苏科版2021-2022学年七年级数学下册7.5多边形的内角和与外角和 课时培优练习题（Word版含答案）

课时培优精练--7.5多边形的内角和与外角和
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)
1、若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（　　）
A．7 B．10 C．35 D．70
2、（2021秋 南关区校级期中）在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了1个内角，其和等于1180°，则少算的这个角的度数是（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
3、如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4相邻的外角的和等于230°，则∠BOD的度数是（　　）
A．50° B．55° C．40° D．45°
4、若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）
A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16
5、（2021 准格尔旗一模）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（　　）
A．108° B．36° C．72° D．144°
6、某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了　　米．
7、（2021·江苏·高港实验学校七年级月考）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于_____．
8、若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角进一步截去，如图3，则图中的
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　　度．
9、（2021苏州高新区实验初级中学七年级月考）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）当________时，为“灵动三角形”．
10、（2021·江苏·苏州外国语学校七年级期中）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
11、（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
12、如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式　 　．
13、（2021春 江都区校级期末）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°．
（1）∠ABC+∠ADC＝　 　°（用含x，y的代数式表示）；
（2）BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
①当x＝y时，BE与DF的位置关系是 　 　；
②当y＝2x时，若BE与DF交于点P，且∠DPB＝10°，求y的值．
（3）如图②，∠ABC的平分线与∠ADC的外角平分线交于点Q，则∠Q＝　 　（用含x，y的代数式表示）．
14、（2021春 淅川县期末）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处
【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 　　；
【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为 　　．
15、（2021·江苏灌云·七年级期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
（1）【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，
求证：；
（2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数；
（3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）．
16、（2021·江苏泰兴·七年级期末）直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G．
（1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数；
（2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）；
（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出∠EGF的度数（用含有a的代数式表示）
课时培优精练--7.5多边形的内角和与外角和
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)（解析）
1、若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（　　）
A．7 B．10 C．35 D．70
【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论．
【详解】解：∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n＝180×（n﹣2），解得：n＝10．
这个正n边形的所有对角线的条数是：＝＝35．
故选：C．
2、（2021秋 南关区校级期中）在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了1个内角，其和等于1180°，则少算的这个角的度数是（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【分析】设这个多边形的边数为n（n为正整数且n≥3），根据题意得1180°＜180°（n﹣2）＜1180°+180°，从而求得多边形的边数n，进而解决此题．
【详解】解：设这个多边形的边数为n（n为正整数且n≥3）．
由题意得：1180°＜180°（n﹣2）＜1180°+180°．
∴1180°＜180°（n﹣2）＜1360°．
∴．
∴n＝9．
∴这个多边形的内角和为180°×（9﹣2）＝1260°．
∴少算的这个角的度数为1260°﹣1180°＝80°．
故选：C．
3、如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4相邻的外角的和等于230°，则∠BOD的度数是（　　）
A．50° B．55° C．40° D．45°
【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由多边形的内角和公式求得五边形OAGFE的内角和，即可求得∠BOD．
【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为230°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+230°＝4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝490°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣490°＝50°，
故选：A．
4、若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）
A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16
【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…An，
