高中数学人教A版（2019）节节练6.1平面向量概念A卷（Word含答案解析）

高中数学人教A版（2019）节节练6.1平面向量概念A卷
一、单选题
1．已知是坐标平面上的三点，其坐标分别为，则的形状为
A．直角（非等腰）三角形 B．等腰（非等边）三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B．
C． D．(8，－1)
3．已知是两个单位向量，则下列等式一定成立的是
A． B． C． D．
4．下列命题中正确的是（ ）；
A．若非零向量，满足，则
B．若则或
C．若不平行的两个非零向量，满足，则
D．若，则
5．下列说法正确的个数为（ ）
①若，是两个单位向量，则；
②若，，则；
③与任何一向量平行，则；
④.
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若平面向量，满足，，且，则等于（ ）
A． B． C．2 D．8
二、多选题
7．下列命题中，正确的有（ ）
A．向量与是共线向量，则点、、、必在同一条直线上
B．若且，则角为第二或第四象限角
C．函数是周期函数，最小正周期是
D．中，若，则为钝角三角形
8．有下列说法，其中错误的说法为
A．若////，则//
B．若，，分别表示，的面积，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若//，则存在唯一实数使得
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知向量满足，，则的夹角为__________．
10．对于任意的两个向量，，规定运算“”为，运算“”为．设，若，则_______．
11．对空间向量，有如下命题：
①；
②若平面平面，且，则；
③若，则；
④若都是直线的方向向量，则.
其中说法正确的是________.
12．已知非零向量满足，，且，则_____________.
四、解答题
13．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且．
（1）当λ，求||；
（2）求的最小值．
14．若向量，满足，，求的最大值及最小值.
15．设两个向量满足,,的夹角为60°,若向量与的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
16．已知三点A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中a>0，b>0.
(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值.
(2)若A，B，C三点共线，试求a+b的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
用向量法判断三角形形状可将每一条线段转化成向量的坐标表示法，再根据向量垂直的条件和模长公式来进行判断
【详解】
∵，且，∴为等腰直角三角形.
答案选C
【点睛】
此题还可采用把点还原坐标法，根据坐标中呈现形状，再采用向量法来进行证明
2．B
【分析】
由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.
【详解】
解：设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，
所以，解得，即，
故选B.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.
3．C
【分析】
取夹角为，计算排除，得到答案.
【详解】
取夹角为，则，，排除，易知.
故选：.
【点睛】
本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力.
4．C
【分析】
当，则或或，则可判断A,B错误，
由向量的运算法则及向量模的运算可得，可得C正确；
由，则需讨论两向量同向共线与反向共线，可得D错误.
【详解】
解：对于选项A，，则则或，即A错误；对于选项B，若则或或，即B错误；
对于选项C，因为，所以，即，即，即C正确；对于选项D，若，当同向共线时，，当反向共线时，，即D错误，
故选：C.
【点睛】
本题考查了向量的数量积、向量的运算法则及两向量垂直的充要条件，属基础题.
5．A
【分析】
利用单位向量，向量平行，向量的数量积公式直接求解.
【详解】
在①中，若，是两个单位向量，则，故①错误；
在②中，若若，，则当时，不一定成立，故②错误；
在③中，与任何一向量平行，由零向量平行于所有向量，得，故③正确;
在④中，由向量得数量积不满足结合律，得不成立，故④错误.
故选：A
【点睛】
本题考查了向量的相关知识点，考查了学生概念理解，综合分析的能力，属于基础题.
6．B
【分析】
由，可得，再结合，展开可求出答案.
【详解】
由，可知，展开可得，
所以，
又，，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，注意向量的平方等于模的平方，属于基础题.
