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第二章 有理数及其运算
有理数
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人: 课型：新授课
学习目标：
理解有理数的意义；
2.会将有理数进行正确分类。
学习重点：知道什么是有理数；
学习难点：能够准确地将所给的有理数进行分类。
一 学前准备
*试一试*——请相信自己一定能行
预习课本P22-P23
2.完成课本P23的得分表
二 明确概念 探究分类
1. *议一议*——请勇敢地说出你的看法
生活中你见过带“—”号的数吗？ 与你的同桌交流一下吧。
明确概念
（1）像5,1.2，……这样的数叫做（ ），它们都比0 ；
在正数前面加上“”号的数，如，,……这样的数叫做（ ），它们都比0 ；
然而，0既不是（ ），又不是（ ）。
总结：正数———大于0的数，负数——小于0的数
注意：(为了突出数的符号，可以在正数前加“+”号，如+5，+1.2，+，……
(我们常常用正数与负数表示一些具有相反意义的量，如：
上升3米与下降5米是具有相反意义的量，
向南走50米与向北走30米是具有相反意义的量。
参照课本P24例1
(完成P24 随堂练习 1
(完成P25 习题2.1 2、3
探究分类
正整数：如1, 2, 3，…… 正分数：如，，5.2，……
整数 零:0 分数
负整数：如，，…… 负分数：如，，，……
与 统称为有理数
*做一做*——请大胆地尝试一下
将下列各数分别填在相应地括号里：
，，，，，，
正整数：（ ） ； 整数：（ ）； 分 数：（ ） ； 负数：（ ）；
有理数：（ ）。
三 练一练 熟能生巧
[填一填]
规定零上为正，零上32°C记作 或 ；零下18°记作 。
若顺时针转90°，记作°，则°的意义是 。
存入银行500元，记作+500元，那么取出300元记作 。
潜水艇所在的高度是m,一条鲨鱼在艇上方m处，
则鲨鱼的高度记作 。
期中数学测试规定记作，那么分记作 ，
这次测试中5名同学的成绩依次记作，
则这5名同学的实际分数分别为 。
请将下列各数填入表示它所在的圈内
正整数 负整数 正分数 负分数
正有理数 负有理数
自然数是（ ）
正数，但不是整数 B.整数，但不是负数
C.正数，且是整数 D.整数，且是负数
零不是（ ）
A.非负数 B.有理数 C.正数 D.整数
注意：非负数指的是正数和0
请用“√”表示竖列各数属于横列哪类数
自然数
整数
分数
正数
负数
有理数
四 学习体会 小结归纳
本节课你有哪些收获？
在本节课的学习中，你还有哪些疑惑？
五 自我检测 验收成果
1.（1）2010年12月某日我们部分城市的平均气温情况如下表
城市
温州
上海
北京
哈尔滨
北京
平均气温/°C
其中，当天平均气温最低的城市是（ ）
广州 B.哈尔滨 C.北京 D.上海
（2）既不是正数，也不是负数的是（ ）
B. C. D.
如果存入3000元钱记作元，那么支取1500元钱应记作 ，
剩余的钱是 ，应记作 。
将有理数进行分类 正整数
正整数 正有理数
(1)有理数 （2） 有理数
分数
负分数
4.甲、乙两潜水员在水下作业，甲所在的高度是米（表示比水面低50米），乙在甲的上方10米处，乙所在的高度是多少米？若丙在乙的下方5米处，丙所在的高度是多少呢？
2.10有理数的混合运算
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人： 课型：新授课
勤学如春起之苗，不见其增日有所长。辍学如磨刀之石，不见其损日有所亏。——陶渊明
学习目标：
1、明确有理数的运算顺序，正确熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算。
2、在运算过程中能合理使用运算律简化运算。
一、课前准备：
1.预习课本P55---P57
2.预习检测
1．有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序是什么？
2．计算：（口答）
① ， ② ， ③ ， ④ ，
⑤ ， ⑥ ．
二、探究新知：
例1 计算：
友情提示 ：容易看到 ， 是彼此独立的，可以首先分别计算，然后再进行加减运算。
【跟踪练习】计算：
① ②
③
友情提示：1注意符号问题．2带分数进行乘除运算时，必须化成假分数．
例2.
法一：
法二：
友情提示 法一：先算括号里的
法二：运用乘法分配律
【跟踪练习】计算
三、巩固练习：
1.下列运算中，结果最小的是（ ）
A.1+（-2） B.1-（-2） C.1×（-2） D.1÷（-2）
2.的结果是（ ）
Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．－４
３．比多6的数是（ ）
A.-12 B.-3 C.0 D.3
4．计算
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
四、课堂小结
1、本节课你学到了哪些知识＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
2、你还有哪些不足＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
五、课堂小测
1.有三个有理数，若其和为正数，其积为负数，则这三个数中（ ）
A.没有一个正数 B.有一个正数
B.有两个正数 D.有三个正数
2.-14加-7的和与-14减-7的差的比是＿＿＿＿.
3.计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
2.2 数轴 导学案
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人： 课型：新授课 学习目标：
1、正确理解数轴的意义，理解数轴的三要素。
2、掌握有理数在数轴上的表示法，以及利用数轴比较有理数的大小。
3、理解相反数的意义及求法。
4、初步掌握数形结合的思想方法，培养自己的观察、归纳与概括的能力。
学习重难点：
1.正确掌握数轴的画法；用数轴上的点表示有理数；求已知数的相反数。
2.有理数和数轴上的的点的对应关系。
学习过程：
学前准备
同学们都会读温度计吧？
同温度计类似，可以在一条直线上画出刻度标上数，用直线上的点表示有理数.
