2022年人教版数学九年级下册27.2 相似三角形 同步培优（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2022年人教版数学九年级下册27.2 相似三角形 同步培优（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 598.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-06 00:20:49 | ||
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文档简介
人教版九年级数学下册：27.2 相似三角形 同步培优
一、选择题
1. （2020·永州）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（ ）
A. B. 25 C. 35 D. 63
2. 已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为( )
A．3 B．2 C．4 D．5
3. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)，以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的相似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为( )
A．(－1，－1) B．(－，－1)
C．(－1，－) D．(－2，－1)
4. (2019 贺州)如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于
A．5 B．6
C．7 D．8
5. 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB.过点D作DE⊥AD，交AC于点E.若DE＝1，则△ABC的面积为( )
图27－Y－3
A．4 B．4
C．2 D．8
6. (2019 重庆)下列命题是真命题的是
A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3
B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9
C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3
D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
7. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
8. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为 （ ）
A． B．5 C． D．10
二、填空题
9. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ▲ ．
10. （2020·东营）如图，P为平行四边形ABCD边BC边上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA=3PE，PD=3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为、、，若=2，则+= ．
11. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到.已知，则点的坐标是 ．
12. (2019 台州)如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为__________．
13. (2019 泸州)如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则长为__________．
三、解答题
14. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.
(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；
(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；
(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．
图① 图② 图③
15. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
16. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC.
(2)设＝.
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
17. （2020·攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图是的重心.求证：.
18. （2020·杭州）如图，在正方形中，点E在BC边上，连接AE，的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设．
（1）若，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若，
①求证：点G为CD边的中点．
②求的值．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(，)，点D的坐标为(0，1)．
(1)求直线AD的解析式；
(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
人教版九年级数学下册：27.2 相似三角形 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】B
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B．
2. 【答案】A
3. 【答案】B
4. 【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，即，解得：，故选B．
5. 【答案】B [解析] 依题意可知S△ADE＝1，S△ABD＝2，
∴S四边形ABDE＝3.
∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴DE∥AB，
∴△EDC∽△ABC，∴＝()2，即＝()2，解得S△ABC＝4.故选B.
6. 【答案】B
【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，
故选B．
7. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：
因此本题选A．
8. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．
又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以＝，因为D为AB中点，所以＝，所以＝．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以＝，因为BD＝AB＝CE，所以＝EG＝x．在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝＝＝x，所以AD＝x，所以CE＝AB＝2AD＝x．因为DE∥BC，所以＝＝，所以AE＝AC＝CE＝x．
在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝＝x．因△DEF的面积为1，所以DE·DF＝1，即×x·x＝1，解得x＝，所以DE＝×＝，因为AD＝BD，AE＝CE，所以BC＝2DE＝，因此本题选D．
二、填空题
9. 【答案】
【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为，所以周长比为．故答案为：．
10. 【答案】18
【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．
∵PA=3PE，PD=3PF，∠APD =∠EPF，∴△PEF∽△PAD，相似比为1︰3，
∵△PEF的面积为=2，∴=9S=9×2=18，
∴+==18．
11. 【答案】（，2）
【解析】∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．
12. 【答案】
【解析】如图，过作于，延长交于，过作于，过作于，
设，，，，
∵，∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，即，∴，
∵，∴，
∴，即，
∴，
∵，∴，
∴，
∴当最大时，，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的最大值为．故答案为：．
13. 【答案】
【解析】如图，过作于，则∠AHD=90°，
∵在等腰中，，，
∴，，
∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，
∴，
∴CH=AC–AH=15–DH，
∵，∴，
又∵∠ANH=∠DNF，∴，
∴，∴，
∵，CE+BE=BC=15，∴，
∴，
∴，
∴，故答案为：．
三、解答题
14. 【答案】
(1)证：∵AB∥CB′，∴∠BCB′＝∠ABC＝30°，
∴∠ACA′＝30°；又∵∠ACB＝90°，
∴A′CD＝60°，又∠CA′B′＝∠CAB＝60°.
∴△A′CD是等边三角形．
(2)证：∵AC＝A′C，BC＝B′C，∴＝ .
又∠ACA′＝∠BCB′，∴△ACA′∽△BCB′.
∵＝tan30°＝，∴S△ACA′∶S△BCB′＝AC2∶BC2＝1∶3.
(3)120，.
15. 【答案】
【思维教练】(1)要证△ADE∽△ABC，现已知∠EAD＝∠CAB，故只需找另一组对角相等或夹角的两边对应成比例．由题干条件易知∠EAF＝∠GAC，∠AFE＝∠AGC，故△AEF∽△ACG，∠AEF＝∠C，由两角对应相等即可得证；(2)由(1)中的结论，利用相似三角形的性质求解即可．
(1)证明：在△ABC中，∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
在△AEF和△ACG中，
∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC，
∴△AEF∽△ACG，∴∠AEF＝∠C.(2分)
在△ADE和△ABC中，
∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC；(4分)
(2)解：由(1)知△ADE∽△ABC，
∴＝＝，(6分)
又∵△AEF∽△ACG，∴＝＝.(8分)
16. 【答案】
解：(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE.
∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC.
(2)①∵EF∥AB，
∴＝＝.
又∵BC＝BE＋EC＝12，
∴BE＝4.
②∵＝，∴＝.
∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，
∴＝2＝2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45.
17. 【答案】
证明：连接DE，
∵点G是△ABC的重心，
∴点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴，
∴
∴AD=3DG，
即AD=3GD．
18. 【答案】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝2，∴∠DAF＝∠F．∵AG平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠F，∴EA＝EF．∵λ＝1，∴BE＝EC＝1．在Rt△ABE中，由勾股定理得EA＝，∴CF＝EF－EC＝－1．
（2）①∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝GF．又∵∠AGD＝∠FGC，∠DAG＝∠F，所以△DAG≌△CFG，∴DG＝CG，∴点G为CD边的中点．
②不妨设CD＝2，则CG＝1．由①知CF＝AD＝2．∵EG⊥AF，∴∠EGF＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠FCG，∠EGC＋∠CGF＝90°，∠EGC＋∠GEC＝90°，∴∠CGF＝∠GEC，∴△EGC∽△GFC，∴＝＝，∴EC＝，∴BE＝，∴λ＝．
19. 【答案】
解：(1)设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将D(0，1)、A(，)代入解析式得
，
解得，
解图
∴直线AD的解析式为y＝x＋1.(3分)
(2)直线AD的解析式为
y＝x＋1，令y＝0，得x＝－2，
∴B(－2，0)，即OB＝2.
∵直线AC的解析式为y＝－x＋3，令y＝0，得x＝3，
∴C(3，0)，即BC＝5，
设E(x，x＋1)，
①当E1C⊥BC时，∠BOD＝∠BCE1＝90°，∠DBO＝∠E1BC，
∴△BOD∽△BCE1，
此时点C和点E1的横坐标相同，
将x＝3代入y＝x＋1，
解得：y＝，
∴E1(3，)．(6分)
②当CE2⊥AD时，∠BOD＝∠BE2C＝90°，∠DBO＝∠CBE2，
∴△BOD∽△BE2C，
如解图，过点E2作E2F⊥x轴于点F，则∠E2FC＝∠BFE2＝90°.
∵∠E2BF＋∠BE2F＝90°，
∠CE2F＋∠BE2F＝90°，
∴∠E2BF＝∠CE2F，
∴△E2BF∽△CE2F，则＝，
即E2F2＝CF·BF，
(x＋1)2＝(3－x)(x＋2)，
解得：x1＝2，x2＝－2(舍去)，
∴E2(2，2)；(9分)
③当∠EBC＝90°时，此情况不存在．
综上所述，点E的坐标为E1(3，)或E2(2，2)．(10分)
一、选择题
1. （2020·永州）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（ ）
A. B. 25 C. 35 D. 63
2. 已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为( )
A．3 B．2 C．4 D．5
3. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)，以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的相似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为( )
A．(－1，－1) B．(－，－1)
C．(－1，－) D．(－2，－1)
4. (2019 贺州)如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于
A．5 B．6
C．7 D．8
5. 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB.过点D作DE⊥AD，交AC于点E.若DE＝1，则△ABC的面积为( )
图27－Y－3
A．4 B．4
C．2 D．8
6. (2019 重庆)下列命题是真命题的是
A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3
B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9
C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3
D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
7. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
8. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为 （ ）
A． B．5 C． D．10
二、填空题
9. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ▲ ．
10. （2020·东营）如图，P为平行四边形ABCD边BC边上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA=3PE，PD=3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为、、，若=2，则+= ．
11. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到.已知，则点的坐标是 ．
12. (2019 台州)如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为__________．
13. (2019 泸州)如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则长为__________．
三、解答题
14. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.
(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；
(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；
(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．
图① 图② 图③
15. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
16. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC.
(2)设＝.
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
17. （2020·攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图是的重心.求证：.
18. （2020·杭州）如图，在正方形中，点E在BC边上，连接AE，的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设．
（1）若，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若，
①求证：点G为CD边的中点．
②求的值．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(，)，点D的坐标为(0，1)．
(1)求直线AD的解析式；
(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
人教版九年级数学下册：27.2 相似三角形 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】B
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B．
2. 【答案】A
3. 【答案】B
4. 【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，即，解得：，故选B．
5. 【答案】B [解析] 依题意可知S△ADE＝1，S△ABD＝2，
∴S四边形ABDE＝3.
∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴DE∥AB，
∴△EDC∽△ABC，∴＝()2，即＝()2，解得S△ABC＝4.故选B.
