北师大版2021-2022年初中数学九年级下册1.4解直角三角形 同步课堂练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版2021-2022年初中数学九年级下册1.4解直角三角形 同步课堂练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 838.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-06 13:51:59 | ||
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文档简介
2021-2022年初中数学九年级下册同步（北师大版）
1.4解直角三角形-课堂练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在锐角中，，，则底边BC的长为（ ）．
A．6 B．8 C．12 D．16
2．在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（ ）
A．km B．km C．km D．km
4．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
5．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．608 B．608 C．64 D．68
6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在中，，则的面积为_______．
8．为斜边上的高，已知，那么__________．
9．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
10．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是_____m．
11．如图，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则AC等于 _______．
12．已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是_____________．
三、解答题
13．在中，，a，b，c分别为，，的对边，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（边长精确到0.01）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
14．在Rt中，，，，求，的度数．
15．如图，某防洪大坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为30°，坝顶宽度为2米，坝高为4米，背水坡的坡度．
（1）求该堤坝的横截面积（结果保留根号）；
（2）为更好应对可能来临的汛情，防洪指挥部决定加固堤坝，要求坝高不变，坝顶宽度增加1米，背水坡的坡度改为，求加固后的堤坝的横截面积（结果保留根号）．
16．如图，一架飞机以每小时千米的速度水平飞行，某个时刻，从地面控制塔（塔高）观测到飞机在处的仰角为，分钟后测得飞机在处的仰角为，试确定飞机的飞行高度．（，结果精确到）
17．如图，某拦河坝横截面原设计方案为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC=72°，为了提高拦河坝的安全性，现将坝顶宽度水平缩短10m，坝底宽度水平增加4m，使∠EFC=45°，请你计算这个拦河大坝的高度．（参考数据：sin72°≈，cos72°≈，tan72°）
18．如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，，则电线杆AB的长为多少米？
参考答案
1．D
【解析】如图，过点作于点，
中，，，
，，
设，则，
，
解得，
，
．
故选D．
2．B
【解析】解：作CD⊥AB于D，如图所示：
则∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，∠BCD=45°，
∵∠ACB=75°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°，
∴AD=AC=×6=3，CD= =3，
∴BD=CD=3，
∴AB=BD+AD=3+3=3（+1）；
故选：B．
3．C
【解析】解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点，
根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=3km，
在Rt△CBD中，
CD=BC×sin60°=3×=(km)，
故选择：C．
4．B
【解析】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
5．D
【解析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，
∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）．
故选择：D．
6．C
【解析】解：如图示：作交CD于C点，交CD于D点，
由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，
则有，，
∴
∴
解之得：，
故选：C
7．30
【解析】解：如图，过点B作，交于点D，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，
即，解得（负值舍去），
∴，
∴．
故填30．
8．
【解析】解：如图所示：
∵AD⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠CAB=90°，
∴；
故答案为．
9．20
【解析】如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20 (海里)
故答案为：20．
10．4
【解析】过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，在Rt△CBE中，∠CBE＝180°－∠CBA＝30°，已知BC＝8cm，则CE＝BC＝4cm，即h＝4cm，故答案为4.
11．acosα＋bsinβ
【解析】解：过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∵AC⊥BC,
∴四边形DFCE是矩形，
∴DF=CE,
∵AE=AD× cosα= acosα,
CE=DF=BD× sinβ= bsinβ,
∴AC=AE+EC= acosα＋bsinβ.
故答案为acosα＋bsinβ.