二、探索新知
1、定义：画一条水平直线，在直线上取一点，表示0（叫做原点）选取某一长度为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到一条数轴。
2、画数轴的具体方法：
（1）画直线（一般水平方向），标出一点为原点0.
（2）规定从原点向右的方向为正方向，那么向左方为负方向，并用箭头表示正方向.
（3）选择适当的长度单位为单位长度.
思考：
（1）原点表示的数是______.
（2）原点右边的数是_____，左边的数是_____.
（3）指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数：
图1
解：A点表示______，B点表示______，C点表示______，D点表示______，E点表示______.
（4）点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，那么A点表示的数是______，如果将A点想右移动4个单位长度，此时A点表示的数是______。
总结：一条正确的数轴，必须要有______，______，______.（即数轴的三要素）
3、相反数
想一想：2与-2有什么相同点与不同点？它们在数轴上的位置有什么关系？与-，5与-5呢？
你还能说出两个具有这种特征的数吗？
相反数：（1）意义：如果两个数只有______不同，那么称其中一个数为另一个数的______，也称这两个数______。
（2）表示方法：在一个非零的数前面添上一个“-“号就表示这个数的相反数。
温馨提示：（1）在数轴上互为相反数的两个点，位于原点的_____，并且到原点的距离____。
（2）特别地，0的相反数是____，也就是说0的相反数是它本身。
跟踪练习：1.求下列各数的相反数：
（1）-1.5 （2）6.3072 （3）0
2.到原点的距离是2个单位长度的点表示的数是__________。
4、利用数轴比较两个有理数的大小
观察数轴，数轴上的点，从左向右有什么变化特点？
由此得出：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的_____。
正数_____0，负数_____0，正数_____负数。
三、典型例题
画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
，-3，3，0，-2，-
例2、比较下列每组数的大小：
（1）-7___+6； （2）0___-1.2； （3）-___-3 （4）-（-）___（填">"、"<"或"="）
四、巩固练习
画出数轴，然后再数轴上标出表示下列个数的点，并按从小到大的顺序排列起来：
-4 , 2.5 , 0 ，-1.5 , 3.5
写出大于－4.1小于2.5的所有整数，并把它们在数轴上表示出来.
化简：（1）－（－5） （2）+（－3）
比-7.5的相反数小2的数是______。
在数轴上，点A表示-3，点B表示+2，那么A、B两点之间的距离是______。
五、课堂小结
我的收获： _____________________________________________________________；
我的不足： _____________________________________________________________。
六、课堂小测
选择题
1.下列图形中不是数轴的是（ ）
2.若一个数的相反数的倒数是一个自然数，则这个数可能是（ ）
A.3 B. C.- D.-5
3.若有理数m＜n,在数轴上点M表示数m，点N表示数n，则M与N的位置关系为 （ ）
A.点M在点N的右边； B.点M在点N的左边；
C.点M在原点右边，点N在原点左边 D.点M和点N都在原点右边
填空题
数轴上离开原点4个单位长度的数是_____ .
数轴上的点A对应的数是+2，点B对应的数是+7，则A，B两点间的距离是_____.
在有理数范围内，相反数等于它本身的数有_____个，是_____.
4.在数轴上，点M表示-3，从点M向左移动2个单位长度到点N，则点N表示的数是_____,如果从点N再向右移动1个单位长度到点P，则点P表示的有力数是_____。
1.2.3绝对值导学案
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人： 课型：新授课
学习目标:
1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义
2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法.
3、体验运用直观知识解决数学问题的成功.
学习重点：绝对值的概念,绝对值的作用与意义
学习难点：绝对值的概念与两个负数的大小比较
学习过程：
情境导入
观察课本29页图，并作如下：
画出数轴，并在数轴上标出小兔，小狗的位置：
小兔距原点多远？两只小狗距原点呢？
合作探究
1．由上问题可以知道，2到原点的距离是 ，3到原点的距离是 ，-3到原点的距离也是
到原点的距离等于3的数有 个，它们的关系是一对 .
这时我们就说2的绝对值是2,3的绝对值是3，-3的绝对值也是3.
例如，—3.8的绝对值是3.8；17的绝对值是17；—6的绝对值是
绝对值：一个数所对应的点与 之间的距离，叫做该数的绝对值，用符号“”表示.
例如：+2的绝对值等于2，记作 =2；-3的绝对值等于3，记作=3.
提示：互为相反数的两个数的绝对值
【跟踪练习】
1）、式子∣-5.7∣表示的意义是 .
2）、—2的绝对值表示它离开原点的距离是 个单位，记作 .
