高中数学人教A版（2019）节节练8.2立体图形的直观图A卷（Word含答案解析）

高中数学人教A版（2019）节节练8.2立体图形的直观图A卷
一、单选题
1．以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知一个水平放置的平面四边形的直观图是边长为1的正方形，则原图形的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
3．某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是，如图（2）所示，其中， ，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．等腰三角形中，，其直观图可能是图中的（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．已知平面四边形，按照斜二测画法（）画出它的直观图是边长为1的正方形（如图所示），则原平面四边形的面积是
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体一定是圆锥
B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分一定是圆台
C．正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的
D．利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是
二、多选题
7．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（ ）
A．长方体的表面积为20
B．长方体的体积为6
C．沿长方体的表面从A到的最短距离为
D．沿长方体的表面从A到的最短距离为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
8．已知水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'（斜二测画法）是边长为的正三角形，则原△ABC的面积为____________．
9．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是___________．
10．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为_______.
11．如图，是一个平面图形的水平放置的斜二侧直观图，则这个平面图形的面积等于____________．
四、解答题
12．如图，圆台的上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点.求：
（1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
13．画出底面边长为3cm、高为4.5cm的正三棱柱的直观图.
14．画出一个上 下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.
15．画出各条棱长都相等的正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】
由斜二测画法规则直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误；
【详解】
对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确；
对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；
对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；
对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误；
∴只有命题①正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
2．B
【分析】
由斜二测画法的规则，把直观图还原为原平面图形，再求原图形的周长．
【详解】
解：由斜二测画法的规则知，与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，所以在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍，是，
其原来的图形如图所示；
所以原图形的周长是：．
故选：．
【点睛】
本题考查了平面图形的直观图应用问题，能够快速的在直观图和原图之间进行转化，是解题的关键，属于中档题．
3．B
【分析】
由已知可得底面的底面AB=4，AB边上的高OC=2，棱锥的高h=6，代入棱锥体积公式，可得答案．
【详解】
：∵俯视图的直观图A′B′C′中O′A′=O′B′=2，O′C′＝，
故AB=4，AB边上的高OC=2，
故底面面向S=4，
由正视图和侧视图得：棱锥的高h=6，
故棱锥的体积8，
故选B．
【点睛】
本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，属于基础题．
4．D
【分析】
根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意及直观图的画法可知当时，等腰三角形的直观图是④；
当时，等腰三角形的直观图是③，
综上，等腰三角形的直观图可能是③④，故选D.
【点睛】
本题主要考查了平面图形的直观图的画法以及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
5．B
【分析】
根据给出的直观图，先求出直观图面积与原图的面积比为，可得出原图面积.
【详解】
依题意，直观图的面积，设原图面积为，则，所以，所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查斜二测画法中由直观图面积求原图面积的问题，关键在于熟练掌握直观图面积和原图面积比，即 ，这块对很多学生来说属于冷门一些的考点，可以回去复习斜二测画法规则，自己加以推导.
6．C
【分析】
根据圆锥的定义，圆台的性质，三视图的概念，斜二测画法的定义判断各选项．
【详解】
直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥，A错；
用一个平面去截圆锥，当截面与圆锥底面平行时，圆锥底面和截面之间的部分是圆台，B错；
根据三视图的定义，C正确；
利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是，D错．
故选：C．
7．BC
【分析】
由题意，可利用柱体体积公式和多面体表面积公式进行计算，沿表面最短距离可将临近两个面侧面展开图去计算，即可求解正确答案.
【详解】
长方体的表面积为，A错误.长方体的体积为，B正确.如图（1）所示，长方体中，，，.求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面和侧面展开，
则有，即经过侧面和侧面时的最短距离是；如图（3）所示，将侧面和底面展开，则有，即经过侧面和底面时的最短距离是；如图（4）所示，将侧面和底面展开，
则有，即经过侧面和底面时的最短距离是.因为，所以沿长方体表面由A到的最短距离是，C正确，D不正确.
故选：BC.
