1.1 锐角三角函数----北师大版九年级下册同步测试
一、单选题
1．（2021九上·娄星期末）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·新化期末）在平面直角坐标系内有一点，连接，则与x轴正方向所夹锐角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·鄞州月考）如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
4．（2021九上·安吉期末）在Rt中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·绿园期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021九上·章丘月考）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2021九上·昆明月考）如图，在 中， ， ， ，则 的值是 ．
8．（2021九上·西岗月考）在 中， ，若 ，则 ．
9．（2021九上·沙坪坝月考）如图的正方形网格中， 的顶点都在格点上，则 值为 .
10．（2021九上·北京月考）如图，将矩形 沿 折叠，点B恰好落在 的F处，若 ，则 值为= ．
11．（2021九上·大东期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若F为CD中点，则BC的长为 ．
12．（2021九上·宝安期中）如图，在△ABC中，AC>AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于点G，交AE于点F，交AC于点M， EG的延长线交AB于点H，若∠BAC=60°，则 =
三、解答题
13．（2021八下·瑶海期中）如图，在Rt 中， ， ， ， 的对边分别是 、 、 ，我们把 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 ，即 ，当 ， 时，求 ．
14．（2021·红桥模拟）如图，为测量建筑物 的高度，在A处测得建筑物顶部D处的仰角为 ，再向建筑物 前进 到达B处，测得建筑物顶部D处的仰角为 （A，B，C在同一条直线上），求建筑物 的高度（结果取整数）．参考数据： ．
15．（2021·安徽模拟）笔记本电脑为外出工作提供了极大的便利，其配件电脑支架也是我们用笔记本电脑办公时不可或缺的。如图1为某笔记本电脑支架的侧面(边沿部分忽略不计)，我们抽象出如图2的几何图形，测得∠A照30°，AB=AC=20cm，D为AB上一点，且∠BCD=30°，求BC的长。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴设BC=，AB=，
由勾股定理得：AC=，
∴tanA=，
即∠A的正切值为，
故答案为：D.
【分析】由sinA=，设BC=3x，AB=5x，用勾股定理可将AC用含x的代数式表示出来，再根据锐角三角函数tanA=可求解.
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作PA⊥x轴于A，如图
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】过P作PA⊥x轴于点A，用勾股定理求得OP的值，然后根据锐角三角函数sinα=可求解.
3．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA.
故答案为：B.
【分析】根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小进行判断.
4．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13
∴.
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义，根据，代入计算可求出sinB的值.
5．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：A.
，故此选项不符合题意；
B.
，故此选项符合题意；
C.
，故此选项不符合题意；
D.
，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，作EF⊥CA，交CA的延长线于点F．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠DAE＝∠DAB＝90°．
∵AD＝AE＝1，∴∠AED＝∠ADE＝45°，即∠DEA＝∠CAB＝45°，∴AC∥ED，∴∠CED＝∠ECA．
∵AE＝1，∴由勾股定理得：EF＝AF．
∵在Rt△EBC中，由勾股定理得：CE2＝12+22＝5，∴CE，∴sin∠CED＝sin∠ECF．
故答案为：B．
【分析】先求出∠DEA＝∠CAB＝45°，再求出EF＝AF，最后求解即可。
7．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】根据正弦的定义求解即可。
8．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
．
故答案为： ．
【分析】 设 ， 利用 ，可得AB，BC的长，然后利用正切的定义即可得到结果。
9．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB的延长线于点D，由方格纸的特点可知，CD=4，BD=3.
∴tan∠ABC=
故答案为： .
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，再根据三角函数的概念进行求解.
10．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 矩形 ， ，
设 则
故答案为：
【分析】先求出再利用锐角三角函数计算求解即可。
11．【答案】4
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长BF交AD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠BCF=90°，
∴∠H=∠CBF，
在△BCF和△HDF中，
，
∴△BCF≌△HDF（AAS），
∴BC=DH，
∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴∠A=∠BGE=90°，AE=EG，
∴∠EGH=90°，
∵AE=AD，
∴设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，
∴ED=2x，
∴EH=ED+DH=5x，
在Rt△EGH中，sin∠H=，
∴sin∠CBF=，
∵AB=CD=4，F为CD中点，
∴CF=2，
∴，
∴BF=10，经检验，符合题意，
∴BC==4，
故答案为：4．
【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明△BCF≌△HDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC=DH，由折叠的性质得出∠A=∠BGE=90°，AE=EG，设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，得出EH=ED+DH=5x，由锐角三角函数的第一及勾股定理即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【解答】 解：延长EH到P，使GH=HP，连接AP和BP，
∵BF⊥AD，
∴∠ABG+∠BAG=90°，∠AMG+∠MAG=90°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAG=∠MAG，
∴∠ABG=∠AMG，
∴AB=AM，
∴BG=MG，
∵BE=EC，
∴GE∥AC，
∴AH=BH，
∴四边形APBG是平行四边形，
∴AP=BG，AP∥BG，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵∠BAC=60°，AD是角平分线，
∴∠BAG=30°，
在Rt△ABG中，=tan30°=，
∴.