3）、
-2
+2
0
-5.4
符号
绝对值
仔细观察上表，讨论 ：一个数的绝对值与这个数有什么关系？
正数的绝对值是 ；
负数的绝对值是它的 ；
0的绝对值是 . 【跟踪练习】：
下面的说法是否正确？请将错误的改正过来。
(1)一个数的绝对值一定比0大；
(2)一个数的相反数一定比0小；
(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
(4)互为相反数的两个数的绝对值相等。
2. 深入探究：利用绝对值比较两个数的大小
做一做：在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：
-1.5，-3，-1，-5
求出(1)中各数的绝对值，并比较它们的大小；
你发现了什么？
结论：两个负数比较大小，绝对值大的反而
例1.比较下列每组数的大小
(1)-0.5和 (2)0和
例2 (1)在数轴上表示出下列各数：
0，-1.4，-3，
(2)将(1)中各数用“<”连接起来；
(3) 将(1)中各数的绝对值用“>”连接起来。
例3计算
(1) (2)
三、巩固练习：
计算下列各数的绝对值
，6，-3，
比较下列各数的大小
(1)-0.618, (2) ,
计算
(1) (2)
四、课堂小结
我的收获_____________________________________________________________；
我的不足_______________________________________________________________。
五、课堂小测
1. 的相反数是（）
A B C D
2.a,b表示两个负数，且，则a与b的大小关系是（）
A a>b B a3.绝对值不大于3.14的整数有 个，它们是
比较下列各数的大小，并分别求出它们的绝对值：
7，-，0，-1012,1，-4.1，-0.5，
5.已知a=-5, ,试求b的值.
选做
已知，求a,b的值。
有理数A,B,C在数轴上表示如图
试求
有理数的加法(1)
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人： 课型：新授课
【学习目标】
1、了解有理数加法的意义；
2、理解有理数加法法则的合理性；
3、能运用有理数加法法则正确进行有理数加法运算.
【学习重难点】
1、掌握有理数加法法则；
2、能运用有理数加法法则正确进行有理数加法运算.
【学习过程】
一 课前预习：
复习
比0大的数叫 ，比0小的数叫
0是 ，但不是 ，也不是 ；
数轴上两个点表示的数， 总比 大，
正数 0，负数 0， 大于 ；
正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，
0的绝对值是 。
二 合作探究
活动探究一 有理数的加法法则是什么？
1．问题：小明在东西方向的马路上活动，我们规定向东为正，向西为负。
1）小明向东走4米，再向东走2米，两次共向东走了 米，
这个问题用算式表示就是：
2）小明向西走2米，再向西走4米，两次共向东走了 米.
这个问题用算式表示就是：
如图所示：
3）如果小明第一秒向西走5米，第二秒原地不动，两秒后这个人从起点向东运动了 米。写成算式就是
你能从以上几个算式中发现有理数加法的运算法则吗？
有理数加法法则
（1）、同号的两数相加，取 的符号，并把 相加.
（2）、一个数同0相加，仍得 。
2．问题：小明在东西方向的马路上活动，我们规定向东为正，向西为负。
1）小明向东走4米，再向西走2米，两次共向东走了 米，
这个问题用算式表示就是：
2）小明向东走2米，再向西走4米，两次共向东走了 米.
这个问题用算式表示就是：
如图所示：
3）如果小明第一秒向东走5米，再向西走5米，两秒后这个人从起点向东运动了 米。写成算式就是
你能从以上几个算式中发现有理数加法的运算法则吗？
有理数加法法则
（3）绝对值不相等的异号的两数相加，取 的符号，并用 的绝对值减去 的绝对值，
互为相反数的两个数相加得
〖小结〗
有理数加法法则
活动探究二 计算有理数加法的步骤是什么？
例一 计算下列各题
(1)(-16)+(-5) (2)（-20）+0
(3) 80+(-100) (4) 80+(-10) （5）10+（-10）
解：（1）（-16）+（-5） （同号两数相加）
= （ + ） （取相同的符号，并把绝对值相加）
=-
（2）（-20）+0 = （一个数同0相加）
（3）80+(-100) （4）80+（-10） (异号两数相加)
= （ - ） = （ - ） （取绝对值较大的数的符号，
=- =+ 并用较大的绝对值减去较小的绝对值）
(5)10+(-10)= (互为相反数的两个数相加）
【总结】： 在进行有理数加法运算时，
一辨：要辨别加数是同号还是异号；
二定：要确定和的符号；
三算：要计算和的绝对值．
【跟踪练习】说出下列各式和的符号
（1） （+7）+（+3） （2） （－）+
（3） （－12）+（－4） （4） 12+（－5）
三 练习巩固
〖算一算〗
（1） (2) (3)
(4) (5) (6)
（7）0+（-30） （8）2.75+（-2.75）
四 课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
有理数的加法法则是什么？
有理数加法的一般步骤是什么？
五 当堂检测
1.(1)符号相同的有理数相加的法则是
；
（2）符号相异的两个有理数相加的法则是
．
2．判断题：
（1）两个负数的和一定是负数；（ ）
（2）两个正数的和一定是正数；（ ）
3. 计算：
（1） 43+（－34） （2） （－10.5）+（－1.3）
(3) （4） （+6）+（－16）
十、课后延伸
1. 某信用社办理了五笔储蓄业务，顺序如下：取出5万元，存进9．5万元，取出3万元，存进15万元，存进80万元．问这个信用社存款增加了多少万元？
2. 分别在右图的圆圈内填上彼此不相等的数，使得一条线上的数之和为零，你有几种填法？
2.4有理数的加法(2)
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人： 课型：新授课
时间，每天得到的都是二十四小时，可是一天的时间给勤勉的人带来智慧和力量，给懒散的人只留下一片悔恨。－－－－鲁迅
【学习目标】
有理数加法的两种运算律:①交换律 ②结合律
能运用加法的交换律和结合律进行简便计算
【学习重点】
掌握有理数加法的交换律和结合律，并能运用加法运算律简化运算
【学习难点】
灵活运用运算律使运算简便
【使用方法说明】
掌握学习目标，了解学习重难点，参照课本，掌握本节知识点，然后完成导学案。
一、课前预习导学
1. 加法的交换律：
两个数相加,交换 的位置, 和不变. 用式子表示：a+b= .