【点睛】
本题考查长方体体积公式、表面积公式和沿表面的最短距离，考查空间想象能力，属于基础题.
8．
【分析】
作于D点，由△A'B'C'是正三角形求，进而求，根据斜二测法的作图原则，可求△ABC底边上的高，最后求△ABC的面积.
【详解】
如下图，作于D点，
∵△A'B'C'是边长为的正三角形，
∴，而△为等腰直角三角形，
∴，故△ABC底边上的高为，
∴.
故答案为：
9．
【分析】
先求出直观图中平行四边形的面积，再利用直观图面积与原图形面积之比即可求解.
【详解】
直观图是一个平行四边形，其中，，，
所以直观图的面积为
又，所以原视图的面积为
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积之比的应用，解题的关键是掌握，属于基础题.
10．
【详解】
因为OA＝6，CB＝2，所以OD＝2.又因为∠COD＝45°，所以CD＝2.梯形的直观图如图，则C′D′＝1.所以梯形的高C′E′＝.
考点：平面图形的直观图.
11．
【详解】
试题分析：平面图为直角梯形，上底为1下底为2，直角腰为，所以面积为
考点：斜二测画法
12．（1）50cm；（2）4cm
【分析】
（1）根据题意,将圆台展开成平面图形,由两点间距离最短可得绳子即为所求的线段长.由圆台上下底面的半径,结合相似即可求得的长.根据弧长、圆心角、半径关系,可在扇形中求得圆心角.进而由勾股定理求得最短距离的长度.
（2）过点作于点,交于点,则的长度为所求最短距离.利用等面积法可求得,进而求得的长度.
【详解】
（1）如图,绳子的最短长度为侧面展开图中的长度.
因为圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm
所以,
母线长,代入可得,
所以.
设,由,
解得.
所以.
即绳子的最短长度为50cm.
（2）过点作于点,交于点,则的长度为所求最短距离.
因为,
所以.
故,即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.
【点睛】
本题考查了圆台的展开图及表面最短距离的求法,相似在求线段长时的应用,对展开图各线段关系要熟练掌握,属于中档题.
13．答案见解析
【分析】
按照作直观图的步骤，画轴、画底面、画侧棱、成图结合直观图的原理：横竖不变纵减半，，保持平行线即可成图.
【详解】
一、画轴，如图：画轴、轴、轴，三轴相交于点，使得，；
二、画底面，以为中点，在轴上取，在轴正半上截取
，连接，，则就是正三棱柱的底面；
三、画侧棱、过点，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4.5cm长的线段，，；
四、成图，顺次连接，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），即得正三棱柱的直观图.
14．见解析
【分析】
建立空间直角坐标系,再根据斜二测画法的方法先后画出下上底面即可.
【详解】
①建立空间直角坐标系,画x轴 y轴 z轴相交于点O.使x轴与y轴的夹角为45°，y轴与z轴的夹角为90°，
②底面在y轴上取线段取，且以为中点，作平行于x轴的线段,使,在y轴上取线段,使.连接,则为正三棱台的下底面的直观图.
③画上底面在z轴上取,使,过点作,,建立坐标系.在中,类似步骤②的画法得上底面的直观图.
④连线成图连接,,,去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台即为要求画的正三棱台的直观图.
【点睛】
本题主要考查了立体图形的直观图画法,属于中等题型.
15．见解析
【分析】
建立起轴、轴、轴，首先画出底面正六边形的直观图；再过底面各顶点分别做轴的平行线，分别截取线段长度等于棱的长，顺次连接，再加以整理即可得到结果.
【详解】
第一步：画轴、轴、轴，使，
第二步：按轴、轴，画正六边形的直观图
第三步：过各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取都等于棱的长
第四步：顺次连接，去掉辅助线及字母，将被遮挡的部分改为虚线，就得到所求作的正六棱柱的直观图.
【点睛】
本题考查空间几何体的直观图的画法，关键是能够利用斜二测画法得到底面的直观图，进而通过平行关系得到几何体的各个侧棱.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页