高中数学人教A版（2019）节节练6.4平面向量的应用A卷（Word含答案解析）

高中数学人教A版（2019）节节练6.4平面向量的应用A卷
一、单选题
1．圣·索菲亚教堂（SaintSophiaCathedral）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小宇为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为：12m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（取）（ ）
A．42.5m B．45m C．51m D．56.4m
2．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，，则面积的最大值为
3．在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．给定△ABC，则平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
5．在中，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
6．在中，设，，分别为角A，B，C对应的边，若，且，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．
D．三角形三边长分别为，，，则最大角为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．如图，某小区有一块扇形OPQ空地，现打算在上选取一点C，按如图方式规划一块矩形ABCD土地用于建造文化景观．已知扇形OPQ的半径为6米，圆心角为60°，则矩形ABCD土地的面积（单位：平方米）的最大值是______．
10．某同学制作一种扇形模型如图，已知扇形的圆心角为120°，DC与OA平行，且，扇形半径为，则CD的长为___________.
11．在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________.
12．如图所示，公园直立的路灯杆BC正前方有棵挺拔的小树NH，在路灯杆前的点A（BC，NH，点A在同一平面内）处测得路灯顶点B处和小树顶点N处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M，此时M，N，B三点在同一条直线上.在点M处测得MH=1m，小树顶点N处的仰角为60°，则路灯杆BC的长为___________m.
四、解答题
13．设函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，，求面积的最大值.
14．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若，求外接圆面积的最小值.
15．在中，a，b，c分别为角A B C的对边，.
（1）求A；
（2）若角A的平分线AD交BC于D，且BD=2DC，，求a.
16．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【分析】
在中，求得，由正弦定理得到，再在中，可得，即可求解.
【详解】
如图所示，在中，，
在中，，，
所以，
由正弦定理，可得，
又由，
在中，可得.
故选：D.
2．C
【分析】
A. 根据，得到，再由正弦定理求解判断； B.由判断； C. 由为钝角三角形且C为钝角，利用余弦定理求解判断； D. 由余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式求解判断.
【详解】
A. 因为，所以，由正弦定理，得到，故正确；
B.，则，所以有两解，故正确；
C. 为钝角三角形且C为钝角，则，则，故错误；
D. 由余弦定理与基本不等式得，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，则面积的最大值为，故正确；
故选：C
3．B
【分析】
根据降幂公式，先得到，化简整理，再由正弦定理，得到，推出，进而可得出结果.
【详解】
因为，所以，所以
即，所以，因为，
所以，因为，所以，即是直角三角形.
故选：B
4．A
【分析】
设为△ABC的重心，是平面上的任一点，则得到，即可得到结论.
【详解】
设为△ABC的重心，是平面上的任一点，
则
当且仅当即与重合时，到A，B，C三点距离的平方和最小，
∴平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的重心.
故选：A.
5．D
【分析】
在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状．
【详解】
在中，，
又由余弦定理知，，
两式相加得：，
（当且仅当时取“” ，又，
（当且仅当时成立），为的内角，
，，又，
的形状为等边△．
故选：．
6．B
【分析】
对，由正弦定理化边为角，同时切化弦，然后由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得，也即得，对，把转化为，然后由正弦定理化角为边可得结论．
【详解】
由，则，，
即，整理可得，
，又，所以，即，
又，所以，
所以，所以．
故选：B．
7．BCD
【分析】
利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果.
【详解】
由G是三角形ABC的重心可得，所以=，故A项错误；
过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的中点，则
，故B项正确；
因为G是三角形ABC的重心，所以有，故，
由欧拉线定理可得，故C项正确；
如图（2），由可得，即，则有，D项正确，
故选：BCD.
8．AD
【分析】
利用余弦定理计算可判断A，D；利用诱导公式可判断B；利用正弦定理变形判断C即可作答.
【详解】
对于A，在中，，由余弦定理得，A正确；
对于B，中，，于是得，B不正确；
对于C，中，由正弦定理得：，C不正确；
对于D，中，，则是最大边，记为边c，它所对角为最大角，
由余弦定理得：，而，从而得，即最大角为，D正确.
故选：AD
9．
【分析】
设，，求出，在中，求出，然后表示出矩形面积，然后利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式，化函数为一个角的一个三角函数形式，最后由正弦函数性质得最大值．
【详解】
，
设，，则，
中，，由正弦定理，
，所以，
，
所以，即时，取得最大值．
故答案为：．
10．4
【分析】
中，由正弦定理，先求得，再由两角差的正弦公式求得，然后可得．
【详解】
连接，则，设，，，
中，，
所以，，
或，
时，
，
同理时，不合题意．
，
故答案为：4．
11．
【分析】
根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.
【详解】
，
依题意是角的角平分线，
由三角形的面积公式得，
化简得，，
.
当且仅当，时等号成立.
故答案为：
12．##
【分析】
设，结合，中的长度和角度关系可求得，再由，可得，解得，即得解
【详解】
设，在中，有，，
所以，
在中，有，，则，
所以，
由题意可知，可得，
即，解得，
所以.
故答案为：.
13．
（1）
（2）
【分析】
（1）结合降幂公式和诱导公式得，再整体代换求解即可得答案；
（2）由题知，进而结合余弦定理与基本不等式求解即可得答案.
（1）
解：
当，即，，解得，，此时，
即函数图象的对称中心为.
（2）
解：因为，所以，
因为A为锐角，所以，
由余弦定理得
所以，当且仅当取等号.
此时，
所以，当且仅当取等号.
14．
（1）
（2）
【分析】
（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；
（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圆半径的最小值，然后可解.
（1）
因为，所以，
解得或（舍去），
又为锐角三角形，所以.
（2）
因为，
当且仅当时，等号成立，所以.
外接圆的半径，故外接圆面积的最小值为.
15．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；
（2）根据BD=2DC，由角平分线定理得到c=2b,再由，得到 ，再利用余弦定理求解.
（1）
解：因为，
所以,，
即，
即，
所以，
因为，
所以；
（2）
因为角A的平分线AD交BC于D，且BD=2DC，
由角平分线定理得：c=2b,
又，
即，
所以 ，即 ，
所以 ，
由余弦定理得：，
所以.
16．
（1）
（2）
【分析】
（1）先利用正弦定理统一成角，然后利用三角函数恒等变换公化简，从而可求出角的大小，
（2）利用余弦将所给式统一成边，化简可得，结合已知可求出，再利用三角形面积公式求解即可
（1）
由已知及正弦定理，得．
∴．
∵，∴．
∴．
又∵，∴．
∵，∴．
（2）
由已知及余弦定理，得，
化简，得．即，
又∵，∴．
∴的面积．
答案第1页，共2页
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