2. 加法的结合律：
三个数相加, 先把 相加, 或者先把 相加, 和不变.
用式子表示： (a+b)+c= .
二、学习研讨
有理数加法的运算律
3．计算：
（1）（-8）+（-9)= ; （-9）+（-8）=
（2） 4+(-8)= ; (-8)+4=
根据计算结果你可发现:（-8）+（-9） （-9）+（-8）
4+(-8) (-8)+4(填“＞”、“＜”或“＝”)
由此可得在有理数运算中a+b =____ _____，这种运算律称为加法________律．
4．计算：
（1）[2+(-3)]+(-8)=______+______=______;
2+[(-3)+(-8)]= _ __+____=_____
(2) [10+(-10)]+(-5)= _____+_____=_____;
10+[(-10)+(-5)]= _____+_____=_____
由此可得：(a+b)+c =____ _，这种运算律称为加法__ __律．
【总结】在有理数运算中，加法的交换律、结合律仍然成立。
加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即 .
加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，
它们的和不变。即 .
5．师生探究
例1 31+（-28）+28+69
【解】31+（-28）+28+69
=31+69+[（-28）+28]
=100+0
=100
仿照例题，独立完成
（1）13+（-56）+47+(-34) (2)(-301)+125+301+(-75)
(3) （4）（-3）+40+（-32）+（-8）
【简便方法】
由（1）得：__ ____ ____ ____ ____ ____ ____ __；
由（2）得：__ ____ ____ ____ ____ ____ ____ __；
由（3）得：①__ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ；
②__ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 。
6.有5筐菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：
＋3，－6，－4，＋2，－1，总计超过或不足多少千克？5筐蔬菜的总重量是多少千克？
三、课堂小结
学习收获 ；
不足之处 。
四、课堂小测
7、（1）(-7)+6+(-3)+10+(-6) (2)16+(-25)+24+(-35)
（3）
8、在括号内填写所依据的运算律：
(－15)+(+7)+(－9)+(+23)
=(－15)+(－9)+(+7)+(+23) ( )
=[(－15)+(－9)]+[(+7)+(+23)] ( )
=(－24)+(+30)=+16
9、某天股票A开盘价18元，上午11：30跌1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天收盘价为 （ ）
A.0.3元 B.16.2元 C.16.8元 D.18元
选做：
（1）（用简便方法计算）
（2）某公路养护小组乘车沿南北方向公路巡视维修。某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地。约定向北为正方向，当天的行驶记录如下（单位∕千米）：
+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8.
问B地在Ａ何方，相距多少千米？若汽车行驶每千米耗油ａ升，求该天耗油多少升？
6【解析】31+（-28）+28+69
=31+69+[（-28）+28]
=100+0
=100
7【解析】 (＋3)+（－6）+（－4）＋(+2)+(－1)=－6
50×5+(－6)=244（千克）
答：总计不足6千克；5筐蔬菜的总重量是244千克
8【解析】 （1）解：原式=[(-7)+(-3)+10]+[6+(-6)]
=0+0
=0
(2)解：原式=(16+24)+[(-25)+(-35)]
=40+(-60)
=-20
（3) 解：原式=
=9+(-11)
=-2
11解：(1) 原式=；
(2) 原式=
12【解析一】122+121+119+118+122+123+120+118+124+122+119+121+
124+117+119+123+124+122+118+116.=2412（千克）
2412÷20=120.6（千克）
答 ：这批货物的总重量为2412千克，每袋的平均重量为120.6千克
【解析二】 如果每袋都取120千克，超出为正，不足为负，则各袋分别为+2，+1
—1，—2，+2，+3,0，—2，+4，+2，—1，+1，+4，—3，—1，+3
+4，+2，—2，—4故有
(+2）+(+1 )+（—1）+(—2)+(+2)+(+3）+0+(—2)+(+4)+(+2)+（—1）+（+1)+(+4)+(—3)
+(—1)+（+3）+（ +4）+（+2）+(—2)+(—4)=12（千克）
120×20+12=2412（千克）
2412÷20=120.6（千克）
答 ：这批货物的总重量为2412千克，每袋的平均重量为120.6千克
2.5 有理数的减法 导学案
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人： 课型：新授课
勤奋是一条神奇的线，用它可以串起无数知识的珍珠。
【学习目标】
1.掌握有理数的减法法则
2.能熟练地进行有理数的减法运算。
【学习重点】有理数的减法法则，熟练有理数的减法运算。
【学习难点】有理数减法法则的应用。
【使用说明及方法指导】掌握学习目标，了解学习重难点，参照课本，掌握本节知识点，然后完成导学案。
【学习过程】
复习：1．有理数的加法法则？
2．三个有理数相加的解题技巧有哪几点？
3．计算（-）+3 +0.75+（-5）+2
二、合作探究
独立完成
你会读温度计上的度数吗？如图，你能从温度计看出3℃比 -2℃高多少度吗?
回答 差了 ℃.
（二）思考探究
3-（-2）= 3+2=
下面我们观察加法与减法的关系
互为（ ）
3-（-2）= 5 3+ 2= 5
结果（ ）
聪明的你能得出什么结论呢？
减去一个数，等于 这个数的 。
【做一做】
(1) 50-20= ; 50+(-20)= .