【分析】 延长EH到P，使GH=HP，连接AP和BP，先证出四边形APBG是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AP=BG，AP∥BG，再根据平行线分线段成比例得出，再根据角平分线的定义得出∠BAG=30°，从而得出=tan30°=，即可得出答案.
13．【答案】解：∵∠C＝90°，c＝6，a＝3，
∴b＝ ＝ ，
∴cosA＝ ＝ ．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用勾股定理求出b，利用cosA＝ 进行计算即可.
14．【答案】解：根据题意， ， ， ．
∵ 在 中， ，
∴ ．
∵ 在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
答：建筑物 的高度约为 ．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义，由AB=AC-BC，计算得到答案即可。
15．【答案】解：如答案图，过点D作DE⊥AC ，垂足为E
∵AB=AC=20cm，CA=30。∴∠B=∠ACB =75°，
又∵∠BCD=30°，∠BDC=75°，∠ACD=45°，BC=CD
∵DE⊥AC，∴∠CDE =45。∴CE=DE
设DE=CE=x，
在Rt△ADE中，tanA= ，∴AE= = == x，AC=CE+AE=x+ x，
∴(1+ )x=20，∴x=10( -1)
第18题答案图在Rt△CDE中，CD= x=10( - )，∴BC=10( - )
答：底边BC的长为10( - )cm
【知识点】等腰三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 过点D作DE⊥AC ，垂足为E，根据等腰三角形的判断与性质得出BC=CD ，CE=DE， 设DE=CE=x， 利用tanA= ，求出AE= x，利用AC=CE+AE得出x+ x=20， 求出x的值，从而求出CD的长，即可得出BC的长.
1 / 11.1 锐角三角函数----北师大版九年级下册同步测试
一、单选题
1．（2021九上·娄星期末）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴设BC=，AB=，
由勾股定理得：AC=，
∴tanA=，
即∠A的正切值为，
故答案为：D.
【分析】由sinA=，设BC=3x，AB=5x，用勾股定理可将AC用含x的代数式表示出来，再根据锐角三角函数tanA=可求解.
2．（2021九上·新化期末）在平面直角坐标系内有一点，连接，则与x轴正方向所夹锐角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作PA⊥x轴于A，如图
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】过P作PA⊥x轴于点A，用勾股定理求得OP的值，然后根据锐角三角函数sinα=可求解.
3．（2021九上·鄞州月考）如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA.
故答案为：B.
【分析】根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小进行判断.
4．（2021九上·安吉期末）在Rt中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13
∴.
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义，根据，代入计算可求出sinB的值.
5．（2021九上·绿园期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：A.
，故此选项不符合题意；
B.
，故此选项符合题意；
C.
，故此选项不符合题意；
D.
，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
6．（2021九上·章丘月考）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，作EF⊥CA，交CA的延长线于点F．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠DAE＝∠DAB＝90°．
∵AD＝AE＝1，∴∠AED＝∠ADE＝45°，即∠DEA＝∠CAB＝45°，∴AC∥ED，∴∠CED＝∠ECA．
∵AE＝1，∴由勾股定理得：EF＝AF．
∵在Rt△EBC中，由勾股定理得：CE2＝12+22＝5，∴CE，∴sin∠CED＝sin∠ECF．
故答案为：B．
【分析】先求出∠DEA＝∠CAB＝45°，再求出EF＝AF，最后求解即可。
二、填空题
7．（2021九上·昆明月考）如图，在 中， ， ， ，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】根据正弦的定义求解即可。
8．（2021九上·西岗月考）在 中， ，若 ，则 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
．
故答案为： ．
【分析】 设 ， 利用 ，可得AB，BC的长，然后利用正切的定义即可得到结果。
9．（2021九上·沙坪坝月考）如图的正方形网格中， 的顶点都在格点上，则 值为 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB的延长线于点D，由方格纸的特点可知，CD=4，BD=3.