12．或
【解析】解：分两种情况：
①△ABC为锐角三角形时，如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=BD+CD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC EC cosC
∴BE=；
②△ABC为钝角三角形时，如图2．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=BD+CD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC EC cosC
∴BE=．
综上可知AC边上的中线长是或．
13．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】解：（1）∵∠A＝10°，
∴∠B＝90° ∠A＝80°，
∵sin∠A＝，
∴c＝≈46.07，
由勾股定理可求出：b≈45.37；
（2）∵∠B＝33°，
∴∠A＝90° ∠B＝57°，
∵sin∠B＝，
∴c＝≈9.18，
∴由勾股定理可求出：a≈7.70；
（3）∵a＝5，c＝13，
∴由勾股定理可求出：b＝12，
∵sin∠A＝＝，
∴∠A≈，
∴∠B＝90° ＝；
（4）∵c＝，b＝，
∴由勾股定理可知：a＝8，
∵sin∠A＝＝，
∴∠A≈，
∴∠B≈.
14．，
【解析】Rt △ABC 中， ∠C=90° ，
∵
∴
∴∠B=90゜ －∠A=60゜
15．（1）；
（2）
【解析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，如图，
则DF=AE=4，EF=AD=2
∵，且AE=4
∴BE=4
∵
∴
∴
∴
∴
（2）
如图，过点G作GQ⊥BC于点Q，则四边形GQEA是矩形，
∴GQ=AE=4，QE=AG=1
∵背水坡度为
∴
∴
∴ ，GD=GA+AD=1+2=3
∴
16．飞机的飞行高度约为
【解析】解：由题意得：
过点作垂足为
设在中，
在中，
=
解得
答：飞机的飞行高度约为．
17．拦河大坝的高度为24m．
【解析】解：过点A作AM⊥CF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，
设拦河大坝的高度为xm，
在Rt△ABM和Rt△EFN中，
∵∠ABM=72°，∠EFC=45°，
∴BM===，FN=x，
∵AE=10m，BF=4m，FN-AE=BF+BM，
∴x-10=4+，
解得：x=24，
答：拦河大坝的高度为24m．
18．6m
【解析】解：如图，延长AD交地面于E，作DF⊥BE于F ，
在Rt△CDF中，∠DCF=45°，CD=4m，
∴AF=DF=CD·sin∠DCF=4×=2，
∵∠A=60°，
∴∠E=90°﹣60°=30°，
则在Rt△DEF中，EF===2，
∴BE=BC+CF+EF=(4－2)+ 2+2=6，
则在Rt△ABE中，AB=BE·tanE=6×=6m.
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
1.4解直角三角形-课堂练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在锐角中，，，则底边BC的长为（ ）．
A．6 B．8 C．12 D．16
2．在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（ ）
A．km B．km C．km D．km
4．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
5．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．608 B．608 C．64 D．68
6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在中，，则的面积为_______．
8．为斜边上的高，已知，那么__________．
9．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
10．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是_____m．
11．如图，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则AC等于 _______．
12．已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是_____________．
三、解答题
13．在中，，a，b，c分别为，，的对边，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（边长精确到0.01）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
14．在Rt中，，，，求，的度数．
15．如图，某防洪大坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为30°，坝顶宽度为2米，坝高为4米，背水坡的坡度．
（1）求该堤坝的横截面积（结果保留根号）；
（2）为更好应对可能来临的汛情，防洪指挥部决定加固堤坝，要求坝高不变，坝顶宽度增加1米，背水坡的坡度改为，求加固后的堤坝的横截面积（结果保留根号）．
16．如图，一架飞机以每小时千米的速度水平飞行，某个时刻，从地面控制塔（塔高）观测到飞机在处的仰角为，分钟后测得飞机在处的仰角为，试确定飞机的飞行高度．（，结果精确到）
17．如图，某拦河坝横截面原设计方案为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC=72°，为了提高拦河坝的安全性，现将坝顶宽度水平缩短10m，坝底宽度水平增加4m，使∠EFC=45°，请你计算这个拦河大坝的高度．（参考数据：sin72°≈，cos72°≈，tan72°）
18．如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，，则电线杆AB的长为多少米？
参考答案
1．D
【解析】如图，过点作于点，
中，，，
，，
设，则，
，
解得，
，
．
故选D．
2．B
【解析】解：作CD⊥AB于D，如图所示：
则∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，∠BCD=45°，
∵∠ACB=75°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°，
∴AD=AC=×6=3，CD= =3，
∴BD=CD=3，
∴AB=BD+AD=3+3=3（+1）；
故选：B．
3．C
【解析】解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点，
根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=3km，
在Rt△CBD中，
CD=BC×sin60°=3×=(km)，
故选择：C．
4．B
【解析】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
5．D
【解析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，
∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）．
故选择：D．
6．C
【解析】解：如图示：作交CD于C点，交CD于D点，
由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，
则有，，
∴
∴
解之得：，
故选：C
7．30
【解析】解：如图，过点B作，交于点D，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，
即，解得（负值舍去），
∴，
∴．
故填30．
8．
【解析】解：如图所示：
∵AD⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠CAB=90°，
∴；
故答案为．
9．20
【解析】如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20 (海里)
故答案为：20．
10．4
【解析】过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，在Rt△CBE中，∠CBE＝180°－∠CBA＝30°，已知BC＝8cm，则CE＝BC＝4cm，即h＝4cm，故答案为4.
