高中数学人教A版（2019）节节练6.3平面向量基本定理及坐标表示A卷（Word含答案解析）

高中数学人教A版（2019）节节练6.3平面向量基本定理及坐标表示A卷
一、单选题
1．已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
2．设向量，向量，规定两向量m，n之间的一个运算“ ”的结果为向量）， 若已知向量，且向量与向量 共线又与向量 垂直，则向量的坐标为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
3．在中，，，E在上且，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
4．在直角坐标系xOy中，异于坐标原点的点和点满足，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”，若若，其中O为坐标原点，则m与θ的值（ ）
A．m不确定， B．，θ不确定
C．， D．m不确定，θ不确定
5．若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，若点，则（　　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则与共线
C．若，则
D．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
8．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若两个非零向量，满足，则与共线且反向
C．若对平面内的任意一点，有，且，则A，B，C三点共线
D．若，，且与夹角为锐角，则
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知，若恒成立，则k的取值为_____________.
10．已知向量，，.若，则与的夹角的大小为______.
11．已知向量，，，则实数______．
12．已知正方形的边长为，为的中点，则______________.
四、解答题
13．如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n (m，n∈R)，求m＋n的值．
14．已知向量，．
(1)若，试研究函数在区间上的单调性；
(2)若，且，试求m的值．
15．已知半圆圆心为，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.
（1）求点、、的坐标；
（2）若，求与夹角的大小；
（3）试确定点的位置，使取得最小值，并求此最小值.
16．已知向量，.①，共线，②.
（1）若______，请从以上两个条件中任选一个，求x的值；
（2）当时，求与夹角θ的余弦值.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【分析】
根据基底不共线原则判断即可.
【详解】
解：只要两向量不共线便可作为基底，
故对于A选项，，共线，不满足；
对于B选项，，共线，不满足；
对于C选项，共线，不满足；
对于D选项，与不共线，故满足.
故选：D.
2．B
【分析】
由题意先求出，再根据向量的平行与垂直得出关于的方程，从而得出答案.
【详解】
解析：设，依题意得：
由题意可得 ，解得
故
故选：B．
3．C
【分析】
用表示出，再由数量积的运算律计算．
【详解】
因为，
所以，
所以．
故选：C．
4．C
【分析】
可以根据条件求出，从而求出m的值，并可求出，从而可根据求出，进而得出.
【详解】
解：，
可得，
所以，，又，所以.
故选：C.
5．D
【分析】
且与不同向，进而求解即可得答案.
【详解】
解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，
由，共线得，得，
故.
故选:D.
6．D
【分析】
由函数解析式知：过且关于中心对称，结合、图象知：交点有5个且交点，根据向量加法的几何意义有，进而可求.
【详解】
过，而，即关于中心对称，
由函数解析式可得、图象如下：
由图易知：与的交点共有5个，即.
∴的坐标即为，其中、都关于对称，
∴，又，则，
∴.
故选：D
7．BC
【分析】
对于,A，举反例即可；对于B，由数量积的定义判断即可；对于C，两边平方化简即可；对于D，与的夹角为锐角，则，且与不共线
【详解】
当，在方向上的投影相同时，显然不一定成立，A错误；
若，则向量夹角或，与同向或反向，共线，B正确；
若，两边平方得，，即，C正确；
若因为，，所以，
因为与的夹角为锐角，则，且，所以D不正确.
故选：BC
8．BC
【分析】
A. 如果，则不一定成立，所以该选项错误；
B. 由题得，则与共线且反向，所以该选项正确；
C. 由题得,因为向量有公共点,则A，B，C三点共线,所以该选项正确；
D. 由题得且，所以该选项错误.
【详解】
A. 如果，则不一定成立，所以该选项错误；
B. 由题得，所以，则与共线且反向，所以该选项正确；
C. 由题得，所以,所以,
因为向量有公共点,则A，B，C三点共线,所以该选项正确；
D. 若，，且与夹角为锐角，则，且，所以且，所以该选项错误.
故选：BC
9．0
【分析】
先计算，再根据向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】
解：因为，
所以，
因为，
所以，即，解得
故答案为：
10．##
【分析】
由向量坐标运算可求得，代入向量夹角公式可求得，由此可得结果.
【详解】
解：由题意得：，
设，则，即
故答案为：
11．1
【分析】
由向量垂直的条件和向量数量积的运算律计算可得答案.
【详解】
解：∵，∴，
又，，∴，解得．
故答案为：1.
12．-2
【分析】
利用基向量表示向量，再利用向量加法与乘法的分配律，交换律化简，运算即得解
【详解】
【点睛】
本题考查了基向量法在向量数量积运算中的运用，考查了学生转化划归、数学运算的能力
13．.
【分析】
以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据向量的夹角和结合三角函数的概念表示出点的坐标，即向量的坐标，然后把向量的坐标代入＝m＋n即可求出m＋n的值.
【详解】
以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
由tan α＝7知α为锐角，则sin α＝，cos α＝，
所以cos(α＋45°)＝，sin(α＋45°)＝.
∴点B，C的坐标分别为，，∴， ，
又＝m＋n，∴＝m(1，0)＋n，
∴，解得，∴m＋n＝＋＝.
故答案为：.
14．(1)时，函数单调递增，时，函数单调递减；(2) .
【分析】
(1)运用向量的数量积，再把所得函数解析式化简为的形式，再结合区间上的单调性分类讨论；(2)由，通过变形得m与的关系式，而已知，则m的值即可求得．
【详解】
(1)当时，
，由，得．
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减．
(2)由可得．
由，可得（若，则（），此时，与条件矛盾）．
从而有，即，两边同除以，可得，∴．
15．（1），，；（2）；（3）的坐标为，.
【分析】
（1）根据题意可得出A、B的坐标，根据，可得出C点的坐标.
（2）利用向量坐标运算求出与，再利用夹角公式即可得出结论.
（3）设，得出，，由向量的数量积运算将转化为关于的二次函数，由二次函数的性质即可求得的最小值
【详解】
解:（1）因为半圆的直径，由题易知：、
又，，易得：.
（2）由（1）知，，，
所以.
设与夹角为，则，
又因为，所以，即与的夹角为.
（3）设，由（1）知，，，
，
所以，
又因为，所以当时，有最小值为，
此时点的坐标为
16．
（1）选择①，；选择②，；
（2）.
【分析】
（1）选择①，根据共线即可得出，解出即可；选择②，先求出，根据即可得出，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值；
（2）时，可得出向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出．
（1）
解：如果选择①，共线，，解得；
如果选择②，，且，
，解得.
（2）
解：当时，，
，，
．
答案第1页，共2页
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