(2) 50-10= ; 50+(-10)= .
(3) 50-0 = ; 50+ 0 = .
(4) 50-（-10）= ; 50+10= .
(5) 50-（-20）= ; 50+20= .
与你前面得到的结论相同吗？
有理数减法法则:
☆注意：
1两变：减号变成加号、减数变成它的相反数；
2一不变：被减数保持不变。
（三）看谁做得好
例1 计算下列各式：
（1）9-（-5） （2）（-3）-1
（3）0–8 （4）（–5）-0
方法总结：有理数的减法是把它转化为 。
例2 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约是8844米，吐鲁番盆地的海拔大约是-155米。两处高度相差多少米？
解：
（四）小组交流 合作探究
计算 ：（–16）–（–12）–24–（–18） （你会用几种方法）
跟踪练习 ： 23-（–76）-36-（–105）
三．课堂小结
学习收获 ；
不足之处 。
四． 小测
计算
（1）15–（–58） （2）（–9）–（+28）
（3）0–23 （4）（-82）–0
（5）（–26）–（–22）–24–（–28）（6）（–72）-（–37）-（–22）-17
2.填空
（1） +11=27 （2） 7+ =4
（3）（-9）+ =9 （4） 12+ =0
（5）（-8）+ =-15 （6） +（-13）=-6
3.选择
下列说法正确的是______
A 减去一个数等于加上这个数；
B 0减去一个数仍得这个数；
C a-b=a+(-b);
D 两个数的差一定比被减数小。
2.6 有理数的加减混合运算（2） 导学案
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人： 课型：新授课
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来
学习目标：
1．综合运用有理数加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题.
2．培养学生运用数学知识解决实际生活问题的能力．
学习重点：综合运用有理数及加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题.
学习难点：正确运用有理数加减法解决实际生活问题
学习过程
一 复习巩固
1有理数加减混合运算步骤是怎样的？
2计算（1） （2）
二 情境问题
小组合作 交流探究
下图是流花河的水文资料（单位：米），取河流的警戒水位作为0点，那么图中的其他数据可以分别记作什么？
最高水位：
警戒水位： 0
平均水位：
最低水位：
下表是小明记录的今年雨季流花河一周内的水位变化情况．
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/米
＋0.20
＋0.81
-0.35
＋0.03
＋0.28
－0.36
－0.01
注：正数表示水位比前一天的上升数，负数表示水位比前一天的下降数
本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位干警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分另别是多少米？
与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？
完成下面的本周水位记录表
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位记录╱米
43.60
（4）以警戒水位为0点，用折线统计图表示本周的水位变化情况
2．巩固学习 独立完成
小明父亲上星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日收盘时该股票的涨跌情况（单位：元）
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌╱元
+4
+4.5
-1
-2.5
-4
星期三收盘时，每股是多少元？
本周内每股的最高价是多少元？最低价是多少元？
本周星期五收盘时，这种股票的价格为每股多少元？
三 探索发现 课内小结
1．针对上述实际问题，你自己能独立解决了吗？
2．在小组内展开讨论，阐述自己的见解和体会．
四 小测
1. 某水库在汛期来临之际加强了对水位的观测，观测的前一天的水位在警戒水位下0.8米，5天的观察记录如下（单位：米）
1
2
3
4
5
+0.18
+0.2
-0.10
+0.10
+0.12
注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降
（1）若以警戒水位为0，在警戒水位之上记为“+”，则这5天的水位填表：
1
2
3
4
5
（2）从表中看出，第五天的水位距警戒水位多少米？在警戒水位上还是在警戒水位下？
2. 若上周股市收盘指数是1419点，本周收盘涨跌如下（+表示涨，-表示跌）：-48，-1，+15，-3，+39，则本周最高点是 点，最低点是 点。
3. 一个水利勘察队第一天沿江向上游走千米，第二天又向上游走千米，第三天向下游走千米，第四天向下游走千米，这时勘察队在最初出发点的上游还是下游？距出发点有多远？
4. 已知a,b,c三个有理数的和是零，如果，那么c= .
2.6有理数的加减混合运算(1) 导学案
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人： 课型：新授课
勤奋者废寝忘食，懒惰人总没有时间。
学习目标：1.理解有理数的加减混合运算可以统一解加法运算
2.能够熟练的进行有理数加减混合运算
学习重点：有理数加减混合运算
学习难点：1.准确将减法直接转化为加法
2.省略加号与括号的代数和计算
使用说明及方法指导：掌握学习目标，了解学习重难点，参照课本，掌握本节知识点，然后完成导学案。
学习过程：
一 复习铺垫
1.◇（1）（-5）+（-4） （2） 7+（-9） （3）（-12）+12 （4）（-3.14）+0
◇（1）（-5）-4 （2）（-9）-（-4.5） （3）0-(-3)
二 合作交流 探究新知
你会计算（-20）+（+3）-（-5）-（+7）吗？与同伴交流
各组交流加减混合运算计算方法
归纳：加减混合运算可以统一为加法运算式子表示为：a+b-c= .
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,统一后的式子是几个正数或负数的和的形式。
例如：（-20）+（+3）-（-5）-（+7）
可以写成-20+3+5-7，读作“负20、正3、正5、负7的和”
（-8）+（+10）+（-6）+（-4）
可写成 ，读作 .
