高中数学人教A版（2019）节节练6.3平面向量基本定理及坐标表示B卷（Word含答案解析）

高中数学人教A版（2019）节节练6.3平面向量基本定理及坐标表示A卷
一、单选题
1．如图，在等腰梯形中，，，，点，分别为，的中点.如果对于常数，在等腰梯形的四条边上，有且只有8个不同的点使得成立，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为
A． B． C． D．
4．已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量，是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到，现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．点O是平面α上一定点，A，B，C是平面α上的三个顶点，，分别是边，的对角.有以下五个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则，的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
7．(多选)空间四点A，B，C，D每两点的连线长都等于，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与点Q的距离可能为（ ）
A． B．a
C．a D．a
8．设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则称，调和分割，．现已知平面上两点C，D调和分割A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．点C可能是线段的中点
B．点D不可能是线段的中点
C．点C，D可能同时在线段上
D．点C，D不可能同时在线段的延长线上
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．在中，，，，若点O为的重心，则的值为________.
10．已知平面向量满足，，，且，求的最小值为______．
11．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是______．
12．等腰梯形中，已知，，，点，分别在线段和上，且，，则的最小值为__________．
四、解答题
13．已知，、、在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为、、．
（1）若，求角的值；
（2）当时，求的值．
14．如图，三点不共线，，，设，.
（1）试用表示向量；
（2）设线段的中点分别为，试证明三点共线.
15．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，若，
（1）求角C的大小；
（2）若，求的值．
16．已知分别是与轴，轴正方向相同的单位向量，，，对任意正整数，，且．
（1）求实数的值；
（2）求；
（3）求的坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
建立坐标系，设的坐标，根据得到关于的方程，根据的位置分四种情况讨论方程解得情况．
【详解】
解：以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则梯形的高为，，，，，，．
（1）当在上时，设，，则，．
于是，
当时，方程有一解，当时，有两解；
（2）当在上时，设，，则，．
于是，
当时，方程有一解，当时，有两解；
（3）当在上时，直线方程为，
设，，则，．
于是．
当或时，方程有一解，当时，方程有两解；
（4）当在上时，直线的方程为，
设，，则，．
于是．
当或时，方程有一解，当时，方程有两解；
综上，若使梯形上有8个不同的点满足成立，
则的取值范围是，，，，，．
故选：．
2．C
【分析】
根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，又且且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值.
【详解】
在等腰△中，，则，
∵分别是边的点，
∴，，而，
∴两边平方得：，而，
∴，又，即，
∴当时，最小值为，即的最小值为.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得，结合已知条件转化为关于的二次函数，求最值.
3．C
【分析】
如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求,
【详解】
如图:
设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,
过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,
过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,,,其中,又,
所以,
当Q在BC的下方时, ;
当Q在BC上时,,
当Q在BC的上方时,,
根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大，
所以：x+y的最大值为：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题.
4．A
【分析】
设，由已知条件判断出，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则，，得，再由得，设，求出范围可得答案
【详解】
设，则，
，
所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，
所在的边为轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，
则，，因为，所以，
因为，所以，
所以，，
两式相加得，
所以，
因为，所以设，
所以，
因为不共线，所以不共线，所以，
所以，，
，
所以，
故选：A.
5．B
【分析】
根据题意，可得，，，即当时，一次，变换将逆时针旋转1弧度，再将所得向量的长度再伸长为原来的倍得到向量．因此当时，运用矩阵变换公式，算出逆时针旋转1弧度所得向量，从而得到，，，所以．接下来再对、、、各项在时的情况进行计算，对照所得结果可得只有项是正确的选项
【详解】
根据题意，，
一次，变换就是将向量逆时针旋转1弧度，再将长度伸长为原来的倍，
即由逆时针旋转1弧度而得，且
设向量逆时针旋转1弧度，所得的向量为，则有，
，即向量逆时针旋转1弧度，
得到向量，再将的模长度伸长为原来的倍，
得到，，
因此当时，，，，即，由此可得
对于，当时，与计算结果不相等，故不正确；
对于，当时，与计算结果相等，故正确；
对于，当时，与计算结果不相等，故不正确；
对于，当时，与计算结果不相等，故不正确
故选：B
【点睛】
本题考查了向量的线性运算，用矩阵解决向量的旋转问题和数列的通项公式，属于中档题
6．C
【分析】
根据的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误．
【详解】
①当动点P满足时，则点P是的重心，所以①不正确；
②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线，
所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；
③变形为，而，表示点A到边的距离，
设为，所以，而表示边的中线向量，
所以表示边的中线向量，因此的重心一定在满足条件的P点集合中，
所以③正确；
④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；
正确答案序号为②③．
故选：C
7．BC
【分析】
设，，利用向量的基底表示的方法表示出向量，然后计算，并且表示为关于的关系式，再结合的取值范围判断即可.