6. 【答案】B
【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，
故选B．
7. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：
因此本题选A．
8. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．
又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以＝，因为D为AB中点，所以＝，所以＝．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以＝，因为BD＝AB＝CE，所以＝EG＝x．在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝＝＝x，所以AD＝x，所以CE＝AB＝2AD＝x．因为DE∥BC，所以＝＝，所以AE＝AC＝CE＝x．
在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝＝x．因△DEF的面积为1，所以DE·DF＝1，即×x·x＝1，解得x＝，所以DE＝×＝，因为AD＝BD，AE＝CE，所以BC＝2DE＝，因此本题选D．
二、填空题
9. 【答案】
【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为，所以周长比为．故答案为：．
10. 【答案】18
【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．
∵PA=3PE，PD=3PF，∠APD =∠EPF，∴△PEF∽△PAD，相似比为1︰3，
∵△PEF的面积为=2，∴=9S=9×2=18，
∴+==18．
11. 【答案】（，2）
【解析】∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．
12. 【答案】
【解析】如图，过作于，延长交于，过作于，过作于，
设，，，，
∵，∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，即，∴，
∵，∴，
∴，即，
∴，
∵，∴，
∴，
∴当最大时，，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的最大值为．故答案为：．
13. 【答案】
【解析】如图，过作于，则∠AHD=90°，
∵在等腰中，，，
∴，，
∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，
∴，
∴CH=AC–AH=15–DH，
∵，∴，
又∵∠ANH=∠DNF，∴，
∴，∴，
∵，CE+BE=BC=15，∴，
∴，
∴，
∴，故答案为：．
三、解答题
14. 【答案】
(1)证：∵AB∥CB′，∴∠BCB′＝∠ABC＝30°，
∴∠ACA′＝30°；又∵∠ACB＝90°，
∴A′CD＝60°，又∠CA′B′＝∠CAB＝60°.
∴△A′CD是等边三角形．
(2)证：∵AC＝A′C，BC＝B′C，∴＝ .
又∠ACA′＝∠BCB′，∴△ACA′∽△BCB′.
∵＝tan30°＝，∴S△ACA′∶S△BCB′＝AC2∶BC2＝1∶3.
(3)120，.
15. 【答案】
【思维教练】(1)要证△ADE∽△ABC，现已知∠EAD＝∠CAB，故只需找另一组对角相等或夹角的两边对应成比例．由题干条件易知∠EAF＝∠GAC，∠AFE＝∠AGC，故△AEF∽△ACG，∠AEF＝∠C，由两角对应相等即可得证；(2)由(1)中的结论，利用相似三角形的性质求解即可．
(1)证明：在△ABC中，∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
在△AEF和△ACG中，
∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC，
∴△AEF∽△ACG，∴∠AEF＝∠C.(2分)
在△ADE和△ABC中，
∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC；(4分)
(2)解：由(1)知△ADE∽△ABC，
∴＝＝，(6分)
又∵△AEF∽△ACG，∴＝＝.(8分)
16. 【答案】
解：(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE.
∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC.
(2)①∵EF∥AB，
∴＝＝.
又∵BC＝BE＋EC＝12，
∴BE＝4.
②∵＝，∴＝.
∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，
∴＝2＝2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45.
17. 【答案】
证明：连接DE，
∵点G是△ABC的重心，
∴点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴，
∴
∴AD=3DG，
即AD=3GD．
18. 【答案】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝2，∴∠DAF＝∠F．∵AG平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠F，∴EA＝EF．∵λ＝1，∴BE＝EC＝1．在Rt△ABE中，由勾股定理得EA＝，∴CF＝EF－EC＝－1．
（2）①∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝GF．又∵∠AGD＝∠FGC，∠DAG＝∠F，所以△DAG≌△CFG，∴DG＝CG，∴点G为CD边的中点．
②不妨设CD＝2，则CG＝1．由①知CF＝AD＝2．∵EG⊥AF，∴∠EGF＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠FCG，∠EGC＋∠CGF＝90°，∠EGC＋∠GEC＝90°，∴∠CGF＝∠GEC，∴△EGC∽△GFC，∴＝＝，∴EC＝，∴BE＝，∴λ＝．
19. 【答案】
解：(1)设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将D(0，1)、A(，)代入解析式得
，
解得，
解图
∴直线AD的解析式为y＝x＋1.(3分)
(2)直线AD的解析式为
y＝x＋1，令y＝0，得x＝－2，
∴B(－2，0)，即OB＝2.
∵直线AC的解析式为y＝－x＋3，令y＝0，得x＝3，
∴C(3，0)，即BC＝5，
设E(x，x＋1)，
①当E1C⊥BC时，∠BOD＝∠BCE1＝90°，∠DBO＝∠E1BC，
∴△BOD∽△BCE1，
此时点C和点E1的横坐标相同，
将x＝3代入y＝x＋1，
解得：y＝，
∴E1(3，)．(6分)
②当CE2⊥AD时，∠BOD＝∠BE2C＝90°，∠DBO＝∠CBE2，
∴△BOD∽△BE2C，
如解图，过点E2作E2F⊥x轴于点F，则∠E2FC＝∠BFE2＝90°.
∵∠E2BF＋∠BE2F＝90°，
∠CE2F＋∠BE2F＝90°，
∴∠E2BF＝∠CE2F，
∴△E2BF∽△CE2F，则＝，
即E2F2＝CF·BF，
(x＋1)2＝(3－x)(x＋2)，
解得：x1＝2，x2＝－2(舍去)，
∴E2(2，2)；(9分)
③当∠EBC＝90°时，此情况不存在．
综上所述，点E的坐标为E1(3，)或E2(2，2)．(10分)