高中数学人教A版（2019）节节练6.2平面向量的运算B卷（Word含答案解析）

高中数学人教A版（2019）节节练6.2平面向量的运算B卷
一、单选题
1．在中，若，且，则的形状为
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
2．若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若平面向量，，满足，，，且，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．设G为△ABC的重心，若，则的取值范围为（ ）
A．（－80，160） B．（－80，40）
C．（－40，80） D．（－160，80）
5．若是垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．在△中，，，是边上的点，且，为△的外心，则（ ）
A．12 B．13 C．18 D．9
二、多选题
7．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线必过边的中点
C．
D．若，且，则
8．一般的，的夹角可记为，已知同一个平面上的单位向量满足，则的取值可以是（ ）.
A． B．1 C．2 D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．如图，在和中，是的中点，，，若，则与的夹角的余弦值等于______.
10．已知平面向量满足，则与所成夹角的取值范围是_______.
11．已知， ， 是空间单位向量，且满足，若向量， ，则在 方向上的投影的最大值为___________.
12．设，为单位向量，非零向量，．若，的夹角为，
则的最大值等于________．
四、解答题
13．已知，，设.
（1）当时，求的值域；
（2）若锐角满足，且不等式恒成立，求的取值范围.
14．在△ABC中，重心为G，垂心为H，外心为I．
（1）若△ABC三个顶点的坐标为，，，证明：G，H，I三点共线；
（2）对于任斜三角形ABC，G，H，I三点是否都共线，并说明理由．
15．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
16．已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．A
【分析】
由题中，结合三角形图像找准向量夹角，得出基本关系式，再根据几何关系进行求解
【详解】
如图所示.
，
，
.
∵，∴.作于，则，∴，
∴为的中点，∴.
同理可证，∴为等边三角形.
答案选A
【点睛】
个别设及三角形形状题型，可先进行预判，再想法设法去进行证明比如此题，可先预判为等边三角形，再进行证明，对于复杂的几何问题，需要借助图形来辅助求解
2．A
【分析】
设的外接圆圆心为O，由题设可知为正三角形，则，，由，知，计算可求解.
【详解】
如图设的外接圆圆心为O，
的边，的外接圆半径为2，
为正三角形，且，
则
，，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题的关键是将未知的通过向量的加法及数量积运算转化为已知的向量，本题将的最小值转化为的最小值，结合数量积及余弦函数即可求解，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力.
3．B
【分析】
由题目条件可先求出，再根据向量模的不等式求出的值域，由即可求出.
【详解】
由题意得，
又因为，
所以，
当与同向时，，与反向时，，
又因为，
所以，
故选：B
【点睛】
本题考查平面向量的数量积运算，平面向量模的不等式，根据题目中的条件以为中间量是解题的关键.
4．A
【分析】
由题设知、为的中点且，结合已知求出，利用向量数量积的运算律有求得，再由目标式中向量线性关系的几何意义及三角形三边关系，即可求范围.
【详解】
∵，
∴，连接并延长交于，则为的中点，且，
在中，，则，
∵，
∴，
，
∵，即，
∴.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：连接并延长交于，根据重心的性质可知为的中点且，再由向量数量积的运算律求，结合相关向量线性关系的几何意义及三角形三边关系求目标式范围.
5．D
【分析】
利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值.
【详解】
在中，，
由，
得，
连接并延长交于，
因为是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因为，所以
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，
而，所以得到，
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．
6．B
【分析】
由向量在几何图形中对应线段，结合向量的加法得，取的中点为，连接，再由为△的外心得：、，最后根据求值即可.
【详解】
由于，则，取的中点为，连接，
由于为△的外心，则，
∴，
同理可得，，
∴.
故选：B
7．ACD
【分析】
根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的.
【详解】
如图所示，点O为所在平面内一点，且，
可得，即，
即，所以，所以A是正确的；
在中，设为的中点，
由，可得，
所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确；
由，可得且，
所以，所以，可得，所以
所以，所以C正确；
由，可得
因为，且，
可得，
所以，所以D是正确的.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．ABC
【分析】
结合题意，讨论满足的情况，分别研究即可
【详解】
由题意可知，当且在之间时，满足，
如图所示，不妨令，
则易知，，
结合图象可知当点在上时，，
当点与点或点重合时，，
此时，；
当且在之间时，满足，
如图所示，不妨令，
过点作，且，连接，则易知为平行四边形，
又易知，则，
结合图象可知当点与点时，，
当点与点重合时，，
此时；
当且在之间时，满足，
同理当且在之间时，有；
综上可知：
故选：ABC
9．
【分析】
由题设得，由求，又，即可得，进而求与的夹角的余弦值.
