苏科版2021-2022学年七年级数学下册7.4认识三角形 课时培优练习题（Word版含答案）

课时培优精练--7.4认识三角形
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)
1、（2020春 盐城期末）如图，在中，边上的高是　　
A． B． C． D．
2、（2021·湖北咸丰·八年级期末）一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·江苏·昆山市第二中学七年级期中）如图，点，分别是边，上一点，，，连接，交于点，若的面积为18，则与的面积之差等于（ ）
A．3 B． C． D．6
4、（2021春 九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5、如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过多少次操作（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6、已知三角形三边分别为1，x，5，则整数x＝　　．
7、设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝　 ．
8、三角形的边长均为正整数，且周长等于15，这样的三角形共有　个．
9、如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为　　．
10、（2020秋 中山市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是　　．
①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
11、（2022·全国·七年级）画图并填空：
如图，在12×8 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1 ，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC 按照某方向经过一次平移后得到△A' B'C ' ，图中标出了点C 的对应点C ' ．
（1）请画出△A' B'C ' ；
（2）利用方格纸，在△ABC 中画出AC 边上的中线BD 和BC 边上的高AE ；
（3）点F 为方格纸上的格点（异于点B ），若S ACB S ACF ，则图中格点F 共有 个．（请在方格纸中标出点F ）
12、如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
13、如图，在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，
（1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是　　．
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
14、已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．
（1）直接写出c及x的取值范围；
（2）若x是小于18的偶数
①求c的长；
②判断△ABC的形状．
15、观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．
（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC　　AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
16、操作与实践
（1）如图1请你在△ABC中画一条线段，把△ABC分成面积相等的两部分．
（2）如图2请你按照（1）的方法把四边形ABCD分成面积相等的两部分．
（3）如图3，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，则△EGO与△FHO的面积相等；
利用以上性质尝试在如图4四边形ABCD中作一条线段，把四边形ABCD分成面积相等的两部分，请简要写出画图步骤．
17、（2021·江苏·高港实验学校七年级月考）【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分
【经验发展】（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：
【结论应用】（2）如图2，的面积为1，，求的面积；
【拓展延伸】（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，
证明：
【迁移应用】（4）如图4，中，是的三等分点，是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积_________________
课时培优精练--7.4认识三角形
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)（解析）
1、（2020春 盐城期末）如图，在中，边上的高是　　
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的高的定义得出即可．
【解析】在中，边上的高是线段，
故选：．
2、（2021·湖北咸丰·八年级期末）一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【详解】
解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：7-3＜a＜3+7，
即4＜a＜10，
∵a为整数，
∴a的最大值为9，
则三角形的最大周长为9+3+7=19．
故选：C．
3、（2021·江苏·昆山市第二中学七年级期中）如图，点，分别是边，上一点，，，连接，交于点，若的面积为18，则与的面积之差等于（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．
由的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
【详解】
解：，
，
，，，
，
即①，
同理：，，
，，
，
即②，
①②得：，
故选：A．
4、（2021春 九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m．利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得△DEF的面积为18m，构建方程，可得结论．
【详解】解：如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m．
∵BD＝2AB，∴△BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m，
∵AC＝AF，
∴△ADF的面积＝△ACD的面积＝3m，
∵EC＝3BC，∴△ECA的面积＝3m，△EDC的面积＝6m，
∵AC＝AF，∴△AEF的面积＝△EAC的面积＝3m，
∴△DEF的面积＝m+2m+6m+3m+3m+3m＝18m＝36，
∴m＝2，∴△ABC的面积为2，
故选：A．
5、如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过多少次操作（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．
【详解】解：△ABC与△A1BB1底相等（AB＝A1B），高为1：2（BB1＝2BC），故面积比为1：2，
∵△ABC面积为1，∴S△A1B1B＝2．
同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C1＝2，
∴S△A1B1C1＝S△C1B1C+S△AA1C1+S△A1B1B+S△ABC＝2+2+2+1＝7；
同理可证△A2B2C2的面积＝7×△A1B1C1的面积＝49，
第三次操作后的面积为7×49＝343，
第四次操作后的面积为7×343＝2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过4次操作．
故选：A．
6、已知三角形三边分别为1，x，5，则整数x＝　　．
【分析】根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边可确定x的取值范围，再找出符合条件的整数即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系定理可得：5﹣1＜x＜5+1，
解得：4＜x＜6，
∵x为整数，
∴x＝5，
故答案为：5．
7、设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝　 ．
【分析】直接利用三角形三边关系进而化简得出答案．
【详解】解：∵a，b，c为△ABC的三边，
∴a﹣b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝a﹣b+c﹣（a+b﹣c）+（a﹣b﹣c）
＝a﹣b+c﹣a﹣b+c+a﹣b﹣c
＝a﹣3b+c．
故答案为：a﹣3b+c．
8、三角形的边长均为正整数，且周长等于15，这样的三角形共有　个．
【分析】三角形的边长均为正整数，且周长等于15，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：这样的三角形的三边长分别为：5，5，5或4，5，6或3，5，7或4，4，7，或1，7，7或2，6，7或3，6，6，共有7个．
9、如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为　　．
【分析】根据线段的中点得出BD＝CD、AE＝DE、CF＝EF，依次求出△ABD、△ACD、△BDE、△CD的面积，求出△BEC的面积，即可求出答案．
【详解】解：∵点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，
∴AE＝DE＝AD，EF＝CF＝CE，BD＝DC＝BC，
∵△ABC的面积等于36，
∴S△ABD＝S△ACD＝＝18，
S△ABE＝S△BED＝＝9，S△AEC＝S△CDE＝S△ACD＝9，
∴S△BEC＝S△BDE+S△CDE＝9+9＝18，
∴S△BEF＝S△BCF＝S△BEC＝＝9，