归纳：在有理数的加减混合运算中，一切加法和减法的运算都可以统一为 运算 。
三 应用迁移 巩固提高
1. 把下列各式写成代数和的形式，并读出来。
（-2）+（-3）+3-4-（-8） （2） 0.5-3+（-3）-（-2）
2. 有理数加减混合运算的方法
计算：（1）（+3）+（-8）-(-6)+(-7) （2）
【总结】 有理数的加减混合运算的计算有如下几个步骤：
1．将减法转化成 运算：
2．省略 和 ；
3．运用加法 律和 律，将同号两数相加；
4．按有理数加法法则计算．
3. 巩固练习
（1）（-25）+9-（-8）+（-2） （2）（-3.5）-（-1.7）+2.8-5.3
（3） （4）
四 小结：（1）有理数加减混合运算有哪些步骤？
(2)你的收获和不足 .
五 小测
计算
（1）（-12）-(-3.7)+6.3-（-12） （2）0-（-5）+5-6
（3） （4）
某天股票B开盘价为28元，上午10时跌1.3元，中午2时跌0.7元，下午收盘时又涨了0.5元，该股票这天收盘价是多少元？
把下列各题写成省略加号的形式
（1）（-12）-（+8）+（-6）-（-5）= ；
（2）（+3.7）-（-2.1）-1.8+（-1.1）= .
若三个不等的有理数的代数和为0，则下列结论正确的是（ ）
A. 三个加数全为0 B. 至少有两个加数是负数
C. 至少有一个加数是负数 D. 至少有两个加数是正数
2.7有理数的乘法（1）
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人: 课型：新授课
只要你肯用心，肯努力，世界上就不会有什么困难可以阻碍你前行的脚步。
【学习目标】
1、掌握有理数的乘法法则。
2、会进行有理数的乘法运算。
【学习重点】熟练掌握有理数的乘法法则，并运用其进行有理数乘法的运算。
【学习难点】有理数乘法法则的应用。
【使用说明及方法指导】掌握学习目标，了解学习重难点，参照课本，掌握本节知识点，然后完成导学案。
【学习过程】
一、学习准备
还记得小学时学过的加法与乘法之间的关系吗？
二、探究新知
<一>独立完成
甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水库水位的总变化量各是多少？
如果规定水位升高记作正，水位下降记作负，那么4天后，
甲水库水位的变化量为3+3+3+3= ×
乙水库水位的变化量为（-3）+（-3）+（-3）+（-3）= ×
<二>合作完成
（-3）×4=-12 （-3）×3=______ （-3）×2=______
（-3）×1=______ （-3）×0=______
问题:当因数(-3)不变,另一个因数减少1,积怎样变化? _______________________
根据你发现的规律，猜一猜：
（-3）×（-1）=______ （-3）×（-2）=______
（-3）×（-3）=______ （-3）×（-4）=______
上面各式中，积的符号与各因数的符号有什么关系？积的绝对值与各因数的绝对值有什么关系？
总结:有理数乘法法则（一）——两数相乘
两数相乘，同号得______，异号得______，并把绝对值______．
任何数与0相乘，积仍为______．
<三>小试身手
（1）（-8）×5 （2）（-6）×（-4） （3）（+8）×0 （4）（-8）×0
（6） (7) (-5) ×1 (8) (-5)×(-1)
总结：
从（5）（6）可以看出，乘积为1的两个有理数 ， 没有倒数 。
从（7）（8）可以看出，一个数同1相乘，得 ，
一个数同（-1） 相乘，得这个数的 。
<四> 再探新知 多个有理数的相乘
⑴ 2×3×4×（-5） ⑵ 2×3×（-4）×（-5） ⑶ 2×（-3）×（-4）×（-5）
⑷ （-2）×（-3）×（-4）×（-5） ⑸ 2×（-3）×4×（-5）×0
小组讨论：几个有理数相乘，因数都不为零时，积的符号怎样确定？有一个因数为0时，积是多少？
总结：有理数乘法法则(二)——多个有理数相乘
几个不等于0的数相乘，积的符号由 决定。当负因数的个数是 时，积的符号为 ；当负因数是偶数时，积的符号为 。积的绝对值等于 。
几个数相乘，如果有一个因数为0，积就为 .
多个有理数乘法的运算步骤是：一看、二判、三算
一看：观察因数中有几个负因数；
二判：判断积的符号；
三算：算绝对值的乘积
&跟踪练习&
三、课堂小结
1.这节课你的收获是
2.你认为自己不足的地方是
3.这节课你对自己的评价是
四、课堂小测
1、几个不等于0的有理数相乘，积的符号（ ）.
（A）由因数的个数来决定 （B）由正因数的个数来决定
（C）由负因数个数的奇偶数来决定 （D）由负因数的大小来决定
2、如果两个有理数的乘积为1，则这两个数一定是（ ）
A、互为相反数 B、互为倒数 C、绝对值相等 D、这两个数都等于1
3、下列算式中计算正确的有( ).
①(-5)×(-3)=-8; ②（-5）×（-3）=-15;
③(-5)×(-3) ×3=45; ④(-4)×(-5)×(-)=10.
(A)4个（B）3个（C）2个（D）1个
计算：
拓展延伸
阅读下面的文字，然后完成后面问题：
我们已知：，，，……
=
计算：
2.7有理数的乘法 (2)
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人： 课型：新授课
勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷.
