认识三角形（2）
当你知道迷惑时，并不可怜， 当你不知道迷惑时，才是最可怜的。
学习目标：
1. 能证明出“三角形内角和等于180°”，能发现“直角三角形的两个锐角互余”；
2. 按角将三角形分成三类。
学习重点：
三角形内角和定理推理。
学习难点：
三角形内角和定理应用。
【用法指导】
学生预先剪好两个三角形，一副三角板；
按照导学案中探究活动的要求自己动手，推出三角形内角和定理；
完成导学案后由组长带领解决导学案中的疑难问题；
教师讲解，学生独立完成小测.
学习过程：
一、探索活动：
根据自己手中的一副特殊的三角板，知道三角形的三个内角和等于180°，那么是否对其他的三角形也有这样的一个结论呢？试一试吧！
用自己剪好的一个三角形，把三个角撕下来，拼在一块。你发现了什么？小组交流。
结论：
几何表示：
在△ABC中，
如何证明？（提示：过一个顶点作对边的平行线）
还有其他方法吗？试一试。
【小试身手】
1.在△ABC中，
（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度；
（2）∠B=100°，∠A=∠C，则∠C= 度；
（3）2∠A=∠B+∠C，则∠A= 度。
2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比是2:3:4，求∠A，∠B，∠C的度数
二、三角形的分类：
一个三角形中三个内角可以是什么角？（提醒：一个三角形中能否有两个直角？钝角呢？）
结论：
在一个三角形中，三个内角可以是 个锐角，也可以是 个直角， 个锐角，还可以是 个钝角， 个锐角。
按三角形内角的大小把三角形分为三类
通常，我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。把直角所对的边称为直角三角形的 ，夹直角的两条边称为 。
练习：1.观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内：
锐角三角形（ ） 直角三角形（ ）
钝角三角形（ ）
2.想一想，直角三角形的两个锐角之间有什么关系？
。
三、巩固练习
1、观察下列的直角三角形，分别写出它们符号表示、直角边和斜边。
（图1） （图2）
（1）图1中的直角三角形用符号写成 ，直角边是 和 ，斜边是 ；
（2）图2中的直角三角形用符号写成 ，直角边是 和 ，斜边是 ；
2、如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______度．
四、课堂小结
本节课你学到了哪些知识？
五、反思
六、课堂小测
1、三角形三个内角中，锐角最多可以是（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
2、如下图，△ABC中，∠A=60°，∠C=80°，∠B= 度；
第2题图 第3题图
3、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 度；
4、如右图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，
则∠B= 度，∠C= 度
5、在空白处填入“锐角”、“直角”或“钝角”：
如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形
是 三角形； （第4题）
（2）如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是 三角形。
提高练习：
已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A、∠B和∠C的度数，它是什么三角形？
2、如右图，已知△ABC中，∠1=27°，∠2=85°，∠3=38°求∠4的度数.（选做）
11.2图形的全等
有些事情不是难以做到才失去信心，而是因为失去信心才难以做到。
学习目标：
1.知道全等图形概念及特征；?
2.能够识别全等图形，并掌握全等图形的特征；?
4.能应用全等图形设计图案。.?
学习重点：图形的全等与全等图形的特征。
学习难点：
平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响。
方法指导：
预习课本92---95页，明确相关概念；
完成导学案后由组长带领解决导学案中的疑难问题；
教师讲解，学生独立完成小测.
学习过程：
一、探究新知
知识点一：全等图形
看一看：观察课本92页两组图形
在这些图形中，有些是完全一样的，如果把它们叠在一起，它们就能重合。你能分别从图中找出这样的图形吗？
结论： 的两个图形称为全等图形。
【针对性练习】
1.如图⑴～⑿中全等的图形是 和 ； 和 ； 和 ；
和 ； 和 ； 和 ；（填图形的序号）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹
⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿
知识点二：全等图形的特征
议一议：
你能说出生活中全等图形的例子吗？
观察课本图11—16两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
如果两个图形全等，它们的形状和大小都相同吗？
结论：全等图形的 和 都相同。
【针对性练习】
如图，把△ABC沿直线BC为轴旋转180度后变到△DBC的位置，那么△ABC和△DBC （填“是”或“不是”）全等图形。若△ABC的面积是3，
则△DBC的面积是 。
知识点三：利用全等图形设计图案
如右图所示的两个正方形，能否设计如右图所示的图案？若能，请动手设计。
二、巩固练习
找出下列图形中的全等图形.