若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，
故选：C．
5、（2021 准格尔旗一模）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（　　）
A．108° B．36° C．72° D．144°
【分析】如图，延长AB并交l2于点M．由l1∥l2，得∠2＝∠BMD．由∠1＝∠BMD﹣∠MBC，得∠BMD＝∠1﹣∠MBC，那么∠1﹣∠2＝∠MBC．欲求∠1﹣∠2，需求∠MBC．由正五边形的性质，得∠MBC＝72°，从而解决此题．
【详解】解：如图，延长AB并交l2于点M．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形ABCDE的每个外角相等．
∴∠MBC＝＝72°．
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠BMD．
∵∠1＝∠BMD+∠MBC，
∴∠BMD＝∠1﹣∠MBC．
∴∠1﹣∠2＝∠MBC＝72°．
故选：C．
6、某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了　　米．
【分析】第一次回到原处正好转了360°，正好构成一个正八边形．
【详解】解：机器人转了一周共360度，360°÷45°＝8，共走了8次，机器人走了8×1＝8米．
7、（2021·江苏·高港实验学校七年级月考）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于_____．
【答案】285°
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
根据直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质计算即可．
【详解详析】
解：∵∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴∠2+∠3=180°-∠D=150°，
∵∠α=∠1+∠A，∠β=∠4+∠C，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠α+∠β=∠A+∠1+∠4+∠C=∠A+∠C+∠2+∠3=45°+90°+150°=285°，
故答案为：285°．
8、若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角进一步截去，如图3，则图中的
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　　度．
【分析】根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．
【详解】解：根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180×5+180＝1080°．
9、（2021苏州高新区实验初级中学七年级月考）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）当________时，为“灵动三角形”．
【答案】80°或52.5°或30°
【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“灵动三角形”的定义计算．
【详解详析】
解：设∠OAC=x则∠BAC=90°-x，∠ACB=60°+x，∠ABC=30°
∵△ABC为“灵动三角形”，
当∠ABC=3∠BAC时，∴30°=3（90°-x），∴x=80°；
当∠ABC=3∠ACB时，∴30°=3（60°+x）∴x=-50° （舍去），∴此种情况不存在；
当∠BCA=3∠BAC时，∴60°+x=3（90°-x），∴x=52.5°，
当∠BCA=3∠ABC时，∴60°+x=90°，∴x=30°；
当∠BAC=3∠ABC时，∴90°-x=90°，∴x=0°（舍去）；
当∠BAC=3∠ACB时，∴90°-x=3（60°+x），∴x=-22.5°（舍去），∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°．
故答案为：80°或52.5°或30°．
10、（2021·江苏·苏州外国语学校七年级期中）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
【答案】52°
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A．
【详解详析】
解：、分别平分、，
，，
，，
即，，
，
、分别平分、，
，，
，
，
∴，
∴，
、分别平分、，
，，
∴，
，
故答案为：52°．
11、（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
【解答】解：（1）连接OA，
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，
即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，
③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．
12、如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式　 　．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AE是角平分线，∴∠BAE=∠BAC=×80°＝40°，
∵AD是高，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣40°＝10°；
（2）∵∠B＝α，∠C＝β（α＜β），
∴∠BAC＝180°﹣（α+β），
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠BAC＝90°-（α+β），
∵AD是高，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣α，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣α﹣[90°-（α+β）]=（β﹣α）；
故答案为：（β﹣α）．
13、（2021春 江都区校级期末）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°．
（1）∠ABC+∠ADC＝　 　°（用含x，y的代数式表示）；
（2）BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
①当x＝y时，BE与DF的位置关系是 　 　；
②当y＝2x时，若BE与DF交于点P，且∠DPB＝10°，求y的值．
（3）如图②，∠ABC的平分线与∠ADC的外角平分线交于点Q，则∠Q＝　 　（用含x，y的代数式表示）．
【分析】（1）根据四边形内角和等于360°，即可解决问题，
（2）①如图1中，作出相关辅助线连接AC，过点C作CG∥DF，利用角平分线的定义及平行线的性质推出角之间的关系，再根据平行线的判定及平行线的传递性得出BE∥DF，
②根据三角形外角的性质和角平分线的性质推出∠BCD＝∠PDC+∠PBC+∠P，代入求解即可，
（3）如图②中，利用三角形内角和定理以及角平分线的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠DCB，
∵∠A＝x°，∠DCB＝y°，
∴∠ABC+∠ADC＝360﹣x﹣y＝（360﹣x﹣y）°，
故答案为：（360﹣x﹣y），
（2）①如图①中，
连接AC，过点C作CG∥DF，则有：∠MDC═∠DAC+∠DCA，∠NBC═∠CAB+∠CBA，
∵BE、DF分别为∠NBC、∠MDC的角平分线，∠DAB═∠DCB═x°═y°，
∴∠FDC+∠CBE═（∠MDC+∠NBC）═（∠DAC+∠DCA+∠CAB+∠CBA）═（∠DAB+DCB）═x°，
∵CG∥DF，∴∠FDC═∠GCD，
