2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系 优教导学案（含答案）

2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
[学习目标定位]
1.知道匀速直线运动的位移与v－t图象中矩形面积的对应关系．知道匀变速直线运动的位移与v－t图象中四边形面积的对应关系.
2.理解位移公式的意义和导出过程.
3.能运用位移公式、匀变速直线运动的v－t图象解决有关问题.
4.掌握匀速直线运动x－t图象的特点，会用它解决简单的问题．
【知识储备】
一、匀速直线运动的位移
1．位移公式：x＝vt.
2．由v－t图象求位移：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．
二、匀变速直线运动的位移
1．位移在v－t图象中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线和t轴所包围的面积．如图1所示，在0～t时间内的位移大小等于加阴影的梯形的面积．
图1
2．位移与时间的关系：x＝v0t＋at2，若初速度v0＝0，则x＝at2.
【学习探究】
一、用v－t图象求位移
[问题设计]
某物体以5 m/s的速度做匀速直线运动，求物体在8 s内的位移．画出物体运动的v－t图象．物体的位移用v－t图象能反映出来吗？
答案 40 m．v－t图象如图所示．图象中的面积(图中阴影区域)表示物体的位移．
[要点提炼]
无论是匀速直线运动还是匀变速直线运动，物体在t时间内的位移都可以用v—t图象与t轴所包围的面积表示．
1．当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同．
2．当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反．
二、匀变速直线运动的位移公式
[问题设计]
一个物体做匀变速直线运动，其运动的v－t图象如图2所示．已知物体的初速度为v0，加速度为a，运动时间为t.
图2
请根据v－t图象和速度公式求出物体在t时间内的位移(即推导位移与时间的关系式)．
答案 v－t图线下面梯形的面积表示位移
S＝(＋)·
把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成
x＝(v0＋v)t ①
又因为v＝v0＋at ②
由①②式可得
x＝v0t＋at2
这就是匀变速直线运动的位移与时间的关系式．
[要点提炼]
匀变速直线运动的位移与时间的关系：x＝v0t＋at2.
1．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，x＝at2(物体由静止开始的匀加速直线运动)
(2)当a＝0时，x＝v0t(物体做匀速直线运动)
2．公式的矢量性
公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．若选v0方向为正方向，则：
(1)物体加速，a取正值．
(2)物体减速，a取负值．
(3)若位移为正值，位移的方向与正方向相同．
(4)若位移为负值，位移的方向与正方向相反．
三、用x－t图象表示位移
[问题设计]
一列火车沿直线轨道运动，图3描述了它关于出发点的位移随时间变化的情况．通过分析回答以下问题：
图3
(1)火车最远距离出发点多少米？
(2)试分析火车各阶段的运动状态．
答案 (1)90 m.
(2)火车在前2.5 min内以0.6 m/s(v＝＝0.6 m/s)的速度做匀速直线运动，在2.5 min到3 min火车停在距出发点90 m的位置．
[要点提炼]
1．由x－t图象可以知道：
(1)物体在某一时刻所处的位置．
(2)任何时间内的位移(大小和方向)，或发生一段位移所需要的时间．
(3)物体某一时刻的速度．
2．两种常见运动的x－t图象
(1)匀速直线运动的x－t图象为倾斜直线，斜率大小是恒定的，表示速度不变．
(2)匀变速直线运动的x－t图象为抛物线(或抛物线的一部分)，斜率的大小是变化的，由斜率的变化情况可以得知速度的变化情况．
【典例解析】
一、x＝v0t＋at2的基本应用
例1 一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝2 m/s2，求：
(1)第5 s末物体的速度多大？
(2)前4 s的位移多大？
(3)第4 s内的位移多大？
解析 (1)第5 s末物体的速度由v＝v0＋at1
得v1＝0＋2×5 m/s＝10 m/s
(2)前4 s的位移由x1＝v0t＋at2
得x1＝0＋×2×42 m＝16 m
(3)物体第3 s末的速度v2＝v0＋at2＝0＋2×3 m/s＝6 m/s
则第4 s内的位移x2＝v2t3＋at＝6×1 m＋×2×12 m＝7 m
答案 (1)10 m/s (2)16 m (3)7 m
二、利用v－t图象求物体的位移
例2 图4是直升机由地面起飞的速度图象，试计算直升机能到达的最大高度及25 s时直升机所在的高度是多少？
图4
解析 首先分析直升机的运动过程：0～5 s直升机做匀加速运动；5 s～15 s直升机做匀速运动；15 s～20 s直升机做匀减速运动；20 s～25 s直升机做反向的匀加速运动．分析可知直升机所能到达的最大高度为题图中t轴上方梯形的面积，即S1＝600 m．25 s时直升机所在高度为S1与图线CE和t轴所围成的面积S△CED的差，即S2＝S1－S△CED＝(600－100) m＝500 m.