故答案为：9．
10、（2020秋 中山市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是　　．
①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【详解】解：∵BE是中线，∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故答案为：①②③．
11、（2022·全国·七年级）画图并填空：
如图，在12×8 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1 ，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC 按照某方向经过一次平移后得到△A' B'C ' ，图中标出了点C 的对应点C ' ．
（1）请画出△A' B'C ' ；
（2）利用方格纸，在△ABC 中画出AC 边上的中线BD 和BC 边上的高AE ；
（3）点F 为方格纸上的格点（异于点B ），若S ACB S ACF ，则图中格点F 共有 个．（请在方格纸中标出点F ）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5
【分析】
（1）利用点C和C′的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点即可；
（2）利用网格特点确定AC的中点D，从而得到中线BD；再利用网格特点过A点作BC的垂线，确定垂足E点；
（3）过B点作AC的平行线可确定2个格点F，把直线AC向右平移个单位，再向上平移1个单位得到3个格点F．
【详解】
解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）如图，BD、AE为所作；
（3）若S△ACB=S△ACF，则图中格点F共有5个，如图．
故答案为5．
12、如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，根据题意得出两个方程，求出x、y的值，再根据三角形的三边关系定理判断即可．
【详解】解：设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，
∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB，
∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，
即4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，
所以AC＝48，AB＝28．
13、如图，在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，
（1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是　　．
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据三角形三边关系定理求出CD取值范围，再根据CD的长为偶数即可得出CD的取值；
（2）由平行线的性质和已知条件求解即可．
【详解】解：（1）∵在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，
∴1＜CD＜4，
∵CD的长为偶数，
∴CD的取值是2．
故答案为2；
（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，
∴∠AEC＝55°，
又∵∠A＝55°，
∴∠C＝70°．
14、已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．
（1）直接写出c及x的取值范围；
（2）若x是小于18的偶数
①求c的长；
②判断△ABC的形状．
【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；
（2）①根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求解；
②利用等腰三角形的判定方法得出即可．
【详解】解：（1）因为a＝4，b＝6，
所以2＜c＜10．
故周长x的范围为12＜x＜20．
（2）①因为周长为小于18的偶数，
所以x＝16或x＝14．
当x为16时，c＝6；
当x为14时，c＝4．
②当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；
当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形．
综上，△ABC是等腰三角形．
15、观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．
（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC　　AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果，
（2）可延长BP交AC与M，根据两边之和大于第三边，即可得出结果，
（3）分别延长BP1、CP2交于M，再根据（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出结果．
【详解】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，
（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：
如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长，
（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由：
如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，
可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论．
16、操作与实践
（1）如图1请你在△ABC中画一条线段，把△ABC分成面积相等的两部分．
（2）如图2请你按照（1）的方法把四边形ABCD分成面积相等的两部分．
（3）如图3，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，则△EGO与△FHO的面积相等；
利用以上性质尝试在如图4四边形ABCD中作一条线段，把四边形ABCD分成面积相等的两部分，请简要写出画图步骤．
【分析】（1）找到一边中点，作出中线；
（2）将四边形转化为三角形，根据等底等高的三角形面积相等详解；
（3）利用（1）（2）的结论作出图形，再利用图形的面积的和差即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，取BC的中点D，AD为BC的中线，则BD＝CD，
根据等底等高的三角形面积相等，得S△ABD＝S△ACD；
（2）如图2，连接AC，再取AC的中点E，连接BE与DE，
∴S△ADE＝S△CDE，S△ABE＝S△BCE，
∴S△ADE+S△ABE＝S△CDE+S△BCE，
∴S四边形ABED＝S四边形BCDE；
（3）如图4，连接AC，BD，取AC的中点O，过点O作OE∥BD交CD于E，连接BE，
即：线段BE把四边形ABCD分成面积相等的两部分，
理由：连接OD交BE于F，连接OB，
由（1）知，S△BDE＝S△BDO，
∵S△BDE＝S△BDF+S△DEF，S△BDO＝S△BDF+S△OBF，
∴S△DEF＝S△OBF，
∵点O是AC的中点，
由（2）知，S△ADO＝S△CDO，S△ABO＝S△CBO，
∴S△BCE＝S△CBO+S△OBF+S△CEO+S△OEF＝S△CBO+S△DEF+S△CEO+S△OEF＝S△CBO+S△CDO．
S四边形ABED＝S四边形ABFD+S△DEF＝S△ABO+S△ADO﹣S△OBF+S△DEF＝S△ABO+S△ADO＝S△CBO+S△CDO．
∴S△BCE＝S四边形ABED，
即：线段BE把四边形ABCD分成面积相等的两部分．
17、（2021·江苏·高港实验学校七年级月考）【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分
【经验发展】（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：
【结论应用】（2）如图2，的面积为1，，求的面积；
【拓展延伸】（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，
证明：
【迁移应用】（4）如图4，中，是的三等分点，是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积_________________
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析；（4）
【详析】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式以及三角形的中线的性质的运用，解决问题的关键是掌握三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分；如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．
[经验发展]过作于，依据三角形面积计算公式，即可得到结论；
[结论应用]连接，依据“如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比”，即可得到与面积之间的关系；
[拓展延伸]依据“如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比”，即可得到与面积之间的关系；
[迁移应用]连接，设，即可得出，，，进而得到．
【详解】
解：[经验发展]如图1，过作于，
，，
，即．
[结论应用]如图2，连接，
，，
又，，，
又的面积为1，的面积12．
[拓展延伸]如图3，是上任意一点，，
是上任意一点，，，
，即．
[迁移应用]如图4，连接，
是的三等分点，，
是的中点，，
设，则，，，
，，．
故答案为：．