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
（7） （8） （9） （10） （11） （12）-
三、课堂小结
谈谈本节课你的收获。
四、反思
五、课堂小测
1.两个能够完全重合的图形称为 .
2.全等图形的 和 完全相同.
3.由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片 全等图形（填“是”或“不是”）.
4.下列说法正确的个数为（ ）
用一张像底片冲出来的10张一寸照片是全等形
我国国旗商店四颗小五角星是全等形
所有的正六边形是全等形
面积相等的两个正方形是全等形
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.下列命题：
只有两个三角形才能完全重合；
如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；
两个正方形一定是全等形；
边数相同的图形一定能互相重合.
其中错误命题的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.一个正方形的侧面展开图有（ ）个全等的正方形.
A.2个 B.3个 C.4个 D.6个
选做题
1.把大小4×4的正方形方格图形分割成4个全等图形,请在图中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成4个全等图形.
11.4 全等三角形
当一个人用学习去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。
【学习目标】：
1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。
2.掌握全等三角形的性质，并运用性质解决有关的问题。
3.会用符号表示全等三角形及他们的对应元素。
【学习重难点】运用全等三角形的性质解决相关的计算及证明等问题。
【使用说明与学法指导】
1 课前完成预习案，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过20分钟。
2认真限时完成，字迹工整、书写规范。
3小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。
学习过程
《课前预习案》（一）、复习三角形的有关概念 请结合教材内容，完成以下内容：
图形语言
文字语言
符号语言
三角形
由________________________的三条线段______________________________________的图形叫做三角形。读作“三角形ABC”
△ABC
三边
组成三角形的三条线段（由于是线段，大写字母不讲究顺序）
用两个大写字母表示：边AB
AB、BC、AC
用一个小字字线表示：边
、、
三角
两边所组成的角（记号规写：从一个顶点出发只有一个角，为角符号+一个大写字母如∠A；从一个顶点出发不止一个角，书写为角符号+三个大写字母或是自已命名的角1等）
∠A、∠EFD、
∠1、
对应关系
边的对角：一条边对面的角，如边AB的对角是∠C.
AC的对角是_____;BC的对角是_______
的对角是_____
角的对边：一个角对面的边，如∠A的对边是______
∠C的对边是______
（二）、自主预习课本97—98页内容，回答下列问题：
1、能够__________ 的图形就是全等图形, 那么能够完全重合的两个三角形叫 ， 两个全等图形的_________和_______完全相同。
2、把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 。如：△ABC与△CEF 全等可记作：△ABC≌△DEF ，读作：△ABC全等于△DEF ，所以“全等”用“ ”表示，读作 。
3、注意在记两个三角形全等时，通常把表示对应点的字母写在 ，
比如，△ABC≌△XYZ，对应顶点有：点___和点___，点___和点___，点___和点___；
对应角有：____ 和____ ，____ 和____ ，_____和____
卷面分
对应边有：____ 和____ ， ____ 和____ _____ 和_____ .