【学习目标】1有理数乘法法的三种运算律:①交换律 ②结合律 ③分配律
2能运用乘法的运算律进行简便计算
【学习重点】掌握有理数乘法的交换律、结合律和分配律，并能运用乘法运算律简化运算
【学习难点】灵活运用运算律进行简便运算
【使用方法说明】掌握学习目标，了解学习重难点，掌握本节知识点，然后完成导学案。
【学习过程】
一、课前完成 计算下列各题，并比较它们的结果
（1） （-7）×8= 与8×(-7)= 两式结果
(-5)×(-9)= 与（-9）×(-5)= 两式结果
可知，两个数相乘，交换 的位置，积不变。用式子表示：a×b= .
（2） [(-4)×(-6)]×5= ×5=
(-4)×[(-6)×5]=(-4)× = 两式结果
×(-6)=
× = 两式结果
可知，三个数相乘，先把 相乘，或者先把 相乘，积不变。
用式子表示：(a×b)×c= .
(3) (-2)×[(-3)+(-5)]=(-2)× =
(-2)×(-3)＋(-2)×(-5)= ＋ = 两式结果
可知，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数 ，再把积
用式子表示：a×(b+c)= .
二、探究新知 小组讨论：仔细观察上面的算式和结果，想一想，在有理数运算中，乘法的交换律、结合律以及分配律还成立吗？
【结论】在有理数运算中，乘法的交换律、结合律以及分配律仍然成立。用字母表示：
乘法的交换律：
乘法的结合律：
乘法的分配律：
注意：计算时注意各项的符号
三、师生探究 简化计算
【例1】（1） （2）
【例2】 提示：
【例3】计算：
解：原式=+－ 【正确解法】
=－8－18＋4－15
=－37
特别提醒：1.不要漏掉符号，2.不要漏乘
【例4】×11＋×（－9）－0.25×（－20）提示：细心观察本题三项积中，都有这个因数，所以可逆用乘法分配律求解.
【例5】 提示：本题直接计算比较麻烦，又不具备应用分配律的条件,但观察它的数量特点，使用拆分方法，可以创造应用分配律的条件解题，即将 拆分成一个整数与一个分数之差，再用分配律计算.
四、课内巩固 用合适的运算律简化运算
（1）（-4）×17×0.25 （2）[9×(-4)]×
(3) (4)
五、课堂小结
学习收获 ；
不足之处 。
1、乘法的交换律、结合律只涉及一种运算，而分配律要涉及两种运算。
2、分配律还可写成: a×b+a×c=a×（b+c）， 利用它有时也可以简化计算。
3、字母a、b、c可以表示正数、负数，也可以表示零，即a、b、c可以表示任意有理数。计算时注意符号。
六、小测
1. 用简便算法计算下列各题
（1）0.25×0.125×8×4 （2）
（3） （4）
（5） （6）
2. 用“>”“<”或“=”填空
（1）若a<0,则a 2a;
（2）若a3. 计算
3.142×（－6）－3.142×（－10）＋（－4）×3.142
2.8有理数的除法
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人： 课型：新授课
今天所做之事勿候明天，自己所做之事勿候他人。——歌德
学习目标：1．掌握倒数的定义及求法；
2．掌握有理数的除法法则，并熟练地进行除法运算；
学习重点：有理数的除法法则和倒数的概念.
学习难点：对0没有倒数的理解及除法与乘法之间的互换.
复习：
1、乘法法则： ；
2、乘法运算律： .
3、填空：
（ ）
二、小组探究：
1、通过计算，发现规律：
两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；
0除以任何一个非0的数都得 。
注意：0不能作除数
【跟踪练习】：计算：（1）—42÷（—6）；
2、计算并比较下列各式的结果：
（1） 与 与
与
思考：与、与、 与分别有什么关系？（提示：观察它们的乘积有什么特点）
3.倒数的定义
倒数：
4.总结：
除以一个数等于 。所以可以将除法运算转化为 .
【跟踪练习】写出下列各数的倒数:
1; (2)-; (3) –5; (4) 1; (5) –1; (6) 0.2
【总结】怎样求任意一个非零数的倒数 ；
一个正数的倒数仍是 ；一个负数的倒数仍是 ；0 倒数。
求带分数的倒数，应先将带分数化为 ；求小数的倒数时，应先将小数化为 .
巩固练习
计算：
（1） （2）（－）÷（－） （3）÷（－）
(4) (5) (6) －3.5÷×（－）
求下列各数的倒数，并用“”把它们连接起来。
，3.7，，2，-1.8
课堂小结：
我的收获： ；
我的不足： .
五、自我检测：
1．－2的倒数是 ；－0.2的倒数是 ，的倒数是 。
2、若a·（－5）＝，则a＝ 。
3、计算：
（1）÷（—2.5） （2）（—10）÷（—8）÷（—0. 25）；
(3)； (4) 0÷（—5）÷100；
(5) 3.5÷（； (6)
4.已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，求2c-3ab+2d的值.
5.已知高度每增加1km，气温大约降低6°C.今测得高空气球的温度是-3°C，地面温度是6°C.求气球的高度.