答案 600 m 500 m
三、对x－t图象的认识
例3 如图5所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知( )
图5
A．t＝0时，A在B的前面
B．B在t2时刻追上A，并在此后运动到A的前面
C．B开始运动的速度比A小，t2时刻后才大于A的速度
D．A运动的速度始终比B大
解析 t＝0时，A在原点正方向x1位置处，B在原点处，A在B的前面，A对．t2时刻两图线相交，表示该时刻B追上A，并在此后运动到A的前面，B对．B开始运动的速度比A小，t1时刻后A静止，B仍然运动，C、D错．
答案 AB
四、刹车类问题
例4 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离．
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
解析 汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2；汽车运动的总时间t＝＝＝4 s.
(1)因为t1＝2 s故x1＝v0t1＋at＝(20×2－×5×22) m＝30 m
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42) m＝40 m
(注意：也可以用逆向思维法，即对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动．此题可以用如下解法：x2＝at2＝×5×42 m＝40 m)．
答案 (1)30 m (2)40 m
【课堂小结】
【自我检测】
1.(位移与时间关系的应用)一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过的位移所用的时间为( )
A. B. C. D.t
答案 B
解析 由位移公式得x＝at2，＝at′2，所以＝4，故t′＝，B正确．
2．(由v－t图象求位移)某物体运动的v－t图象如图6所示，根据图象可知，该物体( )
图6
A．在0到2 s末的时间内，加速度为1 m/s2
B．在0到5 s末的时间内，位移为10 m
C．第1 s末与第3 s末的速度方向相同
D．第1 s内与第5 s内加速度方向相同
答案 AC
解析 在0到2 s末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故A正确.0到5 s内物体的位移等于梯形面积x＝(×2×2＋2×2＋×1×2) m＝7 m，故B错误．第1 s末图象在时间轴上方，速度为正，第3 s末速度图象也在时间轴上方，速度也为正，故方向相同，故C正确．第1 s内图线的斜率为正值，加速度沿正方向，而第5 s内图线的斜率为负值，加速度方向沿负方向，则第1 s内与第5 s内物体的加速度方向相反，故D错误．
3．(对x－t图象的认识)甲、乙两位同学在放学时，从学校所在地骑自行车沿平直的公路回家，先到乙同学家，休息一会，甲同学继续骑车前行，在70 min时到家，甲同学的x－t图象如图7所示，下列说法正确的是( )
图7
A．在前20 min内甲同学做匀加速运动
B．甲同学在乙同学家停留了30 min
C．甲、乙两同学家相距3.6 km
D．甲从离开学校至到家的这段时间内，平均速度为2 m/s
答案 BCD
解析 前20 min，甲同学做匀速直线运动，A错.20 min～50 min甲同学一直在乙同学家，B对．甲、乙两同学家的距离为8.4 km－4.8 km＝3.6 km，C对．甲同学从学校到家的位移x＝8.4 km，所用时间t＝70 min＝4 200 s，平均速度v＝＝ m/s＝2 m/s，D对．
4．(刹车类问题)一滑块在水平面上以10 m/s的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2.求：
(1)滑块3 s时的速度；
(2)滑块10 s时的速度及位移．
答案 (1)4 m/s (2)0 25 m
解析 取初速度方向为正方向，则v0＝10 m/s，
a＝－2 m/s2
由t1＝得滑块停止所用时间t1＝ s＝5 s
(1)由v＝v0＋at得滑块经3 s时的速度v1＝10 m/s＋(－2)×3 m/s＝4 m/s
(2)因为滑块5 s时已经停止，所以10 s时滑块的速度为0,10 s时的位移也就是5 s时的位移，由x＝ t得x＝×5 m＝25 m
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