4、全等三角形的性质：全等三角形的 相等， 相等。
已知下图中两个三角形全等则相等的角有 = = =
相等的线段有： = = =
规律：你是怎样去寻找全等三角形的对应边与对应角的？
由于两个全等三角形的位置关系不同，可以根据具体情况，
针对两个三角形的不同位置关系，总结出寻找对应边、对应角的规律：
（1）有公共边时， 一定是对应边；
（2）有公共角时， 一定是对应角；
（3）有对顶角时， 一定是对应角；
（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角），一对最短的边（或最小的角）一定是对应边（或对应角）。
5、补充：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
五、【巩固练习】：1、下列图形中的两个三角形是全等的，请写出你用符号表示出来并找出对应边、对应角
2：如图，已知△AFD≌△CEB，说明AD与BC的位置与大小关系。阅读下面的解答过程，请补充完整。
解：AD与BC平行且相等。
∵ △AFD≌△CEB （已知）
∴ AD=CB （ ）
= （全等三角形对应角相等）
∴ AD∥BC （内错角相等，两直线平行）
3：（1）已知△MNP≌△NMQ，MN = 8㎝，NP=7㎝，PM=6 ㎝，则MQ的长为（ ）
（A）8㎝， （B）7㎝， （C）6㎝， （D）5㎝
（2）如果△ABC≌△A′B′C′,并且∠B=50°, ∠A=70°,A′B′=10㎝,那么∠C′= ，AB= 。
小测得分： 卷面分
【小结】：本节课我学到的知识有
我的疑惑是：
【反思】
【小测】1、如图△ABC≌△CDA，AB=CD，那么下列结论错误的是（ ）
1题
A、∠DAC=∠BCA B、AC=CA
C、∠D=∠B D、CD= BD
2、如图，两三角形△ABC≌△ADE，∠EAC=30°，则∠BAD= 度。
3、如图，已知△ABD≌△ACD，点B、D、C在同一条直线上，∠BAC= 90°，求∠B的度数，判断AD与BC的位置关系，并说明理由。
4．如图4，ΔADE≌ΔCBF，求证：AE//CF
选做：如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°试求∠BE A′的度数。
11.5 探索三角形全等的条件（2）
请一定要感谢那个告诉你缺点的人。
【学习目标】
1.掌握三角形的“ASA”“AAS”全等条件，了解三角形的稳定性；
2.用三角形“ASA”“AAS”的条件进行有条理的思考并进行简单的推理；
【学习重点】掌握三角形的“ASA”“AAS”全等条件；
【学习难点】 利用“ASA”“AAS”解决相关的问题。
【使用说明】1.先自主完成本导学案；2. 小组交流讨论，解疑答惑；
3.在讨论中，标记好未能解决的问题；
4.在老师的引导下，解决掉疑难问题并修改整理好导学案。
【学习过程】
知识链接 根据上节所学知识，独立完成下面各题。
1.三边对应相等的两个三角形全等，简写为 或
2.如右图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AD能平
分∠BAC吗？你能说明理由吗？
解：AD平分∠BAC。
∵AD是BC边上的中线（已知）
∴ ＝ （中线的定义）
在 中
∴ ≌ （ ）
∴∠BAD＝∠CAD（ ）
∴AD平分∠BAC（ ）
知识探究，合作交流
我们知道:如果给出一个三角形三条边的长度,那么因此得到的三角形都全等.如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢?
角，边，角 （2） 角，角，边
那么，每种情况下得到的三角形都全等吗?下面，就让我们一起来探究一下吧。
小组内部合作完成课本P102的“做一做”
通过动手操作，与同伴的三角形比较，你发现了什么？
我们可以得到两个有关三角形全等的判定方法：
（1）文字表达：
几何符号：在 中 A D
B C E F
∴ ≌ （ ）
（2）文字表达：
几何符号：在 中 A D
B C E F
∴ ≌ （ ）
〖小试身手〗
A
B D C
巩固练习，相信自己
1. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成 或
2. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成 或
3. 如图，AB＝AC，∠B＝∠C，你能证明△ABD≌△ACE吗？
证明： △ABD和△ACE中
∴ ≌ （ ）
4. 如图，已知AC与BD交于点O，AD∥BC，且AD＝BC，你能说明BO=DO吗？
证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠A= ，（ ）
∠D= ，（ ）
在 中，
∴ ≌ （ ）
∴BO=DO（ ）
5. 如图，∠B＝∠C ，AD平分∠BAC，你能证明△ABD≌△ACD？
若BD＝3cm，则CD有多长？
证明：∵AD平分∠BAC（ ）
∴∠ ＝∠ （角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
∴△ABD △ACD（ ）
∴BD＝CD（ ）
∵BD＝3cm（已知）
∴CD＝ ＝ （等量代换）
6. 如图，在△ABC中，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，且BE＝CF，那么BD与DC相等吗？你能说明理由吗？
解：BD＝DC。
∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F
∴∠ ＝∠ ＝90°（垂直的定义）
在 中，
∴ ≌ （ ）
∴BD＝DC（ ）
课堂小结
这节课，你的收获是什么？还有什么疑惑需要解决？
（反思）
课堂小测，检验成果
1.如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，你能说明△ABO≌△DCO吗？