11．acosα＋bsinβ
【解析】解：过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∵AC⊥BC,
∴四边形DFCE是矩形，
∴DF=CE,
∵AE=AD× cosα= acosα,
CE=DF=BD× sinβ= bsinβ,
∴AC=AE+EC= acosα＋bsinβ.
故答案为acosα＋bsinβ.
12．或
【解析】解：分两种情况：
①△ABC为锐角三角形时，如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=BD+CD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC EC cosC
∴BE=；
②△ABC为钝角三角形时，如图2．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=BD+CD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC EC cosC
∴BE=．
综上可知AC边上的中线长是或．
13．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】解：（1）∵∠A＝10°，
∴∠B＝90° ∠A＝80°，
∵sin∠A＝，
∴c＝≈46.07，
由勾股定理可求出：b≈45.37；
（2）∵∠B＝33°，
∴∠A＝90° ∠B＝57°，
∵sin∠B＝，
∴c＝≈9.18，
∴由勾股定理可求出：a≈7.70；
（3）∵a＝5，c＝13，
∴由勾股定理可求出：b＝12，
∵sin∠A＝＝，
∴∠A≈，
∴∠B＝90° ＝；
（4）∵c＝，b＝，
∴由勾股定理可知：a＝8，
∵sin∠A＝＝，
∴∠A≈，
∴∠B≈.
14．，
【解析】Rt △ABC 中， ∠C=90° ，
∵
∴
∴∠B=90゜ －∠A=60゜
15．（1）；
（2）
【解析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，如图，
则DF=AE=4，EF=AD=2
∵，且AE=4
∴BE=4
∵
∴
∴
∴
∴
（2）
如图，过点G作GQ⊥BC于点Q，则四边形GQEA是矩形，
∴GQ=AE=4，QE=AG=1
∵背水坡度为
∴
∴
∴ ，GD=GA+AD=1+2=3
∴
16．飞机的飞行高度约为
【解析】解：由题意得：
过点作垂足为
设在中，
在中，
=
解得
答：飞机的飞行高度约为．
17．拦河大坝的高度为24m．
【解析】解：过点A作AM⊥CF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，
设拦河大坝的高度为xm，
在Rt△ABM和Rt△EFN中，
∵∠ABM=72°，∠EFC=45°，
∴BM===，FN=x，
∵AE=10m，BF=4m，FN-AE=BF+BM，
∴x-10=4+，
解得：x=24，
答：拦河大坝的高度为24m．
18．6m
【解析】解：如图，延长AD交地面于E，作DF⊥BE于F ，
在Rt△CDF中，∠DCF=45°，CD=4m，
∴AF=DF=CD·sin∠DCF=4×=2，
∵∠A=60°，
∴∠E=90°﹣60°=30°，
则在Rt△DEF中，EF===2，
∴BE=BC+CF+EF=(4－2)+ 2+2=6，
则在Rt△ABE中，AB=BE·tanE=6×=6m.
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页