高中数学人教A版（2019）节节练6.4平面向量的应用B卷（Word含答案解析）

高中数学人教A版（2019）节节练6.4平面向量的应用B卷
一、单选题
1．在中，，若点P是所在平面内任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
4．如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是
A． B． C． D．
5．在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是
A．05 B．15 C．13 D．14
二、多选题
7．下列结论正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角三角形中，不等式恒成立
C．在中，若，则是直角三角形
D．在中，若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为
8．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积为
B．若，则的面积的最大值为
C．若，且为锐角三角形，则边的长度的取值范围为
D．若，且，为的内心，则的面积为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是___________.
10．已知，与所成角为，点P满足，若，则的最大值为______.
11．在中，.以为圆心，2为半径作圆，线段为该圆的一条直径，则的最小值为_________.
12．在中，角的对边分别为， ，，若有最大值，则实数的取值范围是______.
四、解答题
13．如图，海上有，两个小岛，在的正东方向，小船甲从岛出发以海里/小时的速度沿北偏东60°方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过小时与小船甲相遇．
（1）若相距2海里，为海里/小时，小船乙从岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；
（2）若小船乙先从岛以16海里/小时匀速沿射线方向行驶小时，再以8海里/小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下的最大值.
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cosC+ccosA=0.
（1）求角C的大小；
（2）设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.
15．为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养鸡地，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知 m， m，，﹒
（1）若 m，求护栏的长度(的周长)；
（2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求AM的长；
（3）鱼塘的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．
16．某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【分析】
利用正弦定理和余弦定理解三角形，求得，由此求得的取值范围.
【详解】
由于，设是上一点，且，所以，.由，得，.设，在三角形中，.由正弦定理得，即，解得，所以.在三角形中，由余弦定理得，化简得，解得.表示平面内的点到两点的距离之差，所以，所以.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查向量模的减法运算的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
2．D
【分析】
由，可得；再结合正弦定理余弦定理，将中的角化边，化简整理后可求得；根据锐角和，可推出，，再根据可得，，于是，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．
【详解】
由，得，，
，．
由正弦定理知，，
由余弦定理知，，
，
，化简整理得，，
，，
由正弦定理，有，，，
锐角，且，，，解得，，
，
，，，，，，
的取值范围为，．
故选：．
【点睛】
本题考查解三角形中正弦定理与余弦定理的综合应用，还涉及三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的基础公式，并运用到了角化边的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
3．C
【详解】
试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.
考点：向量在几何中的应用.
4．A
【分析】
过点作的平行线交圆于点，交BC于M，且M为垂足，设D在OE的投影为N，
由向量的几何意义可知，=，只需当N落在E处时，MN最大，求得2cosθ，再由θ∈[0，）求得最值即可.
【详解】
如图，先将C视为定点，设∠CAB＝θ，θ∈[0，），则AC=2cosθ，
连接CB，则CBAC，
过O作AC的平行线交圆于E，交BC于M，且M为垂足，
又知当D、C在AB同侧时，取最大值，
设D在OE的投影为N，
当C确定时，M为定点，则当N落在E处时，MN最大，此时取最大值，
由向量的几何意义可知，=，最大时为，
又OM=cosθ, ∴cosθ，
∴最大为2cosθ,当且仅当cosθ=时等号成立，即θ=，
∴ 的最大值为.
故选A.
【点睛】
本题考查向量数量积的几何意义，考查了数形结合思想，解题关键是找到数量积取得最大时的D的位置，当题目中有多个动点时，可以先定住一个点，是常用的手段，考查了逻辑推理能力，属于难题.
5．A
【分析】
根据题意，不妨用坐标法处理；建立平面直角坐标系，根据题意，求得点坐标，根据向量线性运算的几何意义，求得动点构成的图形形状以及范围，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求得面积.
【详解】
根据题意，不妨过点作的垂线，垂足为，
以为坐标原点，建立平面直角坐标系如下所示：
根据题意，可得坐标如下：
，
设点的坐标为，由
可得：，
故可得.则点坐标为.
设点的坐标为，由，
由向量的线性运算性质可知，点的轨迹是：
以为一组邻边的平行四边形内的任意一点，含边界.
故可得，
故可得,则.
则以为一组邻边的平行四边形的面积
.
故选：.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，涉及余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用；需要注意，本题中，也可以通过几何方法确定点的轨迹图形，解析法只是方法之一；属综合困难题.
6．C
【详解】
试题分析：新三角形的三边分别为，其中边长为的边对的角最大记为角，所以角为钝角．所以，即，整理可得，解得．因为均为三角形的三边长，且最短边长为，最长边长为所以，综上可得．故C正确．
考点：1余弦定理；2三角形中边与角的关系及三边间的关系．
7．ABC
【分析】
利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A；利用余弦定理，即可判断B；首先利用正弦定理得到，即可求出判断C；对选项D，首先利用面积公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理即可判断D.
【详解】
对于A，在中，由，利用正弦定理得，故A正确.
对于B，由锐角三角形知，则，，故B正确.
对于C，由，利用正弦定理得，即，故，即，则是直角三角形，故C正确.
对于D，，解得，利用余弦定理知，所以，又因为，，故D错误.
故选：ABC
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.