有理数的乘方（2）
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人： 课型：新授课
唯一能持久的竞争优势是胜过竞争对手的学习能力！
【学习目标】
1、 通过现实背景，感受当底数大于1（小于1）时乘方运算结果的增长（减少）速度；
2、 能进行较复杂的有理数乘方运算。
【学习重点】运用乘方运算解决简单的生活问题。
【学习难点】能准确地进行复杂的有理数乘方运算。
【使用说明及方法指导】掌握学习目标，了解学习重难点，参照课本，掌握本节知识点，然后完成导学案。
【学习过程】
一、 课前小测---回顾上节所学
1.填空
（1）你能说明（）和的区别吗？
即（）表示 ，而表示 。
（2）的意义是 个 相乘。
（3）平方等于零的数是 ，绝对值等于零的数是 。
（4）一个数的15次幂是负数，那么这个数的1999次幂是 。
（5）中指数是 ，底数是 。
（6）平方等于的数是 ，立方得的数是 。
2、计算：
（1）； （2）
二、 探索新知
有一张厚度是0.1毫米的纸，,将它对折1次后,厚度为毫米，
（1） 对折2次后,厚度为多少毫米?
（2） 对折10次后的厚度又为多少毫米?
（3） 对折20次后的厚度呢？
（4） 根据题意，完成下表：
对折的次数
1
2
……
10
……
20
纸的厚度
……
……
假如每层楼平均高度为3米，这张纸对折20次后有多少层楼高？你能够想象出来吗？
三、应用新知
友情提示:在乘方运算中，当底数是负数或分数时，一定要把整个负数（连同符号）或分数用小括号括起来。
例1 计算
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
例2 计算
(1) (2)
（3） (4)
四、课堂小结
1.本节课你学了哪些知识点？
2.你克服了自身的哪些缺点？
五．拓展延伸
古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的感谢，国王答应满足大臣一个要求。大臣说 ：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放1粒米，第二格放2粒米，第三格放4粒米，然后是 8 粒米，16 粒米，…… 直到第64格。” “你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大笑，大臣说: “就怕你的国库里没有这么多米？”
格数
1
2
3
4
5
……
64
米粒数
1
2
4
8
16
……
米粒乘方
……
米粒总数为
184467073709551615（粒）
六、课堂小测
1. 选择
（1）下列说法正确的是（ ）
A. 一个数的平方一定大于这个数
B. 任何小于1的数的平方都小于原数
C. 一个数的立方一定大于这个数
D. 绝对值大于1的数的平方一定大于1
（2）若a是有理数，下列各式中能成立的是（ ）
A. B. C. D.
（3）若，那么a等于（ ）
A. B. C. D.
2. 计算
（1） （2）
（3） (4)
3. 应用题
（1）1米长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，截7次后剩下的木棒有多长？
（2）面积为1平方米的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下的一半，如此裁下去，裁8次后剩下的纸片面积是多少？
有理数的乘方（1）
年级：六年级 学科：数学 主备人： 审核人： 课型：新授课
没有比人更高的山，没有比脚更长的路，所以你的勤奋会让站得更高看得更远！
【学习目标】：
1. 理解有理数乘方的意义
2. 理解乘方运算、底数、指数、幂等概念的含义。
3. 会熟练地进行有理数的乘方运算。
【学习重点】：有理数乘方的运算。
【学习难点】：有理数乘方运算的符号法则。
【使用说明及方法指导】掌握学习目标，了解学习重难点，参照课本，掌握本节知识点，然后完成导学案。
【学习过程】
一、新知预习
1. 预习课本P52--P53
2.&试一试&——验收一下你的预习情况
根据幂的相关知识填空：
(1)在52中，底数是____，指数是____，52读作____或读作____。
(2)在(-4)2中，底数是____，指数是____，读作____或读作____。
(3) 在-42中，底数是____，指数是____，读作____或读作____。
(4) a，底数是____，指数是____。
3. 请对你自己的预习作一下评价：
你学会了什么？
你还有哪些困惑？
二、探索新知
观察课本52页，回答下列问题：
1、1个细胞30分钟后变成 个，1小时后变成 个（即 × ），1.5小时后分裂成 个（即 × × ），5小时后一共分裂了 次，表示结果的式子 ＝ ，这是一种 运算。
2、刚才的式子中所有因数 ，这种具有相同因数积的运算有一个名称叫 ，这也是我们这节课的课题。
3、为了简便一般地，n个相同因数a相乘，记作即…=
这种运算就是刚才说的乘方，它的运算结果叫 ，a叫 ，n叫
读作 （或 ）。
〖跟踪练习〗试一下能否指出以下几个式子中的底数和指数
，
三、应用新知
例1
请根据上面的步骤完成下列各题
友情提示：负数的乘方书写时一定要加括号；分数的乘方书写时一定要加括号。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
小结：计算an就是把n个a 。
例2 计算
（1） 102 103 104
（2）（－10）2 （－10）3 （－10）4
小结：正数幂和负数幂各有特点，底数为10的幂也很有特点。
1、正数的任何次幂都是 ；
2、负数的 是正数，负数的 是负数；
四、课堂小结
1.本节课你学了哪些知识点？
2.你克服了自身的哪些缺点？
五、课堂小测 友情提示：注意书写的规范性，分清底数及乘方的意义。
1、把下式写成乘方形式并指出底数和指数
（1）6×6×6×6×6 （2）
（3）计算（-1）2007 （-2）5 （-10）5
（4）平方得25的是_______，立方得-125的是_______。
（5）一个数的平方等于它本身，这个数是_______；
一个数的立方等于它本身，这个数是_______。
选择
下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
下列说法正确的是（ ）
A.表示的积 B.任何有理数的偶次幂是正数
C.一个数的平方是，这个数一定是 D.与互为相反数
3、根据本节所学，完成下面表格
幂的底数
意义
结果
拓展延伸
设n为正整数，计算：
（1） （2）
（3） （4）