【详解】
解析：如图所示，由题意知，，两两夹角均为，设，，则，所以
因为，，所以，即.
故选：BC.
【点睛】
利用向量计算距离的取值范围问题，一是建立直角坐标系，表示相关点的坐标，利用模长的坐标公式表示出所求距离，再利用函数的性质或者基本不等式求解最值；二是利用向量的基底表示方法表示出所求向量，计算模长的平方，然后利用函数的性质或者基本不等式求解最值.
8．BD
【分析】
由题意设，，，，结合已知条件得，根据选项考查的解，用排除法选择答案即可.
【详解】
由已知不妨设，，，，
由C，D调和分割A，B 可知，，，
代入得( )
对于AB，若C是线段AB的中点，则，代入( )得，d不存在，故C不可能是线段AB的中点，同理D不可能是线段的中点，故A错误，B正确；
对于C， 若C，D同时在线段AB上，则，代入( )得，，
此时C和D点重合，与已知矛盾，故C错误；
对于D，若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，，则，这与矛盾，所以C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确；
故选：BD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查新定义的应用问题，正确理解新定义的含义是解题的关键，考查学生的逻辑推理与特殊与一般思想，属于较难题.
9．
【分析】
根据重心性质得到，再根据余弦定理得到，再利用数量积公式即可得到.
【详解】
取中点为，
点O为的重心，
（重心的性质），
，
由余弦定理得：，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查的是向量数量积公式的应用，余弦定理的应用以及重心性质的应用，考查学生对知识的掌握，考查学生的分析和解决问题的能力，是中档题.
10．
【分析】
可设，，，运用向量的坐标表示求出m,n,再由向量模的公式和数量积公式的坐标表示，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值
【详解】
设，，，
，，
答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算及向量模的公式，二次函数最值问题，找出n,p的等量关系，学会用配方法解题是关键
11．
【分析】
建立直角坐标系，，设，，然后根据得，再设，，，根据，表示出，进而表示出，换元之后利用基本不等式求解最值.
【详解】
以为坐标原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设，，则．
由可得，所以可设，，．
因为，由可得，，
所以．设，，
则，
即当时，取最大值，最大值为．
故答案为：.
【点睛】
一般关于平面向量中的最值运算，如果没有坐标的话，通常根据题意建立直角坐标系，利用坐标表示向量的关系，然后数形结合，将式子转化为函数的最值或者利用基本不等式求解最值.
12．
【分析】
把向量和拆成以为基底，可得，再由均值不等式可求得最小值．
【详解】
由于是等腰梯形，所以AB=2,=
=（）
当且仅当等号成立，所以填．
【点睛】
本题考查的是利用平面向量基本定理把向量数量积用基底表示，数量积转化为关于的函数，再利用均值不等式求得最值，选择合适的基底是此类题的关键，再把其它向量都用基底表示．
13．（1） （2）-
【解析】
【分析】
⑴首先可以通过、、写出和，然后通过化简可得，最后通过即可得出角的值；
⑵首先可通过化简得到，再通过化简得到，最后对化简即可得到的值．
【详解】
⑴已知、、，
所以，，
因为，
所以
化简得，即，
因为，所以；
⑵由可得，
化简得，，
所以，
所以，综上所述，．
【点睛】
本题考查了三角函数以及向量的相关性质，主要考查了三角恒等变换的相关性质以及向量的运算的相关性质，考查了计算能力，考查了化归与转化思想，锻炼了学生对于公式的使用，是难题．
14．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由，，三点共线，可得到一个向量等式，由，，三点共线可得到另一个等式，两者结合即可解决（1）；
（2）欲证三点共线，可先证明两向量共线得到．
【详解】
解：（1），，三点共线，
，①
同理，，，三点共线，可得，②
比较①，②，得解得，，
．
（2），，，
，，
，
，，三点共线．
【点睛】
本题考查平面向量的基本定理和平面向量的共线定理的应用，通过共线定理证明三点共线，考查转化思想和运算能力.
15．（1）（2）
【分析】
（1）利用推出a，b，c的关系，利用余弦定理求出C的大小即可.
（2）由正弦定理可得，得出，将化简得，进而求出答案.
【详解】
解：（1），则，
.
由余弦定理得，故有.
（2），
，即.
【点睛】
本题考查了平行向量与共线向量，余弦定理、正弦定理的运用.
16．（1）6；（2）；（3）
【分析】
（1）由得，再由得到数量积为，从而得的值；
（2）求出，，从而得到；
（3）由，再利用等比数列求和公式求向量的坐标.
【详解】
（1）当时，，
因为，且，所以.
（2）由（1）得，则，设，所以，
又，所以
设，则，
所以则，所以.
（3）因为
【点睛】
本题首先考查向量的坐标表示，然后通过坐标运算求参数和向量坐标和模等知识，与等比数列求和知识进行交会，考查逻辑推理和运算求解能力.
答案第1页，共2页
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