2.如图，AB∥CD，∠A＝∠D，BF＝CE，∠AEB＝110°，求∠DFC的度数。
（提示：证明)
3.如图，
4.（选作）如图，已知：BE=CD，AB=AC，∠B=∠C，求证：∠1=∠2。
11.5探索三角形全等的条件（1）
合理安排时间，就等于节约时间。
【学习目标】
1、掌握三角形全等的“边边边”的条件。
2、能利用这个条件判别两个三角形是否全等。
3、知道三角形具有稳定性。
【重点难点】三角形全等的“边边边”条件的探索及应用。
【用法指导】
1 课前完成预习案，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过20分钟。
2认真限时完成，字迹工整、书写规范。
3小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。
学习过程：
一、回顾旧知
1、全等三角形的 相等， 相等。
2、如图1，已知△AOC≌△BOD，则∠A=∠B，∠C= ， =∠2，对应边有AC= ， =OB， =OD。
3、如图2，已知△AOC≌△DOB，则∠A=∠D，∠C= ， =∠2，对应边有AC= ，OC= ，AO= 。
4、如图3，已知∠B=∠D，∠1=∠2，∠3=∠4， AB=CD，AD=CB，AC=CA。则△ ≌ △
二、探究新知
问题：三边对应相等的两个三角形是否全等？
动手试一试
a、画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm 4cm 7cm ,
b、以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现三角形 ，这说明这些三角形都是 的．
C、归纳：三边对应相等的两个三角形 ，简写为“ ”或“ ”．
d、用数学语言表述：
在△ABC和中,
∵ ∴△ABC≌
用上面的规律可以判断两个三角形 ．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．
e、你能解释三角形为什么具有稳定性吗?
____________________________
三、学以致用
如图，AB=AE，AC=AD，BC=DE.
求证：△ABC ≌ △ADE。
证明：在△ABC 和 △ADE中，
______=_______
______=________
______=________
∴△ABC ≌ △ADE（SSS）
再加一个例题
温馨提示：证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时把要用的条件要先证好；
②三角形全等书写步骤：
1写出在哪两个三角形中
2摆出三个条件用大括号括起来
3写出全等结论
四、巩固练习
如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
求证：△ABD≌△ACD．
五、课堂小结
本节课你学到了什么？你还有哪些疑惑？
反思：
六、课堂小测
1、下列说法中，错误的有（ ）个 卷面分 得分
（1）周长相等的两个三角形全等。（2）周长相等的两个等边三角形全等。（3）有三个角对应相等的两个三角形全等。（4）有三边对应相等的两个三角形全等
A、1 B、2 C、3 D、4
2、如图，AB=AC， BD=DC 3、如图，AM=AN， BM=BN
求证：△ABD≌△ACD 求证：△AMB≌△ANB
证明：在△ABD和△ACD中 证明：在△AMB和△ANB中
∴ △ABD △ACD（ ） ∴ ≌ （ ）
4、已知:B、E、C、F在同一直线上, AB=DE,AC=DF
并且BE=CF,
求证: △ ABC≌ △ DEF
选做：
已知：如图，AD=BC,AC=BD. 求证：∠OCD=∠ODC.
11.5全等三角形的判定（SAS）
鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书
［学习目标］ 1.能探索三角形全等的条件(SAS)
2.能运用三角形全等的“边角边（SAS）”的判定条件进行简单的证明。
［学习重点］ 运用“SAS”判定条件进行简单的证明。
［学习难点］ 在两个三角形找到对应的边和角相等以及判断是否是两边及夹角
【学案使用方法】课前准备按照导学案要求剪两个三角形
1独立完成导学案2老师给出答案3学生讨论疑难问题4老师讲解疑难问题
［学习过程］：
学习准备：
1．我们在前面学过判定两个三角形全等的方法有______ _______ _______。
2．从三角形的判定方法知，判定两个三角形至少须_______个条件。其中必有一边。
3．准备纸片、剪刀，按要求剪以下三角形：
解读教材（阅读教材104－105页）
按要求剪以下三角形：（要求剪的三角形美观大方，并将条件标在纸片上）
1三角形两边AB=10cm,BC=8cm，他们所夹角∠B=45度。把剪出后三角形与同伴相比较，看是否全等？
2．同样以三角形两边分别为AB=10cm,BC=8cm，∠C=45度。把剪出后三角形与同伴相比较，看是否全等？
结论：两边及其中一边所对的角相等。两个三角形________（一定，不一定）全等。
定理：如果两个三角形两边和它们的_______对应相等，那么这两个三角形________。
简记为“__________”或“____________”。
3.例题解析：
已知：如图，C为BE的中点，AB∥DC，AB=DC,求证：△ABC≌△DCE。
（标：将所有的已知条件标在图中，联：证明全等的条件到齐了吗？）
证明：∵AB∥DC （已知）
∴∠B＝∠DCE（ ）
又∵C为BE的中点 ∴△ABC≌△DCE ( )
∴BC＝CE （ ）
在△ABC和△DCE中
4．（对照练习）
已知如图，AB∥DE，AB＝DE， BF＝CF，求证：AC＝DF。
挖掘教材：
5．如图：已知，B、E、D三点在同一直线上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.