∴tan∠ABC=
故答案为： .
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，再根据三角函数的概念进行求解.
10．（2021九上·北京月考）如图，将矩形 沿 折叠，点B恰好落在 的F处，若 ，则 值为= ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 矩形 ， ，
设 则
故答案为：
【分析】先求出再利用锐角三角函数计算求解即可。
11．（2021九上·大东期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若F为CD中点，则BC的长为 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长BF交AD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠BCF=90°，
∴∠H=∠CBF，
在△BCF和△HDF中，
，
∴△BCF≌△HDF（AAS），
∴BC=DH，
∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴∠A=∠BGE=90°，AE=EG，
∴∠EGH=90°，
∵AE=AD，
∴设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，
∴ED=2x，
∴EH=ED+DH=5x，
在Rt△EGH中，sin∠H=，
∴sin∠CBF=，
∵AB=CD=4，F为CD中点，
∴CF=2，
∴，
∴BF=10，经检验，符合题意，
∴BC==4，
故答案为：4．
【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明△BCF≌△HDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC=DH，由折叠的性质得出∠A=∠BGE=90°，AE=EG，设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，得出EH=ED+DH=5x，由锐角三角函数的第一及勾股定理即可得出答案。
12．（2021九上·宝安期中）如图，在△ABC中，AC>AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于点G，交AE于点F，交AC于点M， EG的延长线交AB于点H，若∠BAC=60°，则 =
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【解答】 解：延长EH到P，使GH=HP，连接AP和BP，
∵BF⊥AD，
∴∠ABG+∠BAG=90°，∠AMG+∠MAG=90°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAG=∠MAG，
∴∠ABG=∠AMG，
∴AB=AM，
∴BG=MG，
∵BE=EC，
∴GE∥AC，
∴AH=BH，
∴四边形APBG是平行四边形，
∴AP=BG，AP∥BG，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵∠BAC=60°，AD是角平分线，
∴∠BAG=30°，
在Rt△ABG中，=tan30°=，
∴.
【分析】 延长EH到P，使GH=HP，连接AP和BP，先证出四边形APBG是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AP=BG，AP∥BG，再根据平行线分线段成比例得出，再根据角平分线的定义得出∠BAG=30°，从而得出=tan30°=，即可得出答案.
三、解答题
13．（2021八下·瑶海期中）如图，在Rt 中， ， ， ， 的对边分别是 、 、 ，我们把 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 ，即 ，当 ， 时，求 ．
【答案】解：∵∠C＝90°，c＝6，a＝3，
∴b＝ ＝ ，
∴cosA＝ ＝ ．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用勾股定理求出b，利用cosA＝ 进行计算即可.
14．（2021·红桥模拟）如图，为测量建筑物 的高度，在A处测得建筑物顶部D处的仰角为 ，再向建筑物 前进 到达B处，测得建筑物顶部D处的仰角为 （A，B，C在同一条直线上），求建筑物 的高度（结果取整数）．参考数据： ．
【答案】解：根据题意， ， ， ．
∵ 在 中， ，
∴ ．
∵ 在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
答：建筑物 的高度约为 ．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义，由AB=AC-BC，计算得到答案即可。
15．（2021·安徽模拟）笔记本电脑为外出工作提供了极大的便利，其配件电脑支架也是我们用笔记本电脑办公时不可或缺的。如图1为某笔记本电脑支架的侧面(边沿部分忽略不计)，我们抽象出如图2的几何图形，测得∠A照30°，AB=AC=20cm，D为AB上一点，且∠BCD=30°，求BC的长。
【答案】解：如答案图，过点D作DE⊥AC ，垂足为E
∵AB=AC=20cm，CA=30。∴∠B=∠ACB =75°，
又∵∠BCD=30°，∠BDC=75°，∠ACD=45°，BC=CD
∵DE⊥AC，∴∠CDE =45。∴CE=DE
设DE=CE=x，
在Rt△ADE中，tanA= ，∴AE= = == x，AC=CE+AE=x+ x，
∴(1+ )x=20，∴x=10( -1)
第18题答案图在Rt△CDE中，CD= x=10( - )，∴BC=10( - )
答：底边BC的长为10( - )cm
【知识点】等腰三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 过点D作DE⊥AC ，垂足为E，根据等腰三角形的判断与性质得出BC=CD ，CE=DE， 设DE=CE=x， 利用tanA= ，求出AE= x，利用AC=CE+AE得出x+ x=20， 求出x的值，从而求出CD的长，即可得出BC的长.
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