7．BCD
【分析】
根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C选项的正误；利用切化弦思想化简不等式得出，进而可判断出选项D的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于A选项，向量与共线，则或点、、、在同一条直线上，A选项错误；
对于B选项，，，所以，
则角为第四象限角，如下图所示：
则为第二或第四象限角，B选项正确；
对于C选项，作出函数的图象如下图所示：
由图象可知，函数是周期函数，且最小正周期为，C选项正确；
对于D选项，，
，，
对于任意三角形，必有两个角为锐角，则的三个内角余弦值必有一个为负数，
则为钝角三角形，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.
8．AD
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A. 若////，则//，如果，都是非零向量，，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；
B. 如图，D,E分别是AC,BC的中点，
，
所以则,所以该选项是正确的；
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向，所以该选项是正确的；
D. 若//，如果是非零向量，，则不存在实数使得，所以该选项是错误的.
故选A,D
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
9．
【详解】
由题得, 因为,
所以
故填.
10．
【分析】
设，根据所给运算的定义计算可得.
【详解】
解：设
由，
可得解得
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查新定义运算，关键是掌握向量的坐标运算，属于基础题.
11．①④
【分析】
根据向量夹角的定义判断①；根据相等向量的定义判断②；根据向量模的定义判断③；根据共线向量的性质判断④.
【详解】
由两向量夹角的定义知①为真；
只有同向时才能得出，故②为假；
若两向量不相等，但其模可能相等，故③为假；
由方向向量定义知④为真，故答案为①④．
故答案为①④.
【点睛】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等；平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，平行向量也叫共线向量，规定零向量与任何向量平行；由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小与方向是可以平行移动.
12．4
【分析】
设,则,以为邻边作平行四边形,则,由已知可得,再利用矩形的几何性质求解即可
【详解】
如图所示,设,则,
以为邻边作平行四边形,则,
由于,故,
所以是直角三角形,,
从而,所以平行四边形是矩形,
根据矩形的对角线相等得,即
故答案为:4
【点睛】
本题考查利用几何性质求向量的模,考查向量的加法,向量的减法的应用
13．（1）（2）
【分析】
以等腰梯形的底所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算求出，，
（1）当时，，即可求出答案；
（2）根据向量的数量积和基本不等式即可求出答案.
【详解】
以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，
∵AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，
∴A（﹣1，0），B（1，0），C（，），D（，），
∴（2，0）+λ（，）=2λ，λ），
（1）当λ时，（，），则||
（2）∵（，）（1，0）＝（，），
∴2，当且仅当λ时取得最小值．
【点睛】
本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值，属于基础题.
14．最大值是18，最小值是6.
【分析】
根据向量的三角不等式即可求解.
【详解】
因为，，
所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号；
，当且仅当向量，方向相反时取得等号.
所以的最大值是18，最小值是6.
15．
【分析】
根据()（)可求得，又与反向共线时，可求得，即可求的范围.
【详解】
因为,,的夹角为60°,
所以60°，
因为向量与的夹角为钝角，
所以()（)，
所以，
即，解得，
又与反向共线时，必存在使（)，
即，
因为不共线，所以，
所以，且，
所以，
所以所求的范围是
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量的夹角，当两个向量的夹角为时，也满足数量积小于0，故要排除，这是容易错的地方，应该特别注意，属于中档题.
16．（1）a=2，b=2（2）a+b的最小值是8
【分析】
（1）由于四边形OACB是平行四边形，可得，利用坐标运算与向量相等即可得出．
（2）利用向量共线定理与基本不等式的性质即可得出．
【详解】
(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以=，即(a，0)=(2，2-b)，
解得故a=2，b=2.
(2)因为=(-a，b)，=(2，2-b)，
由A，B，C三点共线，得∥，
所以-a(2-b)-2b=0，即2(a+b)=ab，
因为a>0，b>0，
所以2(a+b)=ab≤，
即(a+b)2-8(a+b)≥0，
解得a+b≥8或a+b≤0.
因为a>0，b>0，
所以a+b≥8，即a+b的最小值是8.
当且仅当a=b=4时，“=”成立.
【点睛】
本题考查了平行四边形与向量的关系、坐标运算与向量相等、向量共线定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页