求证：∠CAB＝∠BEC。
求证：△ABC≌△AB’C‘
【小结】：
1、今天学习的全等三角形的判定方法是___________________________，语言叙述
是____________________。
2．证明全等的关健是找到两个三角形的两条______及_________。
【反思】
［达标测评］
1．如图1，已知AB＝AE，AC＝AD，只要找到∠_____＝∠______，或 ∠_____＝∠______。就可以证得△________≌△________。
（图1）
2．如图2，AB＝AC，AD平分∠BAC，证明：△ABD≌△ACD。
3．如图3，AD是△ABC的中线，在AD及其延长线上截取DE＝DF，连接CE、BF，试证明：
（1）△BDF≌△CDE。
（2）BF与CE有何位置关系？
选作：4、已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4
11.6 作三角形
用心的付出，终会得到你想要的回报。
【学习目标】
在分别给出的两边夹角、两角夹边和三边的条件下，能够利用尺规作出符合题目要求的三角形。
【学习重难点】
重点：合理运用所给条件，能利用尺规作出三角形。
难点：尺规作图作法的理解。
【使用方法】
1. 先自主完成本导学案；2. 小组交流讨论，解疑答惑；
3. 在讨论中，标记好未能解决的问题；
4. 在老师的引导下，解决掉疑难问题并修改整理好导学案。
【学习过程】
旧知回顾 自主完成
1.作图：已知:线段a， 2. 作图：已知：∠
求作:线段AB，使得AB=a. 求作：∠AOB，使∠AOB=∠
a
探究新知 小组合作
〖试一试〗
1.已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.
已知：线段a，c，∠α。 请将图作在右面：
求作：ΔABC，使得BC= a，AB=c，∠ABC=∠α。
请按照下列作法自己画图:
（1）作一条线段BC=a，
（2）以B为顶点，BC为一边，作∠DBC=∠α；
（3）在射线BD上截取线段BA=c；
（4）连接AC，ΔABC就是所求作的三角形。
与同伴交流你们所作的三角形，它们一定全等吗？说说你的理由。
你还有其他的做法吗？与同伴交流。
〖想一想，做一做〗
2.已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
已知：线段∠α，∠β，线段c 。 请将图作在右面：
求作：ΔABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。
作法：（1）作____________=∠α;
(2) 在射线______上截取线段_________=c;
(3) 以______为顶点,以_________为一边,
作∠______=∠β,________交_______于点_______.
ΔABC就是所求作的三角形.
3.已知三角形的三边，求作这个三角形
已知：线段a，b，c。
求作：ΔABC，使得AB=c，AC=b，BC=a。
请写出作法，并画出相应的图形。
作法： 作图：
如果能，请自己画出图形并写出画法。
巩固练习
1.用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段
作图：
2.已知和线段，用尺规作一个三角形，使其一内角等于，另一个内角等于，且这两个内角的夹边等于
课堂小结
本节课，你的收获是什么？
〖反思〗
课堂小测
1．利用尺规作图不能唯一作出三角形的是（ ）．
A．已知三边 B．已知两边及其夹角
C．已知两角及其夹边 D．已知两边及其中一边的对角
2．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）．
A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线
3．已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC边上的中线AD=m，作法合理的顺序依次为（ ）．
①延长CD到B，使BD=CD；②连接AB；③作△ADC，使DC=a，AC=b，AD=m．
A．③①② B．①②③ C．②③① D．③②①
4.已知线段a，∠α，求作△ABC，使AB=AC=α，∠A=2∠α.