∵∠DCG+∠BCG═∠DCB═x°，∠FDC+∠CBE═x°，
∴∠CBE═∠BCG，∴CG∥BE，∴BE∥DF，
故答案为：BE∥DF．
②由（1）可知：∠ABC+∠ADC＝（360﹣x﹣y）°，
∵∠ADC+∠MDC＝180°，∠ABC+∠NBC＝180°，
∴∠NBC+∠MDC＝（x+y）°，
∵BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
∴∠PBC=∠NBC，∠PDC=∠MDC，
∴∠PBC+∠PDC＝[（x+y）]°，
∵∠BCD＝∠PDC+∠PBC+∠P，
∴y＝10+（x+y），
即y﹣x＝20，
∵y＝2x，
∴x＝20°，y＝40°．
（3）如图②中，
由题意：∠DNQ＝∠ANB＝180°﹣x°-∠ABC，∠QDN=（180°﹣∠ADC），
∴∠Q＝180°﹣∠DNQ﹣∠QDN＝180°﹣（180°﹣x°-∠ABC）-（180°﹣∠ADC），
＝x°+（∠ABC+∠ADC）﹣90°，
＝x°+180°-（x+y）°﹣90°，
＝[90（x﹣y）]°，
故答案为：[90+（x﹣y）]°．
14、（2021春 淅川县期末）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处
【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 　　；
【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为 　　．
【分析】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题．
（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题
（3）运用三角形的外角性质即可解决问题．
【详解】解：（1）如图①，∠1＝2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；
∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A．
（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．
理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，
∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，
∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，
由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2．
（3）如图③，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，
∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，解得∠A＝28°．
故答案为：∠1＝2∠A；28°．
15、（2021·江苏灌云·七年级期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
（1）【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，
求证：；
（2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数；
（3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）．
【答案】（1）见详解；（2）100°；（3）∠P=45°-
【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握“对顶三角形”的性质，是解题的关键．
（1）由“对顶三角形”的性质得，从而得，进而即可得到结论；
（2）设=x， =y，则=x+20°，=y-20°，可得∠ABC+∠DCB=y-20°，根据三角形内角和定理，列出方程，即可求解；
（3）设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°-，结合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵在“对顶三角形”与中，∴，
∵，∴，
∵，∴，
又∵∴；
（2）∵比大20°，+=+，
∴设=x， =y，则=x+20°，=y-20°，
∵，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-=x+y，
∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-= x+y- x-20°=y-20°，
∵∠ABC+∠DCB+=180°，
∴y-20°+y=180°，解得：y=100°，∴=100°；
（3）∵，是的角平分线，∴设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，
∴2x+2y+=180°，即：x+y=90°-，
∵和的平分线和相交于点P，
∴∠CEP=(180°-2y-x)，∠CDP=(180°-2x-y)，
∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，
∴∠P=(180°-2y-x)+y-(180°-2x-y)= x+y=45°-，即：∠P=45°-．
16、（2021·江苏泰兴·七年级期末）直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G．
（1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数；
（2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）；
（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出∠EGF的度数（用含有a的代数式表示）
【答案】（1）∠EGF＝60°；（2）m＝，∠EGF＝60°﹣α；（3）∠EGF＝120°+α，见解析．
【分析】本题重点考察三角形外角的性质，熟练掌握是解决问题的关键．
（1）利用三角形外角的性质以及角平分线的性质求解；
（2）（3）利用三角形外角的性质，得出∠EGF与∠AFE的关系式，进而求解．
【详解】
（1）∵EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，∴∠MEF＝∠CEF，∠EFG＝∠AFE，
∵∠EGF＝∠MEF﹣∠EFG，
∴∠EGF＝∠CEF﹣∠AFE＝（∠CEF﹣∠AFE）＝∠COF，
而∠AOC＝α＝60°，∴∠COF＝180°﹣60°＝120°，∴∠EGF＝60°；
（2）∵∠CEF﹣∠AFE＝∠COF＝180°﹣α，∴∠CEF＝180°﹣α+∠AFE，
∵∠MEF＝m∠CEF，∴∠MEF＝m（180°﹣α+∠AFE），
∵∠EGF＝∠MEF﹣∠NFE，
∴∠EGF＝m（180°﹣α+∠AFE）﹣（1﹣2m）∠AFE＝m（180°﹣α）+（3m﹣1）∠AFE，
∵∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，
∴3m﹣1＝0，即m＝，∴∠EGF＝（180°﹣α）＝60°﹣α；
（3）∵∠BOC＝∠CEF+∠AFE＝180°﹣α，∴∠CEF＝180°﹣α﹣∠AFE，
∴∠MEF＝m∠CEF＝m（180°﹣α﹣∠AFE），
而∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，
∴∠EGF＝180°﹣∠MEF﹣∠NFE＝180°﹣m（180°﹣α﹣∠AFE）﹣（1﹣2m）∠AFE
＝180°﹣m（180°﹣α）+（3m﹣1）∠AFE，
∵∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，∴3m﹣1＝0，即m＝，
∴∠EGF＝180°﹣（180°﹣α）＝120°+α．