【详解】
由图知： ，，
∴，
又，且，，
∴，
∴，而，即，
又，
∴.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：根据几何图形，结合向量加减法的几何应用及数量积的运算律，得到，进而求向量夹角余弦值.
10．
【分析】
令||＝|2|＝x，向量（）与（2）的夹角为θ，与的夹角为α，即可得到方程cos2α，化简为对勾函数的形式，根据对勾函数的值域求cos2α的范围，从而可得α的最大值．
【详解】
令||＝|2|＝x，向量（）与（2）的夹角为θ∈[0，π]，
因为2（）﹣（2），
所以（） （）＝（） [2（）﹣（2）]＝2||2﹣|||2|cosθ①，
若与的夹角为α∈[0，π]，即（） （）＝||||cosα②，
所以由①②知，||cosα＝2||﹣|2|cosθ＝2x﹣xcosθ＝x（2﹣cosθ），
所以cosα＞0，
即||2cos2α＝4x2﹣4x2cosθ+x2cos2θ，
又因为||2＝|2（）﹣（2）|2＝5x2﹣4x2cosθ，
所以cos2α，令m＝5﹣4cosθ，
即cos2α，m∈[1，9]，有cos2α∈[，1]，
又因为cosα＞0，
所以cosα∈[，1]，
所以α的最大值是．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：利用向量数量积定义及向量加减运算转化（） （）＝（） [2（）﹣（2）]求解
11． .
【分析】
先确定在 方向上的投影用计算，对该式子利用数量积相关公式化简，再用换元法转化为求二次函数的最大值.
【详解】
在 方向上的投影为.
把 ，代入整理得，
.
令，则 ，
，
当且仅当 ，即时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：.
12．2
【分析】
由题意，可得，，从而可得当时，；当时，，再利用二次函数的性质可得的最大值，比较大小即可得答案．
【详解】
解：，为单位向量，和的夹角等于，
，
当时，则；
非零向量，
，
当时，
，
故当时，取得最大值为2，
综上，取得最大值为2．
故答案为：2．
13．（1）
（2）
【分析】
（1）根据向量的数量积，求得的表达式化简，再根据的取值范围求出的值域即可.
（2）根据，可求的角的值，再根据不等式
转化为,结合基本不等式即可求出的取值范围.
【详解】
解: （1）已知，，
,
因为,则,
,
故的值域为:.
（2）由（1）得,
因为锐角满足,
,
解得,
又因为
即①
又因为
带入不等式①
因为在锐角中,
所以,
所以
故的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查向量的数量积、三角函数及基本不等式的应用。
14．（1）证明见解析；（2）共线，证明见解析.
【分析】
（1）分别求出G，H，I三点的坐标，利用斜率相等，即可证明结论；
（2）以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设
，，的坐标分别为，，，，，利用共线向量基本定理，即可得证；
【详解】
（1）易得：，，，
，，
，G，H，I三点共线；
（2）以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设
，，的坐标分别为，，，，，则
设外心，垂心的坐标为，，的中点为，
，，的坐标分别为，，，，，
，，的坐标为，，
，，，，
由，
则，
即，
外心的坐标为，垂心的坐标为，
，，，，得，
，，三点共线.
【点睛】
本题考查向量在几何中的应用，关键是掌握坐标的运算法则和向量的数量积的运算，属于中档题．
15．（1）；（2）；（3）存在，点.
【分析】
（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.
【详解】
解：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为，
，.
，，.
.
（3）由为的相伴特征向量知：
.
所以.
设，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立.
在图像上存在点，使得.
【点睛】
关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题.
16．（1）见解析（2）或.（3）（4）
【分析】
（1）根据条件计算，即可证明；
（2）由可得，计算即可求出的值；
（3）由可得，计算可得的值；
（4）先计算，再计算，，代入向量夹角公式计算即可.
【详解】
（1）证明：因为，与的夹角为，
所以，
所以.
（2）由得，即.
因为，，
所以，，
所以，
即.所以或.
（3）由知，即，即.
因为，，所以，，
所以.所以.
（4）由前面解答知，，.
而，
所以.
因为，
由得，
化简得，
所以或.
经检验知不成立，故.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，夹角公式，模的运算，考查了计算能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
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