5.已知线段，用尺规作
6.（选作）如图，已知两线段a，b及角α．求作△ABC，使AB=a，∠BAC=α，BC=b．
11.7利用三角形全等测距离
形成天才的决定因素应该是勤奋
教学目标：1、能利用三角形的全等解决实际问题。
2、能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
教学重点：能利用三角形的全等解决实际问题。
教学难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
导学案使用情况：1、学生独立完成导学案。2、教师给出答案，学生小组讨论
3、师生合作完成疑难问题。4、学生独立整理导学案
准备活动：
1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为 或
2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成 或
3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成 或
4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成 或
5、全等三角形的性质：两三角形全等，对应边 ，对应角
教学过程：
一、探索练习：
如图：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到E，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度；
（1）DE=AB吗？请说明理由
（2）如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？
二、巩固练习：
1、如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离。
（1）在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO，你能完成下面的图形？
（2）说明你是如何求AB的距离。
2．如图，要量河两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DF，使A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，试说明理由。
3．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，完成下图并求出A、B的距离
三、提高练习：
1．在一座楼相邻两面墙的外部有两点A、C，如图所示，请设计方案测量A、C两点间的距离。
2．如图，一池塘的边缘有A、B两点，试设计两种方案测量A、B两点间的距离
小结：我的收获是
【反思】
【小测】1.如图,A、B两个建筑分别位于两岸,要测得它们之间的距离,可以从B 出发沿河岸面一条射线BF,在BF上截取BC=CF,过F作EF∥AB,使E、C、A在同一条直线上, 则EF的长就是A、B之间的距离,请你说明道理,你还能想出其他方法吗?
2.如图,有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状,AB间的距离不能直接测得,你能用已学过的知识或方法来设计测量方案,求出A、B间的距离吗?
3、如图3，将两根钢条AB、CD的中点连在一起，可以做成一个测量工具，则量得AC的长度，就可以知道工件的内径BD是否符合标准。那么△AOC ≌ △BOD的理由是什么?
已知:
求:
解:
11.8探索直角三角形全等的条件
勤奋是一条神奇的线，用它可以串起无数知识的珍珠。
【学习目标】
掌握直角三角形全等的判定定理，“HL”定理；
能熟练用“HL”定理证明直角三角形全等。
【学习重难点】
直角三角形全等的判定条件.
【用法指导】
（1）预习课本111---113页，并思考问题
“HL”中“H”代表什么？“L”代表什么？“HL”表示的是什么意思？
如何验证“HL”可以判定两个三角形全等？
（2）认真限时完成导学案，字迹工整、书写规范。
（3）组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，解决疑难问题。
【学习过程】
一、复习回顾
1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 .
2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）
根据 （用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF ，根据 （用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF 根据 （用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF 根据 （用简写法）
二、动手操作，探究新知
1.做一做：
已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=90°，
CB=a，AB=c.
按照下面的步骤来做：
（1）作∠MCN=∠α=90°;?? （2）在射线CM上截取线段CB=a;
（3）以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A; （4）连接AB.
2、与同桌重叠比较，是否重合？
3、从中你发现了什么？
归纳总结： 两个直角三角形全等.（简称“斜边、直角边”或“H L”）
4、用数学语言表述上面的判定方法
在Rt△ABC和Rt中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△ （ ）
5、直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、
“ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”.
三、运用新知
1、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，你能说明BC与BD相等吗？
2、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
AB=DC，BE=CF.
求证：AB∥ CD
证明：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）
∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）
∵BE=CF，
∴BE+ =CF+
即 =
在Rt△ 和Rt△ 中
∵
∴ ≌ （ ）
∴ = （ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
四、巩固练习
1、如图，已知AC⊥BD于C，BC=CE，AC=DC。
求证：AB=DE。
2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
3、如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”
证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 _或 ；
若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 或 ．
4、已知，AD、BE为△ABC的高，AD与BE交于点F，且BF=AC，
求证：FD=CD。
五、课堂小结
谈谈本节课你的收获？
反思：
六、小测
1.两个直角三角形全等的条件是( )
A.一锐角对应相等 ; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等
2.如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( )
A.5对; B.4对; C.3对; D.2对
3.已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )
A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF
4.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )
A.AAS B.SAS C.HL D.SSS
4.如图，已知AC=BD，AD⊥BD，AC⊥BC，AC、BD相交于点O，
求证：（1）AD=BC （2）∠1=∠2
5.如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F为垂足，CF=AE，求证：AB∥CD。
6.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MN⊥AB.
