2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.2圆的对称性自主提升训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》自主提升训练（附答案）
1．下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．以下命题：
①直径是弦； ②长度相等的弧是等弧； ③相等的弦所对的弧也相等； ④圆的对称轴是直径；
其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为　 　．
6．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°，AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝　 　．
7．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝46°，＝，则
∠DAB＝　 　°．
8．如图，在半径为5的⊙O中，∠AOB＝120°，则弦AB的长度为　 　．
9．如图，在⊙O中，AC＝AB，直径BC＝2，，则AD＝　 　．
10．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．
11．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
13．如图，A、B是⊙O上两点，点C是弧AB的中点，∠AOB＝120°．
（1）求证：四边形OACB是菱形；
（2）延长OA至P使得OA＝AP，连接PC，PC＝，求⊙O的半径．
14．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且DB＝DC，求证：AD平分∠CAE．
16．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
17．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，BE交AD于点F，且＝，求证：AF＝BF．
18．如图，在⊙O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，EG⊥AB，FH⊥AB，交AB于C、D，点E，G，F，H在⊙O上．
（1）若EG＝8，AC＝2，求⊙O半径；
（2）求证：＝；
（3）若C，D分别为OA，OB的中点，则＝＝成立吗？请说明理由．
参考答案
1．解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
2．解：①直径是弦，是真命题；
②在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；
④圆的对称轴是直径所在的直线，原命题是假命题；
故选：D．
3．解：①正确；
②能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；
③圆中90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；
④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；
因此正确的结论是①②；
故选：B．
4．解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
5．解：∵∠OBC＝26°，OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC＝26°，
∴∠AOB＝2∠C＝52°，
故答案为：52°．
6．解：连接OB，
∵AB＝OD，OD＝OB，
∴AB＝OB，
∴∠BOA＝∠A，
∵∠A＝18°，
∴∠BOA＝18°，
∴∠EBO＝∠A+∠BOA＝36°，
∵OE＝OB，
∴∠E＝∠EBO＝36°，
∵∠A＝18°，
∴∠EOD＝∠A+∠E＝18°+36°＝54°，
故答案为：54°．
7．解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝46°，
∴∠B＝44°．
∴∠ADC＝180°﹣44°＝136°．
∵＝，
∴AD＝DC．
∴∠DAC＝∠DCA＝＝22°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝22°+46°＝68°．
故答案是：68．
8．解：作OC⊥AB于C，
则AC＝BC＝AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝30°，
∴OC＝OA＝，
由勾股定理得，AC＝＝，
∴AB＝2AC＝5，
故答案为：5．
9．解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝2，AB＝2AC，
∴AC＝2，AB＝4，
∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴四边形DEAF是正方形，
∴AD＝AF，
∵∠DAB＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，
∴AF＝3，
∴AD＝AF＝3，
故答案为：3．
10．证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝，
∴AD＝BC．
11．证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴AC＝BD；
（2）∵＝，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴EA＝ED，
∵AB＝CD，
即AE+BE＝CE+DE，
∴CE＝BE．
12．解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵ AF BC＝ AC AB，
∴，
∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴．
13．证明：（1）连接OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝l20°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形OACB是菱形．
（2）∵由（1）知，△OAC是等边三角形，
∴AC＝OA，∠OAC＝∠ACO＝60°，
∴∠PAC＝120°．
又∵OA＝AP，
∴AP＝AC，
∴∠APC＝∠ACP＝30°，
∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝90°，
即PC⊥OC．
又∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线，
∵PC＝，
∴OC＝1，
即⊙O的半径是1．
14．（1）证明：连接AD，
∵点D是的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
在△CAD和△BAD中，
，
∴△CAD≌△BAD（SAS），
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠DCE＝∠DBF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DF＝DE；
（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠DBF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝BD＝6，CE＝8，
∴DE＝＝10，
∴EB＝10+6＝16，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，
解得x＝12，
∴AB＝12，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AD＝＝6，
∴⊙O的半径为3．
15．证明：∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠EAD+∠BAD＝180°，∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴AD平分∠CAE．
16．证明：（1）连接OB、OC，
∵＝．
∴AB＝AC，
∵OC＝OB，OA＝OA，
在△AOB与△AOC中，
．
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
17．证明：延长AD交⊙O于M，
∵BC⊥AD，BC过圆心O，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠BAF＝∠ABF，
∴AF＝BF．
18．解：（1）连接EO，
设⊙O半径为r，
∵EG⊥AB，
∴CE＝CG＝EG＝4，
∵AC＝2，
∴OC＝r﹣2，
在Rt△CEO中，OE2＝CE2+OC2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙O半径为5；
（2）连接OE、OF，
∵AC＝BD，OA＝OB，
∴OC＝OD，
∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴在Rt△COE和Rt△DOF中，
，
∴Rt△COE≌Rt△DOF（HL），
∴∠AOE＝∠BOF，
∴＝；
（3）＝＝成立，理由如下：
∵C，D分别为OA，OB的中点，
∴OC＝，
∴cos∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝60°，
同理∠BOF＝60°，
∴∠EOF＝60°，
∴＝＝．