高中数学人教A版（2019）节节练6.2平面向量的运算A卷（Word含答案解析）

高中数学人教A版（2019）节节练6.2平面向量的运算A卷
一、单选题
1．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知平行四边形，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．在平行四边形ABCD中，AB的中点为M，过A作DM的垂线，垂足为H，若，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若向量，满足，，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、多选题
7．已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．
8．，是夹角为的单位向量，，.则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．在三角形中，是中点，，，则___________.
10．已知向量，的夹角为，，，则_______.
11．已知平面向量，的夹角为，且，，则______．
12．已知，，，则________.
四、解答题
13．已知向量.
（1）求与平行的单位向量；
（2）设，若存在，使得成立，求k的取值范围.
14．设两个向量，，满足，.
（1）若，求，的夹角；
（2）若，夹角为60°，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
15．如图，在直角梯形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求与的夹角的正切值.
16．已知，且，，若有两个不同时为零的实数k，t，使得与垂直，试求k的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值.
【详解】
故选：C
2．C
【分析】
首先分别求出与的数量积以及各自的模，利用向量的夹角公式即得解
【详解】
由已知，，
所以，
，
设向量与的夹角为，
则
故选：C
3．A
【分析】
由得到，判断出是菱形，根据即可求出.
【详解】
以为基底，
因为，
所以，．
是菱形，.
∴
而∴，．
故选：A.
4．D
【分析】
根据题意可得，再利用数量积的定义化简求出.
【详解】
在平行四边形ABCD中，,
所以
.
故选：D.
5．D
【分析】
利用相等向量的定义判断选项AB，利用平面向量的三角形法则判断CD．
【详解】
对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；
对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；
对于C，利用三角形法则知，故C错误；
对于D，利用三角形法则知，故D正确；
故选：D
6．C
【分析】
由题意可得，，进而可得，即可求解.
【详解】
向量，满足，，，
所以，可得：，即，
所以，
故选：C．
7．AD
【分析】
根据向量运算和向量夹角公式，向量模依次判断每个选项得到答案.
【详解】
，
将，的代入，可得故，故正确；
，故错误；
设与的夹角为，则，
故，又，故，错误；
，故，正确.
故选：.
8．BD
【分析】
根据向量的数量积的定义以及应用，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，向量，是夹角为的单位向量，可得，
因为，，
所以，即不成立，所以A错误；
由，即，故B正确；
由，可得，所以C错误；
由，
则，所以D正确.
故选：BD.
9．
【分析】
根据向量的加法减法运算及数量积的运算性质求解即可.
【详解】
由三角形中，,,
可得：
,
故答案为：
10．2
【分析】
先求出，即可求出
【详解】
因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：2.
11．
【分析】
首先对展开，再结合已知条件和数量积公式求解，进而求出.
【详解】
因为，所以，
又因为，的夹角为，，
所以，
所以．
故答案为：.
12．
【分析】
利用向量恒等式，即可得到答案；
【详解】
，
，
，
故答案为：
13．（1）或；（2）.
【分析】
（1）设，根据题意得从而解得向量；
（2）根据向量的数量积运算求得，，代入化简得到，关于t的二次方程在内有解.分离参数，从而求得参数取值范围.
【详解】
（1）设，根据题意得
解得或
或.
（2）..，
.
当时，不成立，则通过分离参数，可以把问题转化为在内有交点.根据对勾函数的单调性知，，当时，等号成立，
故实数k的取值范围为.
14．（1）；（2）.
【分析】
（1）由平面向量数量积的运算律计算求得，再由数量积的定义求得夹角；
（2）由去除它们反向的情形即可得．
【详解】
（1），，
即，，所以
（2），且与不共线，
，
，且
15．（1）；（2）-8.
【分析】
分别以的方向为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据利用向量的坐标表示可得.
（1）由向量垂直的坐标表示可得答案；
（2）设与的夹角为，由向量夹角的坐标运算可得，再根据三角函数性质求正切值.
【详解】
分别以的方向为轴，轴的正方向，点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，
所以，
又，所以，
则.
（1）因为，所以，
即，解得.
（2）若，
，
设与的夹角为，
所以，所以，
所以，，
故与的夹角的正切值为.
16．
【分析】
由得，再由与垂直，转化得，结合二次函数性质可求k的最小值．
【详解】
因为，所以，
又与垂直，所以，
即，又，，所以，
，当时，取到最小值.
答案第1页，共2页
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