求证:AN平分∠BAC.（选做）
三角形全等的判定专题训练题
1、如图（1）：AD⊥BC，垂足为D，BD=CD。求证：△ABD≌△ACD。
2、如图（2）：AC∥EF，AC=EF，AE=BD。求证：△ABC≌△EDF。
如图（3）：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。
如图（4）：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE。求证：（1）∠B=∠C，（2）BD=CE
5、如图（5）：AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE。求证：AC⊥CE。
6、如图（6）：CG=CF，BC=DC，AB=ED，点A、B、C、D、E在同一直线上。
求证：（1）AF=EG，（2）BF∥DG。
7、如图（7）：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M，N是AB的中点且BN=BC。
求证：（1）（2）∠A=∠CBM。
8、如图（8）：A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB，BE∥CF，AE∥DF。
求证：△ABE≌△DCF。
9、如图（9）AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
10、如图（10）∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。 求证：AB=AC。
11、如图（11）在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任一点。
求证：PA=PD。
12、如图（12）AB∥CD，OA=OD，点F、D、O、A、E在同一直线上，AE=DF。
求证：EB∥CF。
13、如图（13）△ABC≌△EDC。求证：BE=AD。
14、如图：AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC。
15、如图15△ABC中，AB=2AC，∠BAC=90°，延长BA到D，使AD=AB，延长AC到E，使CE=AC。求证：△ABC≌△AED。
16、如图（16）AD∥BC，AD=BC，AE=CF。
求证：（1）DE=DF，（2）AB∥CD。
17、如图：在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BD，CD=DE，E是AD上一点，连结BE并延长交AC于点F。
求证：（1）BE=AC，（2）BF⊥AC。
10.1认识三角形（1）
只看到杯子上面一半是空的，那是悲观；看到下面一半是满的，那是乐观。
【学习目标】1．认识三角形，能用符号语言表示三角形。知道三角形三边不等的关系．
2．会判断三条线段能否构成一个三角形，并能用于解决有关的问题
【学习重点】掌握三角形三边不等关系．
【学习难点】判断三条线段能否构成一个三角形的方法．
【导学案使用情况】1.先预习课本，对照课本，完成本节导学案；
2.在小组长的带领下，合作解决本节导学案上的问题；
3.在老师的引导下，解决本节课的疑难问题，并修改好导学案。
学习过程：
一）、学前准备
回忆你所学过或知道的三角形的有关知识。并写出来。
二）、探索思考
知识点一：三角形概念
1、学生自学课本83页内容，并完成下列问题： 图1
三角形概念：由不在同一直线上的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形。
如图，线段____、______、______是三角形的边；点A、B、C是三角形的______;顶点A所对的边 用 来表示，边AC,AB分别用 、 来表示；图中三角形记作__________。注意：表示三角形时，字母没有先后顺序，但通常按逆时针来排列。
三角形的内角为????????、?? 、 。
三角形的三要素是?????? 、??????? 、??????? 。
练习一：
1、如图2．下列图形中是三角形的有_______________？
图2
2、图3中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
知识点二：知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段能否构成三角形
1、探究：请同学们画一个△ABC，分别量出AB，BC，AC的长，并比较下列各式的大小：
AB+BC_____AC AB+ AC _____ BC AC +BC _____ AB
从中你可以得出结论：__________________________________________。
2、探究：计算三角形的任意两边之差，并与第三边比较
AB－BC_____AC AB －AC _____ BC AC －BC _____ AB
从中你可以得出结论：__________________________________________。
卷面分：
例题1、长度分别为3cm、11cm和5cm的三条线段能组成三角形吗？
技巧: _________________________________________
例2、有两根长度分别为4㎝和7㎝的木棒搭三角形,
（1）第三边在什么范围内?
（2）用长度为6㎝的木棒能与它们组成三角形吗?为什么?用长度为11㎝的木棒呢?
（3）如果第三边长是奇数,那么第三边可能是多长?
(4)如果周长是奇数,那么第三边可能是哪几个数?
练习二：1、下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10
2、有四根木条，长度分别是12cm、10cm、8cm、4cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是_______个。
3、如果三角形的两边长分别是3和5，那么第三边长可能是（ ）
A、1 B、9 C、3 D、10
三：拓展部分1、一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ）
A、7 B、9 C、12 D、9或12
2、若等腰△ABC的两边长为4和7，则它的周长为：（ )
3、若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为___________.