8．BCD
【分析】
根据条件求出.
选项A：根据条件求角，根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；
选项B：把的面积表示成的一个函数，利用二次函数求最值；
选项C：根据正弦定理把边表示为，利用为锐角三角形求角的范围，从而求边的范围；
选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式求的内切圆半径，从而求的面积.
【详解】
因为，所以由正弦定理，得,
即 ，
因为，所以，且，所以.
选项：若，则，
所以的外接圆的直径 ，所以，
所以的外接圆的面积为，选项A错误；
选项：若，则，
又因为，所以由余弦定理，得，
即，所以，
所以
，
所以当时，取最大值，且最大值为，所以选项B正确；
选项：由正弦定理，得 ，即 ，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项：因为，所以，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，所以，
所以，又因为，所以，， ，，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.
故选：BCD.
9．
【分析】
由正弦定理及三角形内角性质得，可得，根据余弦定理，应用基本不等式有，结合A为三角形内角，即可求的范围.
【详解】
由正弦定理知：，
∵，
∴，即，
又由余弦定理知：当且仅当时等号成立，而，
∴，则.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：应用三角恒等变换、正弦定理的边角关系确定三边的数量关系，根据余弦定理及基本不等式，求角A余弦值的范围，结合三角形内角的性质求角的范围.
10．
【分析】
可建立如图所示的平面直角坐标系,根据题设可得动点在圆内运动,设点,则可用的三角函数表示,进而求得最大值.
【详解】
由题,如图建系,,,,则,,
因为,则点在以点为圆心,半径为1的圆内（包括边界）,
则设,
因为,所以,
所以,
因为,所以,
所以的最大值为,
故答案为:
【点睛】
本题考查平面向量中基底向量的系数和的最值,考查坐标法表示向量的应用.
11．-10
【分析】
向量变形为，化简得，转化为讨论夹角问题求解.
【详解】
由题线段为该圆的一条直径，设夹角为，
可得：
，
当夹角为时取得最小值-10.
故答案为：-10
【点睛】
此题考查求平面向量数量积的最小值，关键在于根据平面向量的运算法则进行变形，结合线性运算化简求得，此题也可建立直角坐标系，三角换元设坐标利用函数关系求最值.
12．
【分析】
由正弦定理，三角恒等变换和辅助角公式可得，其中，结合范围，由于有最大值，可求，进而求解的取值范围.
【详解】
由于，所以，
由正弦定理得，
所以，，
所以
.
当，即时，，没有最大值，所以，
则，其中，
要使有最大值，则要能取，由于，
所以，所以，即，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
13．（1）小船乙的速度是海里/小时；（2）的最大值海里/小时.
【分析】
首先设，再根据余弦定理求；（2）根据速度和时间表示边长，再根据余弦定理表示为，再根据换元转化为一元二次方程有解问题，求的最大值.
【详解】
（1）由题意可知，，由余弦定理知，∴解得
（2）由题意知等式两侧同时除以得，设，则有，其中，即关于的方程在上有解，则必有，解得，当时，可得，因此的最大值海里/小时.
14．
（1）；
（2）.
【分析】
（1）先通过正弦定理进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式将式子化简，然后求得答案；
（2）在和中，分别运用正弦定理，进而求出，然后在中再次运用正弦定理得到，最后通过三角形面积公式结合基本不等式求得答案.
（1）
根据题意，由正弦定理可知：，则，因为，所以，则，而，于是.
（2）
由（1）可知，，在中，设，则，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
所以.
在中，由正弦定理得：，
所以.
由基本不等式可得：，当且仅当时取“=”.
于是，.即△ABC的面积的最小值为.
15．
（1） m；
（2） m；
（3）有，﹒
【分析】
(1)根据已知条件解△ABC，然后解△AMC，最后解△MNC；
(2)利用“的面积的面积的倍”列出方程；在△CAN中，利用正弦定理表示出|CN|，代入前面所列方程，求得∠ACM，在△CAM中，利用正弦定理解得AM的长度；
(3)用∠ACM表示出CM和CN代入，结合三角函数最值可求△CMN面积的最小值﹒
（1）
∵，，，
∴，∴，∴，∴，
在中，由余弦定理可得，
则，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴护栏的长度(的周长)为 m；
（2）
设()，
∵鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，
∴，即，，
由三角形外角定理可得，
在中，由，得，
从而，即，由，得，
∴，即．
中，，由得；
（3）
鱼塘的面积有最小值，理由如下：
设，由(2)知，，中，
由外角定理可得，
又在中，由，得，
∴
，
∴当且仅当，即时，的面积取最小值为﹒
16．实际风速的大小是，为西北风.
【分析】
设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，作出对应的图形，根据向量的线性运算及向量的模长公式，即可得解.
【详解】
设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，
如图，设，，.
∵，∴，这就是速度为时感到的由正北方向吹来的风速.
∵，∴，这就是速度为时感到的由东北方向吹来的风速，
由题意知，，，∴为等腰直角三角形，
∴，，即.
∴实际风速的大小是，为西北风.
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的应用，解决问题的关键是抓住“人觉得风的速度是合速度”，再根据它们之间的关系进行分析，考查学生的分析判断能力与转化思想，属于中档题.
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