．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
9．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．
10．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
11．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
12．如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点．
（1）求证：①∠1＝∠2；②EC⊥MC．
（2）试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．
13．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：GF＝GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
14．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
15．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE＝BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．
（1）求证：∠BFC＝∠BEA；
（2）求证：AM＝BG+GM．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，
（1）求DE的长；
（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；
（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．
17．如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G．
（1）求证：AF＝FG；
（2）如图②，连接EG，当BG＝3，DE＝2时，求EG的长．
18．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为　 　，数量关系为　 　．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
19．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO＝CG．
（1）若OF＝4，求FG的长；
（2）求证：BF＝OG+CF．
二．正方形的判定
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
三．正方形的判定与性质
21．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
22．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
参考答案
一．正方形的性质
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
2．解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；
∵∠BAD＝90°，AM⊥DE，
∴AM＝2EM，MD＝2AM，
∴MD＝2AM＝4EM，故④正确；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴AM＝a，
∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，
∴AM＝MF，故⑤正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，
根据勾股定理，BM＝＝＝a，
过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK＝a﹣a＝a，MK＝a﹣a＝a，
在Rt△MKO中，MO＝＝＝a，
根据正方形的性质，BO＝2a×＝a，
∵BM2+MO2＝（a）2+（a）2＝2a2，
BO2＝（a）2＝2a2，
∴BM2+MO2＝BO2，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO＝90°，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选：B．
3．解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．
则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，
∵∠PAF+∠FAN＝∠FAN+∠NAE＝90°，
∴∠PAF＝∠NAE，
∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，
而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．
故选：B．
4．方法一：
解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，
∴D1E＝，则B2C2＝（）1，
同理可得：B3C3＝＝（）2，
故正方形AnBn nDn的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2021B2021C2021D2021的边长是：（）2020．
故选：D．
方法二：
∵正方形A1B1C1D1的边长为1，
∠B1C1O＝60°，
∴D1E1＝B2E2＝，
∵B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴∠E2B2C2＝60°，
∴B2C2＝，
同理：
B3C3＝×＝…
∴a1＝1，q＝，
∴正方形A2021B2021C2021D2021的边长＝（）2020．
5．解：设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，
∵BE：EC＝2：1，BC＝9，
∴CE＝BC＝3，
∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，
即（9﹣x）2＝32+x2，
解得：x＝4，
即CH＝4．
故选：B．
6．解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）
故答案为：﹣1．
7．（1）证明：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE；
（2）证明：设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE；
（3）解：过A作BG，CE的垂线段交于点P，Q，
∵△ABG≌△AEC，
∴AP＝AQ，
∴AM是角平分线，
∴∠AMB＝45°，
∴∠AME＝135°．
8．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°；
（3）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PC，
∴∠DAP＝∠AEP，
∴∠DCP＝∠AEP
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC＝CE，
∴AP＝CE．
9．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，
∵BA＝BC，∴BA＝3x．
在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，
∴AM＝2BE＝2．
由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，
即40＝x2+9x2，解得x＝2．
∴AB＝3x＝6．
（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．
∵DF平分∠CDE，
∴∠1＝∠2．
∵DE＝DA，DP⊥AF
∴∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．
∴AH＝AF．
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAH．
又AB＝AD，
∴△ABF≌△ADH（SAS）．
∴AF＝AH，BF＝DH．
∵Rt△FAH是等腰直角三角形，
∴HF＝AF．
∵HF＝DH+DF＝BF+DF，
∴BF+DF＝AF．
10．（1）证明：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∠DAF＝∠CAF+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝45°，
∴∠ACF+∠ACB＝90°，
∴BD⊥CF；
②由①△BAD≌△CAF可得BD＝CF，
∵BD＝BC﹣CD，
∴CF＝BC﹣CD；
（2）与（1）同理可得BD＝CF，
所以，CF＝BC+CD；
（3）①与（1）同理可得，BD＝CF，
所以，CF＝CD﹣BC；
②∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
则∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝90°，
∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FCD＝∠ACF﹣∠ACB＝90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC＝DF，
∵在正方形ADEF中，OA＝AE，AE＝DF，
∴OC＝OA，
∴△AOC是等腰三角形．
11．（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小，
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠BEN，
∵EB＝CB，
∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，
∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，
∴M、N可以同时在直线EC上．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（）2+（x+x）2＝．
解得x1＝，x2＝﹣（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
12．（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE，AD＝CD，
在△ADE与△CDE，，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠1＝∠2，
②∵AD∥BG（正方形的对边平行），
∴∠1＝∠G，
∵M是FG的中点，
∴MC＝MG＝MF，
∴∠G＝∠MCG，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠MCG，
∵∠FCG＝∠MCG+∠FCM＝90°，
∴∠ECM＝∠2+∠FCM＝90°，
∴EC⊥MC；
（2）解：∠1＝30°时，△ECG为等腰三角形．
理由如下：∵△ECG为等腰三角形，
∴∠G＝∠CEG，
又∵∠1＝∠2＝∠G，
∴在△ECG中，∠G+∠CEG+∠2+∠FCG＝180°，
即3∠1+90°＝180°，
解得∠1＝30°．
故答案为：∠1＝30°时，△ECG为等腰三角形．
13．证明：（1）如图1，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，
∴∠DFG＝90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
∵，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴GF＝GC；
（2）BH＝AE，理由是：
证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，
∵AD＝AB，
∴DM＝BE，
由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ADC＝90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴2∠2+2∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝45°，
即∠EDG＝45°，
∵EH⊥DE，
∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，
∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，
∴∠1＝∠BEH，
在△DME和△EBH中，
∵，
∴△DME≌△EBH（SAS），
∴EM＝BH，
Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，
∴EM＝AE，
∴BH＝AE；
证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，
∴∠ENH＝90°，
由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，
在△DAE和△ENH中，
∵，
∴△DAE≌△ENH（AAS），
∴AE＝HN，AD＝EN，
∵AD＝AB，
∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，
∴AE＝BN＝HN，
∴△BNH是等腰直角三角形，
∴BH＝HN＝AE．
14．（1）证明：在正方形ABCD中，
∵，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE＝CF．
（2）解：GE＝BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，
又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE＝GF．
∴GE＝DF+GD＝BE+GD．
15．证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BFC＝∠BEA；
（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，
，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴BG＝DG，∠2＝∠3，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠2＝90°，
∵∠BAD＝∠BAE+∠DAM＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠DAM，
∵GM⊥CF，
∴∠BCF+∠1＝90°，
又∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠1＝∠BFC＝∠2，
∴∠1＝∠3，
在△ADG中，∠DGC＝∠3+45°，
∴∠DGC也是△CGH的外角，
∴D、G、M三点共线，
∵∠3＝∠DAM（已证），
∴AM＝DM，
∵DM＝DG+GM＝BG+GM，
∴AM＝BG+GM．
16．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝2，
∴DE＝BD﹣BE＝2﹣；
（2）∵FE⊥CE，
∴∠CEF＝90°，
∴∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE，
∵∠FBE＝∠CDE＝45°，BE＝BC＝CD，
∴△FEB≌△ECD，
∴BF＝DE＝2﹣；
（3）延长GE交AB于F，
由（2）知：DE＝BF＝2﹣，
由（1）知：BE＝BC＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∴DG＝3﹣4．
17．（1）证明：如图①，连接CF，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°，
在△ABF和△CBF中，，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，
∵FG⊥AE，
∴在四边形ABGF中，∠BAF+∠BGF＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
又∵∠BGF+∠CGF＝180°，
∴∠BAF＝∠CGF，
∴∠CGF＝∠BCF，
∴CF＝FG，
∴AF＝FG；
（2）如图②，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABH，则AH＝AE，BH＝DE，∠BAH＝∠DAE，
∵AF＝FG，FG⊥AE，
∴△AFG是等腰直角三角形，
∴∠EAG＝45°，
∴∠HAG＝∠BAG+∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAG＝∠HAG，
在△AHG和△AEG中，，
∴△AHG≌△AEG（SAS），
∴HG＝EG，
∵HG＝BH+BG＝DE+BG＝2+3＝5，
∴EG＝5．
18．解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD
故答案为：垂直、相等．
②成立，理由如下：
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD
（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
则∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS）
∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°
∴CF⊥BC
19．（1）解：∵CF平分∠OCE，
∴∠OCF＝∠ECF．
∵OC＝CG，CF＝CF，
∵在△OCF和△GCF中，
，
∴△OCF≌△GCF（SAS）．
∴FG＝OF＝4，
即FG的长为4．
（2）证明：在BF上截取BH＝CF，连接OH．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠DBC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝180°﹣∠BOC﹣∠DBC＝45°．
∴∠OCB＝∠DBC．
∴OB＝OC．
∵BF⊥CF，
∴∠BFC＝90°．
∵∠OBH＝180°﹣∠BOC﹣∠OMB＝90°﹣∠OMB，
∠OCF＝180°﹣∠BFC﹣∠FMC＝90°﹣∠FMC，
且∠OMB＝∠FMC，
∴∠OBH＝∠OCF．
∵在△OBH和△OCF中
，
∴△OBH≌△OCF（SAS）．
∴OH＝OF，∠BOH＝∠COF．
∵∠BOH+∠HOM＝∠BOC＝90°，
∴∠COF+∠HOM＝90°，即∠HOF＝90°．
∴∠OHF＝∠OFH＝（180°﹣∠HOF）＝45°．
∴∠OFC＝∠OFH+∠BFC＝135°．
∵△OCF≌△GCF，
∴∠GFC＝∠OFC＝135°，
∴∠OFG＝360°﹣∠GFC﹣∠OFC＝90°．
∴∠FGO＝∠FOG＝（180°﹣∠OFG）＝45°．
∴∠GOF＝∠OFH，∠HOF＝∠OFG．
∴OG∥FH，OH∥FG，
∴四边形OHFG是平行四边形．
∴OG＝FH．
∵BF＝FH+BH，
∴BF＝OG+CF．
二．正方形的判定
20．（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
三．正方形的判定与性质
21．（1）PB＝PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ；
（2）PB＝PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ．
22．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．