四、谈谈你的收获
五、反思
六课堂小测
1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm）
（1） 1， 3， 3 （2） 3， 4， 7 （3） 5， 9， 13
2、已知线段3cm,5cm,xcm,x为偶数，以3，5，x为边能组成______个三角形。
3、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长X的取值范围是 。若X是奇数，则X的值是 。这样的三角形有 个
若X是偶数，则X的值是 。这样的三角形又有 个
4、一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm ,则这个三角形的周长
是 cm
（选作题）若不等边三角形的三边长均为自然数，其中两边是且只是３，４，５中的某两个数，写出符合条件三角形的边长。
11.1 认识三角形（3）——三角形的三线
世界上没有比人更高的山，没有比脚更长的路。
【学习目标】
1.了解三角形“三线”即三角形的角平分线、中线和高线的定义；
2.能会画任意的三角形的角平分线、中线、高线；
3.掌握三角形三线的性质，并能利用性质解决相应问题；
【学习重难点】1.会画任意三角形的三线；2.利用三线性质解决相关问题。
【使用说明】1. 先自主完成本导学案；2. 小组交流讨论，解疑答惑；
3. 在讨论中，标记好未能解决的问题；
4. 在老师的引导下，解决掉疑难问题并修改整理好导学案。
【学习过程】
知识链接，自主完成
（1）已知OP是∠AOB的角平分线，则有∠AOB= =
（2）已知点C是线段AB的中点，则有AB= =
（3）分别过A、B两点画直线l的垂线。
新知探索，合作交流
1.三角形的角平分线
（1）定义：在三角形中， 叫做三角形的角平分线。
如图：∵AD是三角形ABC的角平分线 A
∴∠BAD＝ ∠ ＝ ∠BAC
或：∠BAC＝ ＝
〖思考〗三角形的角平分线与角平分线有什么区别？
（2）性质：试做下列三角形的角平分线
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
我们可以发现在一个三角形中，三条角平分线之间又怎样的位置关系？小组内交流。
〖小结〗三角形的三条角平分线 ，并且 ；
三角形的中线
定义：在三角形中， 叫做这个三角形的中线。
如图：∵AD是三角形ABC的中线。 A
∴BD＝DC＝ BC
或：BC＝ BD＝2
B D C
（2）性质：试做下列三角形的中线
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
我们可以发现在一个三角形中，三条中线之间又怎样的位置关系？小组内交流。
〖小结〗三角形的三条中线 ，并且 ；
三角形的高线
（1）定义：在三角形中， 叫做这个三角形的高线。
（2）性质：试做下列三角形的高线
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
我们可以发现在一个三角形中，三条高线之间又怎样的位置关系？小组内交流。
〖小结〗三角形的三条高线 ，但 ；
巩固练习（第2~~5题，请尝试根据题意，自己画出符合题意的图形）
1.如图，如果∠1＝∠2＝∠3，则AM为△ 的角平分线，
AN为△ 的角平线。
2.若AD是△ABC的高，则∠ADB = ；
3.若AE是△ABC的中线，BC = 4，则BE = = ；
4.若AF是△ABC中∠A的平分线，∠A = 70°，则∠CAF = ∠ = ；
5.△ABC中，BC = 12cm，BC边上的高AD = 6cm，则△ABC的面积为 ；
6.能把一个三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的（ ）
A.角平分线 B.中线 C.高线 D.垂线
7.已知：如图∠BAC=80°,∠B=35°,AD是△ABC的角平分线（D在BC所在直线上），则∠ADC=的度数为 ( )
A.90 B.95 C.75 D.55
已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于D.
试求∠ADB和∠CDB的度数.
9.完成下列画图，并用合适的符号在图中表示：
（1）∠BAC的平分线（2）AC边上的中线（3）AC边上的高（4）AB边上的高
课堂小结
这节课，你的收获是什么？还有什么疑惑需要解决？
（反思）
课堂小测
1.根据定义,三角形的角平分线、中线和高都是( )
A.直线 B.线段 C.射线 (D).以上都对
2.若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
3.下列说法正确的是（ ）
A 三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
B 直角三角形只有一条高
C 三角形的三条至少有一条在三角形内
D 钝角三角形的三条高均在三角形外
3．下列各图中的AD是△ABC的高吗？若不是，画出正确图形。
的高为，角平分线为，中线为，则把面积分成相等的两部分的线段是 。
5.在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，
BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点。
求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数。
6.（选作）如图：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB，∠1、∠2是什么关系？说明理由。
